20150102解答12高等代數(shù)1期末試卷

1、2012學年第一學期 高等代數(shù)(A卷) 一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1、設為階方陣，下列運算正確的是（ D）(A) (B) (C） (D) 若可逆，則分析：，矩陣乘法不滿足交換律，故兩者不一定相等；同理，；2、設是矩陣，其秩為5，則齊次線性方程組 （ C ）(A) 基礎解系恰有5個解向量 (B) 基礎解系恰有6個解向量 (C) 基礎解系恰有1個解向量 (D) 只有零解分析：基礎解系所含向量個數(shù)：n(未知數(shù)個數(shù))-r（A的秩）0=6-5=13、若矩陣的秩為，則下列結(jié)論正確的是（ D ）(A)的任何級數(shù)不超過的子式都不等于零 (B)的任何級數(shù)不超過的子式都等于零(C)的任何級

2、數(shù)大于的子式都不等于零 (D)的任何級數(shù)大于的子式都等于零分析：細讀課本134頁定理6.4、 設是n維列向量，則線性無關(guān)的充要條件是（ D ）(A) 向量組中任意兩個向量線性無關(guān)(B) 存在一組不全為0的數(shù)，使得(C) 向量組中存在一個向量不能由其余向量線性表示(D) 向量組中任意一個向量都不能由其余向量線性表示5、設都是階正定矩陣，則下列結(jié)論正確的是（ C ）(A) 是正定矩陣 (B) 是正定矩陣 (C) 是可逆矩陣 (D) 是實對稱矩陣分析：正定二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1、設和是兩個多項式,若，則；證明 由于，所以存在多項式使得 于是 故 . 2、六階行列式中，這

3、一項該帶 正 號；分析：該項符號為3、設為三階方陣，為的伴隨矩陣，且有，則 ；分析：，故=4、設的一個極大線性無關(guān)組是，則 ；分析：依題意線性相關(guān)，從而5、若二次型是正定的，則滿足條件：。三、判斷題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）（請在你認為對的小題對應的括號內(nèi)打“”，否則打“´”）1均為階復對稱矩陣，則合同的充要條件是；（ ）2、含有個未知數(shù)的非齊次線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的秩等于；（ ´ ）分析：3、均為矩陣，若，則或者；（´ ）分析：矩陣乘法不滿足交換律，消去律，即4、如果向量組線性相關(guān)，則每個都可以表示為其余向量的線性組合；（&#

4、180; ）分析：向量組線性相關(guān)，則至少有一個都可以表示為其余向量的線性組合；5、若多項式和的最大公因式唯一，則。（ ）四、簡答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分）1、設，又，求矩陣以及它的逆矩陣。解：因為，所以有， （2分）而 （4分）， （6分）所以，注意：（1）利用為分塊對角矩陣（2） （3）設A為n階矩陣，涉及的題目充分利用以下公式：2、求階行列式的值。解 ：行列式特點：每一行的和相等為“1” , 每一列的和相等為“1” （4分） （8分）3、討論取何值時，線性方程組 (1) 有唯一解；（2）無解； （3）有無窮多個解，并求出此方程組的通解。解：方程組的系數(shù)行列式為 （1分）（1

5、） 當且 時，方程組有唯一解; （2分）（2） 時，階梯型，此時，方程組無解; （4分）（3）時，最簡型，此時方程組有無窮多解， （6分）由最簡型的一般解為（為自由未知量），所以所求通解為為任意常數(shù)。 （8分）4、設有二次型（1） 寫出二次型的矩陣；（2） 把二次型經(jīng)過非退化線性替換化為標準形，并寫出所用的非退化線性替換。解： (1) 二次型的矩陣為 （2分） （6分）令 則非退化線性變換 （7分）把二次型化為標準形 。 （8分）說明：A作行變換而E不變，接著”A和E”同時作和行變換相同的列變換，當A化為對角元為“1，-1”的對角陣時，E化為“C”五、證明題（本大題共4小題，每小題7分，共28

6、分）1、證明：如果均是正定矩陣，則也是正定矩陣。證： 因為A和B 都是正定矩陣，所以A和B 都是實對稱矩陣，又因此是實對稱矩陣。 （2分） 由A和B 都是正定矩陣知A和B都和E合同，即存在可逆陣 使得； （3分）構(gòu)造分塊陣，則C 可逆，且 （4分） （6分） 即與單位陣合同，結(jié)合知是正定矩陣。 （7分）2、設和是兩個同型矩陣，證明：秩秩+秩。證明方法1： 設矩陣的列向量組為，其極大無關(guān)組為 ， （1分）矩陣的列向量組為，其極大無關(guān)組為 ， （2分）則， （3分）， （4分）故，即的列向量組可由線性表示 （6分）則秩=秩+秩 （7分）注意：A組可由B組表示證明方法二：由課本166頁結(jié)論，秩秩+秩=秩+秩負號不會改變行列式是否為零的性質(zhì)，因此不會改變矩陣的秩，故 秩=秩3、用代表，代表，設，證明：證明：因為所以這表明是與的一個公因式；又 而，由課本習題一題13結(jié)論可知，即 式左右兩邊相乘知是是與的組合，故由課本習題一題8結(jié)論可知是與的最大公因式。 因此，。 4、向量組線性相關(guān)的充要條件是至少有一個向量可以被它前面的線性表示。證： “必要性” 因為向量組線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)，使得 （1