含有絕對值的不等式(1)

1、課 題：含有絕對值的不等式（1）教學(xué)目的： 1理解含有絕對值的不等式的性質(zhì)；2培養(yǎng)學(xué)生觀察、推理的思維能力， 使學(xué)生樹立創(chuàng)新意識；3運用聯(lián)系的觀點解決問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)；4認(rèn)識不等式證法的多樣性、靈活性教學(xué)重點：含有絕對值不等式的性質(zhì)、定理的綜合運用教學(xué)難點：對性質(zhì)的理解、常見證明技巧授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：前面我們已學(xué)過不等式的性質(zhì)和證明方法，這一節(jié)我們再來研究一些含有絕對值的不等式的證明問題我們知道，當(dāng)a0時，|x|aaxa,|x|axa或xa根據(jù)上面的結(jié)果和不等式的性質(zhì)，我們可以推導(dǎo)出含有絕對值的不等式具有下面的性質(zhì)二、講解

2、新課：定理：證明： 又a=a+b-b |-b|=|b|由|a|=|a+b-b|a+b|+|-b| 即|a|-|b|a+b| 綜合: 注意：1° 左邊可以“加強”同樣成立，即2° 這個不等式俗稱“三角不等式”三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊3° a,b同號時右邊取“=”，a,b異號時左邊取“=”推論1：推論2：證明：在定理中以-b代b得：即 三、講解范例：例1 已知|x|，|y|,|z|, 求證 |x+2y3z|證明：|x+2y3z|x|2y|3z|=|x|2|y|3|z|x|，|y|,|z|,|x|2|y|3|z| |x2y3z|說明：此例題主要應(yīng)用

3、了推論1，其中出現(xiàn)的字母，其目的是為學(xué)生以后學(xué)習(xí)微積分作點準(zhǔn)備例2 設(shè)a, b, c, d都是不等于0的實數(shù)，求證4證明： 又 由，式，得說明：此題作為一個含絕對值的不等式，在證明過程中運用了基本不等式及不等式的性質(zhì)，在證法上采用的是綜合法例3 已知|a|1,|b|1,求證1證明：11由|a|1,|b|1,可知（1a2）(1b2)0成立，所以 1說明：此題運用了|x|ax2a2這一等價條件將絕對值符號去掉，并采用了求差比較法證明其等價不等式的正確性，并用到了絕對值的有關(guān)性質(zhì)，也體現(xiàn)了證明不等式的方法的綜合性和靈活性例4 設(shè)|a|<1, |b|<1 求證|a+b|+|a-b|<

4、2證明：當(dāng)a+b與a-b同號時，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2當(dāng)a+b與a-b異號時，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2|a+b|+|a-b|<2例5 已知 當(dāng)a¹b時 求證：證法一： OABab1證法二：（構(gòu)造法）如圖，由三角形兩邊之差小于第三邊得四、課堂練習(xí)：已知：|x1|1,求證：（1）|2x3|7; (2)|x21|3證明：（1）|2x3|=|2(x1)5|2|x1|525=7(2)|x21|=|(x1)(x1)|=|(x1)(x1)2|x1|(x1)2|x1|212=3五、小結(jié) ：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家理

5、解含有絕對值不等式的性質(zhì)，并能夠簡單的應(yīng)用，同時認(rèn)識證明不等式的方法的靈活性、多樣性六、課后作業(yè)：1證明下列不等式:(1)a,bR,求證|a+b|a|+|b|;(2)已知|h|<,|k|<(>0),求證:|hk|<(3)已知|h|<c, c <|x| (c>0,>0),求證:|<分析:用絕對值性質(zhì)及不等式性質(zhì)作推理運算絕對值性質(zhì)有:|ab|=|a|·|b|;|an|=|a|n,|=等證明:(1)證法1:-|a|a|a|,-|b|b|b|-(|a|+|b|)a+b|a|+|b| 即|a+b|a|+|b|證法2:(平方作差)(|a|+

6、|b|)2-|a+b|2=a2+2|a|b|+b2-(a2+2ab+b2)=2|a|·|b|-ab)=2(|ab|-ab)0顯然成立故(|a|+|b|)2|a+b|2又|a|+|b|0,|a+b|0，所以|a|+|b|a+b|, 即|a+b|a|+|b|(2)0|h|<,0|k|< (>0)，0|hk|h|·|k|<·=(3)由0<c<|x|可知:0<且0|h|<c,·c,即|<2求證:|x+|2(x0)分析:x與同號,因此有|x+|=|x|+|證法一:x與同號,|x+|=|x|+|x+|=|x|+2

7、=2,即|x+|2證法二:當(dāng)x>0時,x+2=2當(dāng)x<0時,-x>0,有-x+xR且x0時有x+-2,或x+2即|x+|2方法點撥:不少同學(xué)這樣解:因為|x+|x|+,又|x|+2=2,所以|x+|2學(xué)生認(rèn)為這樣解答是根據(jù)不等式的傳遞性實際上,上述兩個不等式是異向不等式,是不符合傳遞性的,因而如此作解是錯誤的3已知:|A-a|<,|B-b|<,求證:(1)|(A+B)-(a+b)|<；(2)|(A-B)-(a-b)|<分析:證明本題的關(guān)鍵是把結(jié)論的左邊湊出條件的左邊,創(chuàng)造利用條件的機會證明:因為|A-a|<,|B-b|<所以(1)|(A+B)-(a+b)|=|(A-a)+(B-b)|A-a|+|B-b|<+=即|(A+B)-(a+b)|<