《高等代數(shù)》(上)題庫

1、高等代數(shù)（上）題庫第一章 多項式填空題(1.7)1、設用x-1除f(x)余數(shù)為5，用x+1除f(x)余數(shù)為7，則用x2-1除f(x)余數(shù)是 。(1.5)2、當p(x)是 多項式時，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。(1.4)3、當f(x)與g(x) 時，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。(1.5)4、設f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余數(shù)為3，用x-1除余數(shù)為5，那么a= b 。(1.7)5、設f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余數(shù)為3，則k= 。(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，

2、則a= b= 。(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。(1.8)8、以l為二重根，2，1+i為單根的次數(shù)最低的實系數(shù)多項式為f(x)= 。(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一個根，則f(x)的全部根是 。(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 則 。(1.5)11、設p(x)是不可約多項式，p(x)|f(x)g(x),則 。(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，則 。(1.5)13、設p(x)是不可約多項式，f(x)是任一多項式，則 。(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x

3、),f(x)|g(x)，則 。(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，則 。(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x)=1，則 。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且 則p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),則 。(1.7)19、是f(x)的根的充分必要條件是 。(1.7)20、f(x)沒有重根的充分必要條件是 。答案1、-x+6 2、不可約 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=28、x5-6x4+15x3-

4、20x2+14x-4 9、1-i,1+i 1+,1- 10、(f(x)h(x),g(x)=1 11、p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x)或(p(x),f(x)=1 14、f(x)|h(x) 15、f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可約多項式 18、f(x)|g(x)且f(x)|h(x) 19、x-|f(x) 20、(f(x),f(x)=1判斷并說明理由(1.1)1、數(shù)集是數(shù)域（ ）(1.1)2、數(shù)集是數(shù)域 （ ）(1.3)3、若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x),則f(x)|h(x

5、) ( )(1.3)4、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),則f(x)|h(x) （ ）(1.4)5、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，則g(x)h(x)|f(x) （ ）(1.4)6、若（f(x)g(x),h(x)）=1,則（f(x),h(x)）=1 (g(x),h(x)=1 ( )7、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),則(f(x),h(x)=1 ( )(1.6)8、設p(x)是數(shù)域p上不可約多項式，那么如果p(x)是f(x)的k重因式，則p(x)是f(x)的k-1重因式。 （ ）(1.9)9、如果f(x)在有理數(shù)域上是可約的，則f(x)必有有理根。

6、（ ）(1.9)10、f(x)=x4-2x3+8x-10在有理數(shù)域上不可約。（ ）(1.1)11、數(shù)集是數(shù)域 （ ）(1.1)12、數(shù)集是數(shù)域 （ ）(1.3)13、若f(x)|g(x)h(x)，則f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( )(1.3)14、若f(x)|g(x),f(x)|h(x)，則f(x)|g(x)h(x) ( )(1.3)15、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，則f(x)|g(x)且f(x)|h(x) ( )(1.4)16、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),則d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ）(1.6)17、若p

7、(x)是f(x)內的k重因式，則p(x)是f(x)的k+1重因式（ ）(1.7)18、如果f(x)沒有有理根，則它在有理數(shù)域上不可約。（ ）(1.8)19、奇次數(shù)的實系數(shù)多項式必有實根。（ ）(1.9)20、 f(x)=x6+x3+1在有理數(shù)域上可約。（ ）答案：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、11、 12、 除法不封閉 13、 當f(x)是不可約時才成立 14、 如f(x)=x2，g(x)=h(x)=x時 不成立 15、 16、 17、如f(x)=xk+1+1 18、19、虛根成對 20、 變形后用判別法知 不可約選擇題(1.1)1、以下數(shù)集不是數(shù)域的是（ ）A、

8、，i2= -1B、 ，i2= -1 C、D、(1.3)2、關于多項式的整除，以下命題正確的是 （ ） A、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x)則f(x)|h(x)B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),則g(x)h(x)|f(x)C、若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，則/ f(x)|h(x)D、若f(x)|g(x)，f(x)|h(x)，則f(x)|g(x)h(x)(1.4)3、關于多項式的最大公因式，以下結論正確的是 （ ）A、若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,則（f(x),h(x)）=1B、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(

9、x)+g(x)v(x)=d(x)，則d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式C、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x)，則d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式D、若(f(x)g(x),h(x)=1，則(f(x),h(x)=1且(g(x),h(x)=1（ ）(1.7)4、關于多項式的根，以下結論正確的是 （ ）A、如果f(x)在有理數(shù)域上可約，則它必有理根。B、如果f(x)在實數(shù)域上可約，則它必有實根。C、如果f(x)沒有有理根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約。D、一個三次實系數(shù)多項式必有實根。(1.6)5、關于多項式的重因式，以下結論正確的是（ ）A、若f(

10、x)是f(x)的k重因式，則p(x) 是f(x)的k+1重因式B、若p(x)是f(x)的k重因式，則p(x) 是f(x)，f(x)的公因式C、若p(x)是f(x)的因式，則p(x)是f(x)的重因式D、若p(x)是f(x)的重因式，則p(x)是的單因式(1.7)6、關于多項式的根，以下結論不正確的是 （ ）A、是f(x)的根的充分必要條件是x-|f(x)B、若f(x)沒有有理根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約C、每個次數(shù)1的復數(shù)系數(shù)多項式，在復數(shù)域中有根D、一個三次的實系數(shù)多項式必有實根(1.7)7、設f(x)=x3-3x+k有重根，那么k=（ ） A、1 B、-1 C、2 D、0(1.9)8、

11、設f(x)=x3-3x2+tx-1是整系數(shù)多項式，當t=( )時，f(x)在有理數(shù)域上可約。A、1 B、0 C、-1 D、3或-5(1.9)9、設f(x)=x3-tx2+5x+1是整系數(shù)多項式，當t=（ ）時，f(x)在有理數(shù)域上可約。 A、t=7或3 B、1 C、-1 D、0(1.9)10、設f(x)=x3+tx2+3x-1是整系數(shù)多項式，當t=( )時，f(x)在有理數(shù)域上可約。A、1 B、-1 C、0 D、5或-3(1.5)11、關于不可約多項式p(x),以下結論不正確的是（ ）A、若p(x)|f(x)g(x)，則p(x)|f(x)或p(x)|g(x)B、若q(x)也是不可約多項式，則（

12、p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) c0C、p(x)是任何數(shù)域上的不可約多項式D、p(x)是有理數(shù)域上的不可約多項式(1.9)12、設f(x)=x5+5x+1，以下結論不正確的是（ ）A、f(x)在有理數(shù)域上 不可約B、f(x)在有理數(shù)域上 可約C、f(x)有一實根D、f(x)沒有有理根(1.9)13、設f(x)=xp+px+1,p為奇素數(shù)，以下結論正確的是 （ ）A、f(x)在有理數(shù)域上 不可約B、f(x)在有理數(shù)域上 可約C、f(x)在實數(shù)域上 不可約D、f(x)在復數(shù)域上 不可約答案：1、B 2、C 3、D 4、D 5、D 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 11、C

13、12、B 13、A 計算題(1.3)1、求m，p的值使 x2+3x+2|x4-mx2-px+2解：用帶余除法 求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即求得m= -6 p=3(1.6)2、判斷f(x)=x4-6x2+8x-3有無重因式，如果有，求其重數(shù)解：f(x)=4x3-12x+8 (f(x),f(x)=(x-1)2x-1是f(x)的三重因式 (1.7)3、設f(x)=x4-3x3+6x2-10x+16, C=3，求f(c)解：用綜合除法求得f(c)=40(1.7)4、決是t的值，使f(x)=x3-3x2+tx-1 有重根解J：由輾轉除法使（f(x),f(x)）求得

14、t=3 或t=當t=3時 f(x)有三重根1 當t=時，f(x)有二重根-(1.9)5、設f(x)=x5+x4-2x3-x2-x+2，求f(x)的有理根，并寫出f(x)在實數(shù)域和復數(shù)域上的標準分解式。解：有理根是1（二重），2 實數(shù)域上分解式為f(x)=(x-1)2(x+2)(x2+x+1)復數(shù)域上分解式為f(x)=(x-1)2(x+2)(x+-i)(x+(1.9)6、求f(x)=4x4-7x2-5x+1的有理根，并寫出f(x)在有理數(shù)域上的標準分解式。解：有理根為（二重）分解式為f(x)=4(x+)2(x2-x-1)(1.9)7、求f(x)=x5+x4-6x3-14x2-11x-3的有理根，

15、并寫出f(x)在復數(shù)域上的標準分解式解：有理根為1（四重）3，分解式f(x)=(x+1)4(x-3)(1.8)8、已知i, z-i 是f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5的兩個根，求f(x)的全部根解：全部根為 i,-i,2-i,2+i, (1.8)9、求以1-i, i為根的次數(shù)最低的復系數(shù)多項式f(x)解：f(x)=x2-x+(1+i)(1.8)10、求以1為二重根，1=I為單根的次數(shù)最低近的實系數(shù)多項式f(x).解：f(x)=x4-4x3-x2-6x+2(1.8)11、已知1-i是f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2的根，求f(x)的全部根。解：全部根為1+i,1-i,1

16、+,1-證明題(1.3)1、試證用x2-1除f(x)所得余式為證明：設余式為ax+b，則有f(x)=(x2-1)q(x)+ax+b f(1)=a+b ,f(-1)=-a+b求得a=(1.3)2、證明，h(x)(f(x),g(x)=(f(x)h(x),g(x)h(x)，其中h(x)是首項系數(shù)為1的多項式。證明：設（f(x),g(x)）=d(x) ，則h(x)d(x)|h(x)f(x) h(x)d(x)|h(x)g(x)，又存在u(x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d有h(x)f(x)u(x)+h(x)g(x)v(x)=h(x)g(x)于是h（x）d(x)=(h(x)f(x)

17、,h(x)g(x)(1.4)3、證明，如果f(x)|g(x)h(x),且(f(x),g(x)=1，則f(x)|h(x) 證明：由(f(x),g(x)=1,存在u(x),v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1,從而f(x)u(x)h(x)+g(x)v(x)h(x)=h(x),f(x)|g(x)h(x),f(x)h(x) 所以f(x)|h(x)(1.4)4、證明，（f(x)+g(x),f(x)-g(x)）=(f(x),g(x) 證明：(f(x)+g(x)=d(x) 則d(x)|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x) 設d1(x) 是f(x)+g(x),f(x)-g(x)r的任一

18、公因式 則d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x) d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x) 故d1(x)|f(x),d1(x)|g(x),從而d1(x)|d(x) 得證(1.5)5、證明，g(x)|f(x)的充分必要條件是g2(x)|f2(x) 證明：設f(x)=g(x)h(x), 則f2(x)=g2(x)h2(x)即g2(x)|f(x) 反之，設g2(x)|f2(x),將f(x),g(x)分解f(x)= aP1l1(x)psls(x),g(x)=bp1r1(x)psrs(x) 其中，li ri為非負整數(shù)，pi(x)為互不相同的可約多項式那么f2(

19、x)=a2p12l1(x)ps2ls(x),g2(x)=b2p12r1(x)ps2rs(x) 由g2(x)|f2(x),必有2ri2li,即rili于是g(x)|f(x)。(1.7)6、設f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0有n個非零根，12n，證明g（x）=a0xn+a1xn-1+an-1x+an的n個根。證明：設為f(x)的任非零根，則f()=ann+an-1n-1+a1+ao=0g()=a0()n+a1()n-1+an-1()+an=()n(ann+an-1n-1+a1+ao)=0所以(1.5)7、設p(x)是次數(shù)大于零的多項式，如果對任意多項式f(x)，g(x)，由p(x

20、|f(x)g(x)，可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，那么p(x)是不可約多項式證明：假設p(x)是可約的，設p(x)=p1(x)p2(x)其中 (p1 (x) (p(x), (p2(x)1）證明：-1,-2,，-n也線性無關。證明：設有等式K1（-1）+K2（-2）+Kn(-n)=0即（K2+Kn）1+( K1+K3+Kn) 2+（k1+kn-1）n=01, 2, n線性無關,得系數(shù)行列式齊次線性方程組只有零解，即K1=K2=Kn=0，故-1 ，-2，-n線性無關。(3.5)4、設n階行列式0證明線性方程組無解。證明：行列式0， 方程組的增廣矩陣的秩為n，但方程組中只有n-1個未

21、知量，系數(shù)矩陣的秩n-1，即系數(shù)矩陣的秩增廣矩陣的秩，方程組無解。(3.6)5、設齊次線性方程組的系數(shù)行列式D=0，而D中某一元素aij的代數(shù)余子式Aij0，證明：這個方程組的每一解都可寫成（kAi1,kAi2,，kAin）的形式，這里k為任意數(shù)。證明：D=0，所給齊次線性方程組有非零解，又某一元素aij的代數(shù)余子式Aiy0，系數(shù)矩陣的秩為n-1，因此基礎解系中只含有一個解向量。由ak1Ai1+ ak2Ai2+ aknAin=，可得（Ai1,Ai2,Ain）為其一個解，又Aij0，它是一個非0解，于是（Ai1,Ai2,Ain）可作為基礎解系，這個方程組的任一解都可寫成（KAi1,KAi2,，KAin）的形式。（K為任意數(shù)）(3.6)6、設線性方程組AX=B有解證明：AX=B有唯一解的充要條件是導出組AX=0只有零解。證明：必要性：若導出組有非零解，那么這個解與原方程組AX=B的一個解的和是其另一個解，AX=B不止一個解。充分性：若AX=B有兩個不同的解，那么它們的差是導出組AX=0的一個非零解