二元函數(shù)的極值與最值

1、二元函數(shù)的極值與最值二元函數(shù)的極值與最值問(wèn)題已成為近年考研的重點(diǎn)，現(xiàn)對(duì)二元函數(shù)的極值與最值的求法總結(jié)如下：1二元函數(shù)的無(wú)條件極值(1) 二元函數(shù)的極值一定在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)取得。對(duì)于不可導(dǎo)點(diǎn)，難以判斷是否是極值點(diǎn)；對(duì)于駐點(diǎn)可用極值的充分條件判定。(2)二元函數(shù)取得極值的必要條件： 設(shè)在點(diǎn)處可微分且在點(diǎn)處有極值，則，即是駐點(diǎn)。(3) 二元函數(shù)取得極值的充分條件：設(shè)在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)上二階偏導(dǎo)數(shù)，且，令，則當(dāng)且 A<0時(shí)，f為極大值；當(dāng)且A>0，f為極小值；時(shí)，不是極值點(diǎn)。注意： 當(dāng)B2AC = 0時(shí)，函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，需另行討論例1 求函數(shù)z

2、 = x3 + y2 2xy的極值【分析】可能極值點(diǎn)是兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定極值點(diǎn)即可，然后用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值，并求出相應(yīng)的極值.【解】先求函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)：，, , 再求函數(shù)的駐點(diǎn)令= 0，= 0，得方程組求得駐點(diǎn)(0，0)、利用定理2對(duì)駐點(diǎn)進(jìn)行討論：(1)對(duì)駐點(diǎn)(0, 0)，由于A = 0, B =2， C = 2，B2AC0,故(0, 0)不是函數(shù)z = f(x, y) 的極值點(diǎn)(2)對(duì)駐點(diǎn)，由于A =4, B =2，C = 2,B2AC =40, 且A0,則 為函數(shù)的一個(gè)極小值例2：（2004數(shù)學(xué)一）設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求

3、的極值點(diǎn)和極值.【分析】 本題把極值問(wèn)題與隱函數(shù)求導(dǎo)方法相結(jié)合，計(jì)算量是比較大的。這體現(xiàn)了考研的基本要求?！窘狻?因?yàn)?，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(diǎn)(9,3)是z(x,y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9,3)=3.類(lèi)似地，由 ，可知，又，從而點(diǎn)(-9, -3)是z(x,y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(-9, -3)= -3.【評(píng)注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問(wèn)題，關(guān)鍵是求可能極值點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意x,y,z滿足原方程。2二元函數(shù)的條件極值拉格朗日數(shù)乘法：設(shè)某領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，引入輔助函數(shù)解聯(lián)立方程組得可能是在條件下的極值點(diǎn)例3經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有平面中

4、，哪一個(gè)平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍的立體的體積最小并求此最小體積【分析】條件極值經(jīng)?？紤?yīng)用題。這一點(diǎn)大家應(yīng)引起重視。【解】設(shè)所求平面方程為 因?yàn)槠矫孢^(guò)點(diǎn)，所以該點(diǎn)坐標(biāo)滿足此平面方程，即有 (1)設(shè)所求平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍立體的體積為V， 則 (2)原問(wèn)題化為求目標(biāo)函數(shù)（2）在約束條件（1）下的最小值作拉格朗日函數(shù)求函數(shù)L的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：由此方程組和（9）解得a = b = c = 3由于最小體積一定存在又函數(shù)有惟一的駐點(diǎn)故a = b = c = 3為所求即平面x + y + z = 3與坐標(biāo)面在第一卦限所圍物體的體積最小最小體積為例4 某公司通過(guò)電臺(tái)及報(bào)紙兩種方式做銷(xiāo)售

5、廣告，收入萬(wàn)元與電視廣告費(fèi)萬(wàn)元及報(bào)紙廣告費(fèi)萬(wàn)元之間的關(guān)系為： 在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最佳廣告策略； 若提供的廣告費(fèi)用為總額15萬(wàn)元，求相應(yīng)最佳廣告策略【解】 利潤(rùn)函數(shù)為，求函數(shù)L的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：解得，則為惟一的駐點(diǎn)又由題意，可導(dǎo)且一定存在最大值，故最大值必在這惟一的駐點(diǎn)處達(dá)到所以最大利潤(rùn)為萬(wàn)元因此，當(dāng)電視廣告費(fèi)與報(bào)紙廣告費(fèi)分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元時(shí)，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元，此即為最佳廣告策略 求廣告費(fèi)用為15萬(wàn)元的條件下的最佳廣告策略，即為在約束條件下， 求的最大值作拉格朗日函數(shù)求函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：并和條件聯(lián)立解得，這是惟一的駐點(diǎn)，又由題意，一定存在最大值，故

6、萬(wàn)元為最大值【評(píng)注】 本題也可由，解得，代入目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成一元函數(shù)求解。3二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的最值一定在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)及邊界點(diǎn)取得。例5:（2007數(shù)學(xué)一）求函數(shù)在區(qū)域D上的最大值和最小值，其中： 。【分析】 由于D為閉區(qū)域，在開(kāi)區(qū)域內(nèi)按無(wú)條件極值分析，而在邊界上按條件極值討論即可?！驹斀狻?因?yàn)?，解方程： 得開(kāi)區(qū)域內(nèi)的可能極值點(diǎn)為.其對(duì)應(yīng)函數(shù)值為又當(dāng)y=0 時(shí)，在上的最大值為4，最小值為0.當(dāng)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 解方程組 得可能極值點(diǎn)：，其對(duì)應(yīng)函數(shù)值為 比較函數(shù)值，知f(x, y)在區(qū)域D上的最大值為8，最小值為0.【評(píng)注】當(dāng)，代入目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成一元函數(shù)求解更簡(jiǎn)單。例3:（2005數(shù)學(xué)二）已知函