常用概率分布

1、第四章 常用概率分布為了便于讀者理解統(tǒng)計(jì)分析的基本原理，正確掌握和應(yīng)用以后各章所介紹的統(tǒng)計(jì)分析方法， 本章在介紹概率論中最基本的兩個(gè)概念事件、概率的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹生物科學(xué)研究中常用的幾種隨機(jī)變量的概率分布正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、波松分布以及樣本平均數(shù)的抽樣分布和t分布。第一節(jié) 事件與概率一、事 件（一）必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 在自然界與生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，人們會觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起來，大體上分為兩大類：一類是可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果總是確定的，必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）。例如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100必然沸騰；步行條件下必然不可能到達(dá)月球等。

2、這類現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象（inevitable phenomena）或確定性現(xiàn)象（definite phenomena）。另一類是事前不可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果未必相同。例如，擲一枚質(zhì)地均勻?qū)ΨQ的硬幣，其結(jié)果可能是出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面；孵化6枚種蛋，可能“孵化出0只雛”，也可能“孵化出1只雛”，也可能“孵化出6 只雛”，事前不可能斷言其孵化結(jié)果。這類在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象（random phenomena）或不確定性現(xiàn)象（indefinite phenomena）。人們通過長期的觀察和實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象或不確

3、定性現(xiàn)象，有如下特點(diǎn)：在一定的條件實(shí)現(xiàn)時(shí)，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，事前人們不能預(yù)言將出現(xiàn)哪種結(jié)果；對一次或少數(shù)幾次觀察或試驗(yàn)而言，其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性；但在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，其試驗(yàn)結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種固有的特定的規(guī)律性頻率的穩(wěn)定性，通常稱之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例如，對于一頭臨產(chǎn)的妊娠母牛產(chǎn)公犢還是產(chǎn)母犢是事前不能確定的，但隨著妊娠母牛頭數(shù)的增加，其產(chǎn)公犢、母犢的比例逐漸接近1：1的性別比例規(guī)律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門科學(xué)。（二）隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件1、隨機(jī)試驗(yàn) 通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件下對自然現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)（trial

4、）。而一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述三個(gè)特性，則稱其為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)（random trial），簡稱試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先知道會有哪些可能的結(jié)果； （3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。如在一定孵化條件下，孵化6枚種蛋，觀察其出雛情況；又如觀察兩頭臨產(chǎn)妊娠母牛所產(chǎn)犢牛的性別情況，它們都具有隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)特征，因此都是隨機(jī)試驗(yàn)。2、隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，稱為隨機(jī)事件（random event），簡稱事件（event），通常用A、B

5、、C等來表示。（1）基本事件 我們把不能再分的事件稱為基本事件（elementary event），也稱為樣本點(diǎn)（sample point）。例如，在編號為1、2、3、10的十頭豬中隨機(jī)抽取1頭，有10種不同的可能結(jié)果：“取得一個(gè)編號是1”、“取得一個(gè)編號是2”、“取得一個(gè)編號是10”，這10個(gè)事件都是不可能再分的事件，它們都是基本事件。由若干個(gè)基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件（compound event）。如“取得一個(gè)編號是2的倍數(shù)”是一個(gè)復(fù)合事件，它由“取得一個(gè)編號是2”、“是4”、“是6、“是8”、“是10”5個(gè)基本事件組合而成。（2）必然事件 我們把在一定條件下必然會發(fā)生的事件稱為

6、必然事件（certain event），用表示。例如，在嚴(yán)格按妊娠期母豬飼養(yǎng)管理的要求飼養(yǎng)的條件下，妊娠正常的母豬經(jīng)114天左右產(chǎn)仔，就是一個(gè)必然事件。（3）不可能事件 我們把在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件（impossible event），用表示。例如，在滿足一定孵化條件下，從石頭孵化出雛雞，就是一個(gè)不可能事件。必然事件與不可能事件實(shí)際上是確定性現(xiàn)象，即它們不是隨機(jī)事件，但是為了方便起見，我們把它們看作為兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件。二 、 概 率（一）概率的統(tǒng)計(jì)定義 研究隨機(jī)試驗(yàn)，僅知道可能發(fā)生哪些隨機(jī)事件是不夠的，還需了解各種隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，以揭示這些事件的內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

7、，從而指導(dǎo)實(shí)踐。這就要求有一個(gè)能夠刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，這指標(biāo)應(yīng)該是事件本身所固有的，且不隨人的主觀意志而改變，人們稱之為概率（probability）。事件A的概率記為P（A）。下面我們先介紹概率的統(tǒng)計(jì)定義。在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)為m，那么m/n稱為隨機(jī)事件A的頻率（frequency）；當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)數(shù)n逐漸增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值p，那么就把p稱為隨機(jī)事件A的概率。這樣定義的概率稱為統(tǒng)計(jì)概率（statistics probability），或者稱后驗(yàn)概率（posterior probability）。例如為了確定拋擲一枚硬幣

8、發(fā)生正面朝上這個(gè)事件的概率，歷史上有人作過成千上萬次拋擲硬幣的試驗(yàn)。在表41中列出了他們的試驗(yàn)記錄。 表41 拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的試驗(yàn)記錄實(shí)驗(yàn)者投擲次數(shù)發(fā)生正面朝上的次數(shù)頻率（m/n）蒲 豐404020480.5069k皮爾遜1200060190.5016k皮爾遜24000120120.5005從表4-1可看出，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，正面朝上這個(gè)事件發(fā)生的頻率越來越穩(wěn)定地接近0.5，我們就把0.5作為這個(gè)事件的概率。在一般情況下，隨機(jī)事件的概率p是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)隨機(jī)事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。即 P（A）=pm/n （n充分大） （4-1）（二）概率

9、的古典定義 上面介紹了概率的統(tǒng)計(jì)定義。但對于某些隨機(jī)事件，用不著進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)來確定其概率，而是根據(jù)隨機(jī)事件本身的特性直接計(jì)算其概率。有很多隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特征：1、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，即樣本空間中的基本事件只有有限個(gè)；2、各個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的；3、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。具有上述特征的隨機(jī)試驗(yàn)，稱為古典概型（classical model）。對于古典概型，概率的定義如下：設(shè)樣本空間由n個(gè)等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含有m個(gè)基本事件，則事件A的概率為m/n，即P（A）=m/n (4-2)這樣定義的概率稱為古典概率(cla

10、ssical probability)或先驗(yàn)概率(prior probability)?！纠?.1】在編號為1、2、3、10的十頭豬中隨機(jī)抽取1頭，求下列隨機(jī)事件的概率。（1）A=“抽得一個(gè)編號4”；（2）B=“抽得一個(gè)編號是2的倍數(shù)”。因?yàn)樵撛囼?yàn)樣本空間由10個(gè)等可能的基本事件構(gòu)成，即n=10,而事件A所包含的基本事件有4個(gè)，既抽得編號為1，2，3，4中的任何一個(gè)，事件A便發(fā)生，即mA=4，所以P(A)=mA/n=4/10=0.4同理，事件B所包含的基本事件數(shù)mB=5，即抽得編號為2，4，6，8，10中的任何一個(gè)，事件B便發(fā)生，故P(B)=mB/n=5/10=0.5。 【例4.2】 在N頭奶

11、牛中，有M頭曾有流產(chǎn)史，從這群奶牛中任意抽出n頭奶牛，試求:(1)其中恰有m頭有流產(chǎn)史奶牛的概率是多少？(2)若N=30，M =8，n =10，m =2，其概率是多少？我們把從有M頭奶牛曾有流產(chǎn)史的N頭奶牛中任意抽出n頭奶牛，其中恰有m頭有流產(chǎn)史這一事件記為A，因?yàn)閺腘頭奶牛中任意抽出n頭奶牛的基本事件總數(shù)為，事件A 所包含的基本事件數(shù)為 ，因此所求事件A的概率為=將N=30，M =8，n =10，m =2代入上式，得= 0.0695即在30頭奶牛中有8頭曾有流產(chǎn)史，從這群奶牛隨機(jī)抽出10頭奶牛其中有2頭曾有流產(chǎn)史的概率為6.95%。（三）概率的性質(zhì) 根據(jù)概率的定義，概率有如下基本性質(zhì)：1、對

12、于任何事件A，有0P（A）1；2、必然事件的概率為1，即P（）=1；3、不可能事件的概率為0，即P（）=0。三、小概率事件實(shí)際不可能性原理隨機(jī)事件的概率表示了隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機(jī)事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之為小概率事件。小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實(shí)際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率事件實(shí)際不可能性原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（顯著性檢驗(yàn)）的基本依據(jù)。在下一章介紹顯著性檢

13、驗(yàn)的基本原理時(shí)，將詳細(xì)敘述小概率事件實(shí)際不可能性原理的具體應(yīng)用。第二節(jié) 概率分布事件的概率表示了一次試驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小。若要全面了解試驗(yàn)，則必須知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果及各種可能結(jié)果發(fā)生的概率，即必須知道隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布(probability distribution)。為了深入研究隨機(jī)試驗(yàn)，我們先引入隨機(jī)變量(random variable)的概念。一、隨機(jī)變量 作一次試驗(yàn)，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個(gè)數(shù)來表示，把這些數(shù)作為變量x的取值范圍，則試驗(yàn)結(jié)果可用變量x來表示。 【例4.3】 對100頭病畜用某種藥物進(jìn)行治療，其可能結(jié)果是“0頭治愈”、 “1頭治愈”、“2

14、頭治愈”、“”、“100頭治愈”。若用x表示治愈頭數(shù)，則x的取值為0、1、2、100。 【例4.4】 孵化一枚種蛋可能結(jié)果只有兩種，即“孵出小雞”與“未孵出小雞”。 若用變量x表示試驗(yàn)的兩種結(jié)果，則可令x=0表示“未孵出小雞”，x=1表示“孵出小雞”。 【例4.5】 測定某品種豬初生重，表示測定結(jié)果的變量x所取的值為一個(gè)特定范圍(a,b)，如0.51.5kg，x值可以是這個(gè)范圍內(nèi)的任何實(shí)數(shù)。如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量x，其可能取值至多為可列個(gè)，且以各種確定的概率取這些不同的值，則稱x為離散型隨機(jī)變量 (discrete random variable)；如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量x，其可能取值為某范圍

15、內(nèi)的任何數(shù)值，且x在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時(shí)，其概率是確定的，則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量(continuous random variable)。引入隨機(jī)變量的概念后，對隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布的研究就轉(zhuǎn)為對隨機(jī)變量概率分布的研究了。二、離散型隨機(jī)變量的概率分布 要了解離散型隨機(jī)變量x的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就必須知道它的一切可能值xi及取每種可能值的概率pi。 如果我們將離散型隨機(jī)變量x的一切可能取值xi (i=1,2,)，及其對應(yīng)的概率pi，記作P(x=xi)=pi i=1,2, (43) 則稱（43）式為離散型隨機(jī)變量x的概率分布或分布。常用分布列(distribution series)來表示離散型隨

16、機(jī)變量：x1 x2 xn . p1 p2 pn 顯然離散型隨機(jī)變量的概率分布具有pi0和pi=1這兩個(gè)基本性質(zhì)。三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量(如體長、體重、蛋重)的概率分布不能用分布列來表示，因?yàn)槠淇赡苋〉闹凳遣豢蓴?shù)的。我們改用隨機(jī)變量x在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率P(ax<b)來表示。 下面通過頻率分布密度曲線予以說明。 由表27作126頭基礎(chǔ)母羊體重資料的頻率分布直方圖，見圖41，圖中縱座標(biāo)取頻率與組距的比值?？梢栽O(shè)想，如果樣本取得越來越大(n+)，組分得越來越細(xì)(i0)，某一范圍內(nèi)的頻率將趨近于一個(gè)穩(wěn)定值概率。這時(shí)，頻率分布直方圖各個(gè)直方上端中點(diǎn)的聯(lián)線頻率分布折線將逐漸趨

17、向于一條曲線，換句話說，當(dāng)n+、i0時(shí)，頻率分布折線的極限是一條穩(wěn)定的函數(shù)曲線。 對于樣本是取自連續(xù)型隨機(jī)變量的情況，這條函數(shù)曲線將是光滑的。 這條曲線排除了抽樣和測量的誤差，完全反映了基礎(chǔ)母羊體重的變動(dòng)規(guī)律。 這條曲線叫概率分布密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)叫概率分布密度函數(shù)。若記體重概率分布密度函數(shù)為f(x)，則x取值于區(qū)間a,b）的概率為圖中陰影部分的面積，即P(ax<b)= (4-4)圖4-1 表2-7資料的分布曲線(44)式為連續(xù)型隨機(jī)變量x在區(qū)間a,b）上取值概率的表達(dá)式。可見，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率由概率分布密度函數(shù)確定。 此外，連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布還具有以下性質(zhì)： 1、分布密度函數(shù)

18、總是大于或等于0，即f(x)0； 2、當(dāng)隨機(jī)變量x取某一特定值時(shí)，其概率等于0；即 (c為任意實(shí)數(shù))因而，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，僅研究其在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，而不去討論取某一個(gè)值的概率。 3、在一次試驗(yàn)中隨機(jī)變量x之取值必在-x+范圍內(nèi)，為一必然事件。所以 (4-5)(45)式表示分布密度曲線下、橫軸上的全部面積為1。第三節(jié) 正態(tài)分布 正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的，如家畜的體長、體重、產(chǎn)奶量、產(chǎn)毛量、血紅蛋白含量、血糖含量等。許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限

19、分布。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中，均占有重要的地位。一、正態(tài)分布的定義及其特征 (一) 正態(tài)分布的定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為 (4-16)其中為平均數(shù)，2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布(normal distribution)， 記為xN(,2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為 (4-17)圖42 正態(tài)分布密度曲線分布密度曲線如圖42所示。 (二) 正態(tài)分布的特征 由(46)式和圖42可以看出正態(tài)分布具有以下幾個(gè)重要特征： 1、正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為x=； 2、f(x)在x=處達(dá)到極大，極大值； 3、f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸

20、為漸近線，分布從-至+； 4、曲線在x=±處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線在(-,-)和(+,+) 區(qū)間上是下凸的，在-,+區(qū)間內(nèi)是上凸的；5、正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。是位置參數(shù)，如圖43所示。 當(dāng)恒定時(shí)，愈大，則曲線沿x軸愈向右移動(dòng)；反之，愈小，曲線沿x軸愈向左移動(dòng)。是變異度參數(shù)，如圖44所示。當(dāng)恒定時(shí)，愈大，表示x的取值愈分散， 曲線愈“胖”；愈小，x的取值愈集中在附近，曲線愈“瘦”。6、分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：圖43 相同而不同的三個(gè)正態(tài)分布圖44 相同而不同的三個(gè)正態(tài)分布二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 由上述正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布是依賴于參數(shù)和2(或)的一簇分布，

21、正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨和2的不同而不同。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難， 需將一般的N(，2)轉(zhuǎn)換為=0,2=1的正態(tài)分布。我們稱=0,2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作(u)和(u)，由 (4-6)及(4-7) 式得： (4-8) (4-9)隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作uN(0，1)，分布密度曲線如圖45所示。圖45 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線 對于任何一個(gè)服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換：u=(x-) (4-10)將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量u。u稱為標(biāo)準(zhǔn)正

22、態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standard normal deviate)。 按(4-9)式計(jì)算，對不同的u值編成函數(shù)表，稱為正態(tài)分布表，見附表1，從中可查到u在意一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率。這就給解決不同、 2的正態(tài)分布概率計(jì)算問題帶來很大方便。三、正態(tài)分布的概率計(jì)算 關(guān)于正態(tài)分布的概率計(jì)算，我們先從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布著手。這是因?yàn)椋环矫鏄?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在正態(tài)分布中形式最簡單，而且任意正態(tài)分布都可化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來計(jì)算；另一方面，人們已經(jīng)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)編制成正態(tài)分布表(附表1)以供直接查用。(一) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 設(shè)u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則u在u1,u2內(nèi)取值的概率為： (u2)(u1) (

23、4-11)而(u1)與(u2)可由附表1查得。 附表1只對于-4.99u4.99給出了(u)的數(shù)值。 表中，u值列在第一列和第一行，第一列列出u的整數(shù)部分及小數(shù)點(diǎn)后第一位， 第一行為u的小數(shù)點(diǎn)后第二位數(shù)值 。例如，u=1.75，1.7放在第一列，0.05放在第一行。在附表1中，1.7所在行與0.05 所在列相交處的數(shù)值為0.95994，即(1.75)=0.95994。有時(shí)會遇到給定(u)值，例如(u)=0.284， 反過來查u值。這只要在附表1中找到與0.284最接近的值0.2843，對應(yīng)行的第一列數(shù)-0.5， 對應(yīng)列的第一行數(shù)值0.07，即相應(yīng)的u值為u=-0.57，亦即(-0.57)=0.

24、284。如果要求更精確的u值，可用線性插值法計(jì)算。 表中用了象.032336，.937674這種寫法，分別是0.0002326和0.9997674的縮寫，03表示連續(xù)3個(gè)0，93表示連續(xù)3個(gè)9。 由(4-11) 式及正態(tài)分布的對稱性可推出下列關(guān)系式，再借助附表1， 便能很方便地計(jì)算有關(guān)概率： P(0uu1)(u1)-0.5 P(uu1) =(-u1) P(uu1)=2(-u1) (4-12) P(uu1)=1-2(-u1) P(u1uu2)(u2)-(u1) 【例4.6】 已知uN(0，1)，試求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=?

25、(4) P(0.34u1.53) =? 利用(4-12)式，查附表1得： (1) P(u-1.64)=0.05050 (2) P (u2.58)=(-2.58)=0.024940 (3) P (u2.56)=2(-2.56)=2×0.005234=0.010468 (4) P (0.34u1.53)=(1.53)-(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記：P（-1u1）=0.6826P（-2u2）=0.9545P（-3u3）=0.9973P（-1.96u1.96）=0.95P (-2.58u2.58)=0.99圖46 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

26、分布的三個(gè)常用概率u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為：P(u1)=2(-1)=1- P(-1u1)=1-0.6826=0.3174P(u2)=2(-2)=1- P（-2u2）=1-0.9545=0.0455P(u3)=1-0.9973=0.0027P(u1.96)=1-0.95=0.05P(u2.58)=1-0.99=0.01 (二) 一般正態(tài)分布的概率計(jì)算 正態(tài)分布密度曲線和橫軸圍成的一個(gè)區(qū)域，其面積為1，這實(shí)際上表明了“隨機(jī)變量x取值在-與+之間”是一個(gè)必然事件，其概率為1。若隨機(jī)變量 x服從正態(tài)分布N(,2)，則x的取值落在任意區(qū)間x1,x2）的概率，記作P(x1xx2)，等于圖4-7

27、中陰影部分曲邊梯形面積。即：圖47 正態(tài)分布的概率 (4-13) 對 (4-13)式作變換u=(x-)，得dx=du，故有 =其中， 這表明服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量x在x1，x2）內(nèi)取值的概率，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量u在(x1-)/, (x2-)/）內(nèi)取值的概率。因此，計(jì)算一般正態(tài)分布的概率時(shí)，只要將區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換(標(biāo)準(zhǔn)化)，就可用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表的方法求得概率了。 【例4.7】 設(shè)x服從=30.26,2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64x32.98)。 令， 則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故 =P(-1.69u0.53)=(0.53)-(-1.69) =0.70

28、19-0.04551=0.6564 關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個(gè)概率(即隨機(jī)變量x落在加減不同倍數(shù)區(qū)間的概率)是經(jīng)常用到的。P(-x+)=0.6826P(-2x+2) =0.9545P (-3x+3) =0.9973P (-1.96x+1.96) =0.95P (-2.58x+2.58)=0.99上述關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論，可用一實(shí)例來印證。從圖2-7可以看出，126頭基礎(chǔ)母羊體重資料的次數(shù)分布接近正態(tài)分布，現(xiàn)根據(jù)其平均數(shù)=52.26(kg)，標(biāo)準(zhǔn)差S=5.10(kg)，算出平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間內(nèi)所包括的次數(shù)與頻率，列于表42。表42 126頭基礎(chǔ)母羊體重在±kS 區(qū)間內(nèi)所包括的次

29、數(shù)與頻率±kS數(shù) 值區(qū) 間區(qū)間內(nèi)所包含的次數(shù)與頻率次數(shù)頻率（%）±1S52.26±5.1047.1657.368467.46±2S52.26±10.2042.0662.4611994.44±3S52.26±15.3036.9667.56126100.00±1.96S52.26±10.0042.2662.2611994.44±2.58S52.26±13.1639.1065.42126100.00 由表42可見，實(shí)際頻率與理論概率相當(dāng)接近，說明126頭基礎(chǔ)母羊體重資料的頻率分布接近正態(tài)分布

30、，從而可推斷基礎(chǔ)母羊體重這一隨機(jī)變量很可能是服從正態(tài)分布的。 生物統(tǒng)計(jì)中，不僅注意隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間(-k,+k)之內(nèi)的概率而且也很關(guān)心x落在此區(qū)間之外的概率。我們把隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間之外的概率稱為雙側(cè)概率(兩尾概率)，記作。對應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機(jī)變量x小于-k或大于+k的概率，稱為單側(cè)概率(一尾概率),記作2。例如，x落在(-1.96,+1.96)之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即P(x-1.96)= P(x+1.96)=0.025雙側(cè)概率或單側(cè)概率如圖48所示。x落在(-2.58,+2.58)之外的雙側(cè)概率為0.01，而

31、單側(cè)概率P(x-2.58)= P(x+2.58)=0.005圖48 雙側(cè)概率與單側(cè)概率 附表2給出了滿足P (u)=的雙側(cè)分位的數(shù)值。因此， 只要已知雙側(cè)概率的值，由附表2就可直接查出對應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)，查法與附表1相同。例如，已知uN(0,1)試求： (1) P(u-)+P(u)=0.10的 (2) P(-u=0.86的因?yàn)楦奖?中的值是：所以 （1) P(u-)+ P(u)=1- P(-u=0.10=由附表2查得： =1.644854(2) P (-u)=0.86 ，=1- P (-u)=1-0.86=0.14由附表2查得：=1.475791 對于xN(,2)，只要將其轉(zhuǎn)換為uN(0,1),

32、即可求得相應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)。 【例4.8】 已知豬血紅蛋白含量x服從正態(tài)分布N(12.86，)， 若P(x) =0.03, P(x)=0.03,求,。由題意可知，2=0.03,=0.06 又因?yàn)?P(x)=故 P(x+ P(x)= P(u-+ P(u) =1- P(-P)=0.06=由附表2查得：=1.880794,所以 (-12.86)/1.33=-1.880794， (-12.86)/1.33=1.880794即 10.36， 15.36。第四節(jié) 二項(xiàng)分布一、貝努利試驗(yàn)及其概率公式 將某隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，若各次試驗(yàn)結(jié)果互不影響， 即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱

33、這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的。 對于n次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對立事件A與之一，在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p(0<p<1),因而出現(xiàn)對立事件的概率是1-p=q，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡稱貝努利試驗(yàn)(Bernoulli trials )。 在生物學(xué)研究中，我們經(jīng)常碰到的一類離散型隨機(jī)變量，如入孵n枚種蛋的出雛數(shù)、n頭病畜治療后的治愈數(shù)、n 尾魚苗的成活數(shù)等，可用貝努利試驗(yàn)來概括。 在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生0，1，2，n次，現(xiàn)在我們來求事件A 恰好發(fā)生k(0kn)次的概率Pn(k)。 先取n=4，k=2來討論。在4次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生2次的方式

34、有以下種： 其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗(yàn)發(fā)生；(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗(yàn)不發(fā)生。由于試驗(yàn)是獨(dú)立的，按概率的乘法法則，于是有 P()=P()= P()= P()·P()·P()·P()=又由于以上各種方式中，任何二種方式都是互不相容的，按概率的加法法則，在4 次試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生2次的概率為= P()+P()+ P()=一般，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為= k=0,1,2，n (4-14)若把(4-14)式與二項(xiàng)展開式相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于 展開式中

35、的第k+1項(xiàng)，所以也把(4-14)式稱作二項(xiàng)概率公式。二、二項(xiàng)分布的意義及性質(zhì)二項(xiàng)分布定義如下： 設(shè)隨機(jī)變量x所有可能取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,，n，且有= k=0,1,2，n其中p0，q0，p+q=1，則稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布 (binomial distribution),記為 xB(n,p)。 顯然，二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。參數(shù)n稱為離散參數(shù)， 只能取正整數(shù)；p是連續(xù)參數(shù)，它能取0與1之間的任何數(shù)值(q由p確定，故不是另一個(gè)獨(dú)立參數(shù))。 容易驗(yàn)證，二項(xiàng)分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即： 1、P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,，n) 2、二項(xiàng)分布

36、的概率之和等于1，即3、 (4-15)4、 (4-16) 5、（m1<m2） (4-17) 二項(xiàng)分布由n和p兩個(gè)參數(shù)決定： 1、當(dāng)p值較小且n不大時(shí)，分布是偏倚的。但隨著n的增大 ，分布逐漸趨于對稱，如圖49 所示； 2、當(dāng)p值趨于0.5時(shí)，分布趨于對稱，如圖410所示； 3、對于固定的n及p，當(dāng)k增加時(shí)，Pn(k)先隨之增加并達(dá)到其極大值，以后又下降。圖49 n值不同的二項(xiàng)分布比較 圖410 p值不同的二項(xiàng)分布比較 此外，在n較大，np、nq較接近時(shí)，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)n時(shí)，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。三、二項(xiàng)分布的概率計(jì)算及應(yīng)用條件 【例4.9】 純種白豬與純種黑豬雜交，根

37、據(jù)孟德爾遺傳理論， 子二代中白豬與黑豬的比率為31。求窩產(chǎn)仔10頭，有7頭白豬的概率。 根據(jù)題意，n=10，p=34=0.75，q=14=0.25。設(shè)10頭仔豬中白色的為x頭，則x為服從二項(xiàng)分布B(10，0.75)的隨機(jī)變量。于是窩產(chǎn)10頭仔豬中有7頭是白色的概率為： 【例4.10】 設(shè)在家畜中感染某種疾病的概率為20，現(xiàn)有兩種疫苗，用疫苗A 注射了15頭家畜后無一感染，用疫苗B注射15頭家畜后有1頭感染。設(shè)各頭家畜沒有相互傳染疾病的可能，問：應(yīng)該如何評價(jià)這兩種疫苗?假設(shè)疫苗A完全無效，那么注射后的家畜感染的概率仍為20，則15 頭家畜中染病頭數(shù)x=0的概率為同理，如果疫苗B完全無效，則15頭

38、家畜中最多有1頭感染的概率為由計(jì)算可知，注射A疫苗無效的概率為0.0352，比B疫苗無效的概率0.1671小得多。因此，可以認(rèn)為A疫苗是有效的，但不能認(rèn)為B疫苗也是有效的。 【例4.11】 仔豬黃痢病在常規(guī)治療下死亡率為20，求5 頭病豬治療后死亡頭數(shù)各可能值相應(yīng)的概率。設(shè)5頭病豬中死亡頭數(shù)為x，則x服從二項(xiàng)分布B(5,0.2)，其所有可能取值為0，1，5,按(4-6)式計(jì)算概率用分布列表示如下：0 1 2 3 4 5 0.3277 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003從上面各例可看出二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件有三：（1）各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性

39、，生存或死亡等，屬于二項(xiàng)分類資料；（2）已知發(fā)生某一結(jié)果(如死亡) 的概率為p，其對立結(jié)果的概率則為1-P=q，實(shí)際中要求p 是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值；（3）n個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果互相獨(dú)立，即每個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果不會影響到其它觀察單位的觀察結(jié)果。四、二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 前面已經(jīng)指出二項(xiàng)分布由兩個(gè)參數(shù)n和p決定。統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量之平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與參數(shù)n、p有如下關(guān)系： 當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果以事件A發(fā)生次數(shù)k表示時(shí) =np (4-18) = (4-19)【例4.12】 求【例4.11】平均死亡豬數(shù)及死亡數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。以p=0.2,n=5代入 (4-18)和(4-

40、19) 式得平均死亡豬數(shù) =5×0.20=1.0(頭)標(biāo)準(zhǔn)差 = =0.894(頭)當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果以事件A發(fā)生的頻率kn表示時(shí) (4-20)= (4-21) 也稱為總體百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤，當(dāng)p未知時(shí)，常以樣本百分?jǐn)?shù)來估計(jì)。此時(shí)(4-21) 式改寫為：Sp = (4-22)稱為樣本百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。第五節(jié) 波松分布波松分布是一種可以用來描述和分析隨機(jī)地發(fā)生在單位空間或時(shí)間里的稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大 。在生物、醫(yī)學(xué)研究中，服從波松分布的隨機(jī)變量是常見的。如，一定畜群中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)，畜群中遺傳的畸形怪胎數(shù)，每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計(jì)數(shù)器小方格

41、中血球數(shù)，單位空間中某些野生動(dòng)物或昆蟲數(shù)，醫(yī)院門診單位時(shí)間內(nèi)就診患者數(shù)等，都是服從波松分布的。一、波松分布的意義 若隨機(jī)變量x(x=k)只取零和正整數(shù)值0，1，2，且其概率分布為 ，k=0，1， (4-23)其中0；e=2.7182是自然對數(shù)的底數(shù)，則稱x服從參數(shù)為的波松分布(Poisson's distribution)，記為xP()。 波松分布作為一種離散型隨機(jī)變量的概率分布有一個(gè)重要的特征，這就是它的平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)，即=2=。利用這一特征， 可以初步判斷一個(gè)離散型隨機(jī)變量是否服從波松分布?！纠?.13】 調(diào)查某種豬場閉鎖育種群仔豬畸形數(shù)，共記錄200窩， 畸形仔豬數(shù)

42、的分布情況如表4-3所示。試判斷畸形仔豬數(shù)是否服從波松分布。表4-3 畸形仔豬數(shù)統(tǒng)計(jì)分布每窩畸形數(shù)k01334合計(jì)窩 數(shù) f120621521200 根據(jù)波松分布的平均數(shù)與方差相等這一特征，若畸形仔豬數(shù)服從波松分布，則由觀察數(shù)據(jù)計(jì)算的平均數(shù)和方差就近于相等。樣本均數(shù)和方差S2計(jì)算結(jié)果如下：=fk/n=(120×0+62×1+15×2+2×3+1×4)/200=0.51-=0.51，S2=0.52,這兩個(gè)數(shù)是相當(dāng)接近的， 因此可以認(rèn)為畸形仔豬數(shù)服從波松分布。 是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。值愈小分布愈偏倚，隨著的增大，分布趨于對稱(如圖4-11所示

43、)。當(dāng)=20時(shí)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)=50時(shí)，可以認(rèn)為波松分布呈正態(tài)分布。所以在實(shí)際工作中，當(dāng)20時(shí)就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布的問題。圖411 不同的波松分布二、波松分布的概率計(jì)算 由(4-23)式可知，波松分布的概率計(jì)算，依賴于參數(shù)的確定，只要參數(shù)確定了，把k=0,1,2,代入(4-23)式即可求得各項(xiàng)的概率。 但是在大多數(shù)服從波松分布的實(shí)例中，分布參數(shù)往往是未知的，只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，將其代替(4-23)式中的，計(jì)算出k=0,1,2,時(shí)的各項(xiàng)概率。 如【例4.13】中已判斷畸形仔豬數(shù)服從波松分布，并已算出樣本平均數(shù)=0.51。將0.51代替

44、公式（4-23）中的得： (k=0,1,2,) 因?yàn)閑-0.51=1.6653，所以畸形仔豬數(shù)各項(xiàng)的概率為：P(x=0)=0.510(0!×1.6653)=0.6005P(x=1)=0.511(1!×1.6653)=0.3063P(x=2)=0.512(2!×1.6653)=0.0781P(x=3)=0.513(3!×1.6653)=0.0133P(x=4)=0.514(4!×1.6653)=0.0017把上面各項(xiàng)概率乘以總觀察窩數(shù)(N=200)即得各項(xiàng)按波松分布的理論窩數(shù)。 波松分布與相應(yīng)的頻率分布列于表47中。 表44 畸形仔豬數(shù)的波松分布

45、 每窩畸形數(shù) k01234合計(jì)窩 數(shù)120621521200頻 率0.60000.31000.07500.01000.00501.00概 率0.60050.30630.07810.01330.00181.00理論窩數(shù)120.1261.2615.622.660.34200將實(shí)際計(jì)算得的頻率與根據(jù)=0.51的泊松分布計(jì)算的概率相比較，發(fā)現(xiàn)畸形仔豬的頻率分布與=0.51的波松分布是吻合得很好的。這進(jìn)一步說明了畸形仔豬數(shù)是服從波松分布的?！纠?.14】 為監(jiān)測飲用水的污染情況， 現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù)， 共得400個(gè)記錄如下：1ml水中細(xì)菌數(shù)0123合 計(jì)次數(shù)f243120316400試分析

46、飲用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從波松分布。若服從，按波松分布計(jì)算每毫升水中細(xì)菌數(shù)的概率及理論次數(shù)并將次數(shù)分布與波松分布作直觀比較。 經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù)=0.500,方差S2=0.496。兩者很接近， 故可認(rèn)為每毫升水中細(xì)菌數(shù)服從波松分布。以=0.500代替（4-23）式中的，得 (k=0,1,2)計(jì)算結(jié)果如表45所示。 表45 細(xì)菌數(shù)的波松分布1ml水中細(xì)菌數(shù)0123合 計(jì)實(shí)際次數(shù)243120316400頻 率0.60750.30000.07750.01501.00概 率0.60650.30330.07580.01441.00理論次數(shù)242.60121.3230.325.76400 可見

47、細(xì)菌數(shù)的頻率分布與=0.5的波松分布是相當(dāng)吻合的，進(jìn)一步說明用波松分布描述單位容積(或面積)中細(xì)菌數(shù)的分布是適宜的。應(yīng)當(dāng)注意，二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件也是波松分布的應(yīng)用條件。比如二項(xiàng)分布要求n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，這也是波松分布的要求。然而一些具有傳染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)，因?yàn)槭桌l(fā)生之后可成為傳染源，會影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不符合波松分布的應(yīng)用條件。對于在單位時(shí)間、單位面積或單位容積內(nèi)，所觀察的事物由于某些原因分布不隨機(jī)時(shí)，如細(xì)菌在牛奶中成集落存在時(shí)，亦不呈波松分布。前面討論的三個(gè)重要的概率分布中，前一個(gè)屬連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，后兩個(gè)屬離散型隨機(jī)變量的概率分布。三者間的關(guān)系如下： 對于二項(xiàng)

48、分布，在n,p0，且n p =(較小常數(shù))情況下，二項(xiàng)分布趨于波松布。在這種場合，波松分布中的參數(shù)用二項(xiàng)分布的n p代之；在n, p0.5時(shí)，二項(xiàng)分布趨于正態(tài)分布。在這種場合，正態(tài)分布中的、2用二項(xiàng)分布的n p、n p q代之。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)p0.1且n很大時(shí)，二項(xiàng)分布可由波松分布近似；當(dāng)p0.1且n很大時(shí)，二項(xiàng)分布可由正態(tài)分布近似。對于波松分布，當(dāng)時(shí)，波松分布以正態(tài)分布為極限。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)20(也有人認(rèn)為6)時(shí)，用波松分布中的代替正態(tài)分布中的及2，即可由后者對前者進(jìn)行近似計(jì)算。第六節(jié) 樣本平均數(shù)的抽樣分布 研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心內(nèi)容。對這種關(guān)系的研究可從兩方面

49、著手，一是從總體到樣本，這就是研究抽樣分布(sampling distribution)的問題； 二是從樣本到總體，這就是統(tǒng)計(jì)推斷(statistical inference)問題。 統(tǒng)計(jì)推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。為了能正確地利用樣本去推斷總體，并能正確地理解統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論，須對樣本的抽樣分布有所了解。 我們知道，由總體中隨機(jī)地抽取若干個(gè)體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計(jì)量(如，S)也將隨樣本的不同而有所不同，因而樣本統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量， 也有其概率分布。我們把統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布。本節(jié)僅就樣本平均數(shù)的抽樣分布加以討論。一、樣本平均數(shù)抽樣分布 由總體

50、隨機(jī)抽樣(random sampling)的方法可分為有返置抽樣和不返置抽樣兩種。 前者指每次抽出一個(gè)個(gè)體后，這個(gè)個(gè)體應(yīng)返置回原總體；后者指每次抽出的個(gè)體不返置回原總體。對于無限總體，返置與否都可保證各個(gè)體被抽到的機(jī)會相等。對于有限總體，就應(yīng)該采取返置抽樣，否則各個(gè)體被抽到的機(jī)會就不相等。設(shè)有一個(gè)總體，總體平均數(shù)為,方差為2，總體中各變數(shù)為x， 將此總體稱為原總體?，F(xiàn)從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為?？梢栽O(shè)想,從原總體中可抽出很多甚至無窮多個(gè)含量為n的樣本。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同， 與原總體平均數(shù)相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機(jī)抽樣造成的， 稱為抽樣誤差(sampling error)。顯