函數(shù)及其表示(含解析)

1、第一節(jié)函數(shù)及其表示知識能否憶起1函數(shù)的概念(1函數(shù)的定義：一般地，設A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x和它對應；那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作yf(x，xA.(2函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)yf(x，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x|xA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集(3函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關(guān)系(4相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)2函數(shù)的表示法表示

2、函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法3映射的概念設A，B是兩個非空的集合，如果按照某一個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么稱對應f：AB為集合A到集合B的一個映射4分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)小題能否全取1(教材習題改編設g(x2x3，g(x2f(x，則f(x等于(A2x1B2x1 C2x3 D2x7解析：選Df(xg(x22(x232x7.2(2012·江西高考設函數(shù)f(x則f(f(3(A. B3 C

3、. D.解析：選Df(3，f(f(321.3已知集合A0,8，集合B0,4，則下列對應關(guān)系中，不能看作從A到B的映射的是(Af：xyx Bf：xyx Cf：xyx Df：xyx解析：選D按照對應關(guān)系f：xyx，對A中某些元素(如x8，B中不存在元素與之對應4已知fx25x，則f(x_.解析：令t，則x.所以f(t.故f(x(x0答案：(x05(教材習題改編若f(xx2bxc，且f(10，f(30，則f(1_.解析：由已知得得即f(xx24x3.所以f(1(124×(138.答案：8總結(jié) 1.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系(1函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合A與集合B只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是

4、非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射(2映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個映射，A、B若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù)2定義域與值域相同的函數(shù)，不一定是相同函數(shù)如函數(shù)yx與yx1，其定義域與值域完全相同，但不是相同函數(shù)；再如函數(shù)ysin x與ycos x，其定義域與值域完全相同，但不是相同函數(shù)因此判斷兩個函數(shù)是否相同，關(guān)鍵是看定義域和對應關(guān)系是否相同3求分段函數(shù)應注意的問題在求分段函數(shù)的值f(x0時，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集函數(shù)的基本概念典題導入例1有以下判斷：(1f(x與g(x表示同一函數(shù)；(2函數(shù)y

5、f(x的圖象與直線x1的交點最多有1個；(3f(xx22x1與g(tt22t1是同一函數(shù)；(4若f(x|x1|x|，則f0.其中正確判斷的序號是_自主解答對于(1，由于函數(shù)f(x的定義域為x|xR，且x0，而函數(shù)g(x的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于(2，若x1不是yf(x定義域的值，則直線x1與yf(x的圖象沒有交點，如果x1是yf(x定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x1與yf(x的圖象只有一個交點，即yf(x的圖象與直線x1最多有一個交點；對于(3，f(x與g(t的定義域、值域和對應關(guān)系均相同，所以f(x和g(t表示同一函數(shù)；對于(4，由于f0，所以ff(01.綜上可知，正確的判

6、斷是(2(3答案(2(3由題悟法兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，取決于它們的定義域和對應關(guān)系是否相同，只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全相同時，才表示同一函數(shù)另外，函數(shù)的自變量習慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x2x1，g(t2t1，h(m2m1均表示同一函數(shù)以題試法1試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)(1y1，yx0；(2y·，y；(3yx，y ；(4y|x|，y(2.解：(1y1的定義域為R，yx0的定義域為x|xR，且x0，故它們不是同一函數(shù)(2y·的定義域為x|x2y的定義域為x|x2，或x2，故它們不是同一函數(shù)(3yx，yt，它們的定義域和對應關(guān)系都相同，

7、故它們是同一函數(shù)(4y|x|的定義域為R，y(2的定義域為x|x0，故它們不是同一函數(shù)求函數(shù)的解析式典題導入例2(1已知fx2，求f(x的解析式；(2已知flg x，求f(x的解析式；(3已知f(x是二次函數(shù)，且f(00，f(x1f(xx1，求f(x自主解答(1由于fx222，所以f(xx22，x2或x2，故f(x的解析式是f(xx22(x2或x2(2令1t得x，代入得f(tlg，又x>0，所以t>1，故f(x的解析式是f(xlg(x>1(3設f(xax2bxc(a0，由f(00，知c0，f(xax2bx，又由f(x1f(xx1，得a(x12b(x1ax2bxx1，即ax2(

8、2abxabax2(b1x1，所以解得ab.所以f(xx2x(xR由題悟法函數(shù)解析式的求法(1配湊法：由已知條件f(g(xF(x，可將F(x改寫成關(guān)于g(x的表達式，然后以x替代g(x，便得f(x的解析式(如例(1；(2待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)，可用待定系數(shù)法(如例(3；(3換元法：已知復合函數(shù)f(g(x的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍(如例(2；(4方程思想：已知關(guān)于f(x與f或f(x的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x(如A級T6以題試法2(1已知f(1x2，求f(x的解析式；(2設yf(x是二次函數(shù)，方程f

9、(x0有兩個相等實根，且f(x2x2，求f(x的解析式解：(1法一：設t1，則x(t12(t1；代入原式有f(t(t122(t1t22t12t2t21.故f(xx21(x1法二：x2(2211(121，f(1(121(11，即f(xx21(x1(2設f(xax2bxc(a0，則f(x2axb2x2，a1，b2，f(xx22xc.又方程f(x0有兩個相等實根，44c0，c1，故f(xx22x1.分 段 函 數(shù)典題導入例3(2012·廣州調(diào)研考試設函數(shù)f(x若f(x>4，則x的取值范圍是_自主解答當x<1時，由f(x>4，得2x>4，即x<2；當x1時，由f

10、(x>4得x2>4，所以x>2或x<2，由于x1，所以x>2.綜上可得x<2或x>2.答案(，2(2，若本例條件不變，試求f(f(2的值解：f(2224，f(f(2f(416.由題悟法求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應的解析式求解，有時每段交替使用求值若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍以題試法3.(2012·衡水模擬已知f(x的圖象如圖，則f(x的解析式為_解析：由圖象知每段為線段設f(xaxb，把(0,0，和

11、，(2,0分別代入，解得答案：f(x1下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(Ayx1與y By與yCy4lg x與y2lg x2 Dylg x2與ylg答案：D2下列函數(shù)中，與函數(shù)y定義域相同的函數(shù)為(AyBy Cyxex Dy解析：選D函數(shù)y的定義域為x|x0，選項A中由sin x0xk，kZ，故A不對；選項B中x>0，故B不對；選項C中xR，故C不對；選項D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域為x|x03(2012·安徽高考下列函數(shù)中，不滿足f(2x2f(x的是(Af(x|x| Bf(xx|x| Cf(xx1 Df(xx解析：選C對于選項A，f(2x|2x|2|x

12、|2f(x；對于選項B，f(x七、冷空氣循環(huán) x | x | 當 x 0 時， f (2 x 0 2 f ( x ，當 x 0 時， f (2 x 4 x 2·2 x 2 f ( x ，恒有 f (2 x 2 f ( x ；對于選項 D ， f (2 x 2 x 2( x 2 f ( x ；對于選項 C ， f (2 x 2 x 1 2 f ( x 1. 4已知f(x則ff的值等于(A2 B1 C2 D3解析：選Df，ff1f2，ff3.5現(xiàn)向一個半徑為R的球形容器內(nèi)勻速注入某種液體，下面圖形中能表示在注入過程中容器的液面高度h隨時間t變化的函數(shù)關(guān)系的是(解析：選C從球的形狀可知，水

13、的高度開始時增加的速度越來越慢，當超過半球時，增加的速度又越來越快6若f(x對于任意實數(shù)x恒有2f(xf(x3x1，則f(x(Ax1 Bx1 C2x1 D3x3解析：選B由題意知2f(xf(x3x1.將中x換為x，則有2f(xf(x3x1.×2得3f(x3x3，即f(xx1.7已知f(xx2pxq滿足f(1f(20，則f(1_.解析：由f(1f(20，得所以故f(xx23x2.所以f(1(12326.答案：68已知函數(shù)f(x若f(f(1>3a2，則a的取值范圍是_解析：由題知，f(1213，f(f(1f(3326a，若f(f(1>3a2，則96a>3a2，即a22a

14、3<0，解得1<a<3.答案：(1,39設集合Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的4個圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是_解析：由函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的每一個x對應著唯一一個y，據(jù)此排除，中值域為y|0y3不合題意答案：10若函數(shù)f(x(a0，f(21，又方程f(xx有唯一解，求f(x的解析式解：由f(21得1，即2ab2；由f(xx得x，變形得x0，解此方程得x0或x，又因方程有唯一解，故0，解得b1，代入2ab2得a，所以f(x.11.甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2 km，甲10時出發(fā)前往乙家如圖所示，表示甲從家

15、出發(fā)到達乙家為止經(jīng)過的路程y(km與時間x(min的關(guān)系試寫出yf(x的函數(shù)解析式解：當x0,30時，設yk1xb1，由已知得解得即yx.當x(30,40時，y2；當x40,60時，設yk2xb2，由已知得解得即yx2.綜上，f(x12如圖1是某公共汽車線路收支差額y元與乘客量x的圖象(1試說明圖1上點A、點B以及射線AB上的點的實際意義；(2由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖2、3所示你能根據(jù)圖象，說明這兩種建議的意義嗎？(3此問題中直線斜率的實際意義是什么？(4圖1、圖2、圖3中的票價分別是多少元？解：(1點A表示無人乘車時收支差額為20元，點B表示有10人乘

16、車時收支差額為0元，線段AB上的點表示虧損，AB延長線上的點表示贏利(2圖2的建議是降低成本，票價不變，圖3的建議是提高票價(3斜率表示票價(4圖1、2中的票價是2元圖3中的票價是4元1(2011·北京高考根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘為f(x(A，c為常數(shù)已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是(A75,25 B75,16 C60,25 D60,16解析：選D因為組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，所以15，所以必有4<A，且30.聯(lián)立解得c60，A16.2(2012·江西紅色六校聯(lián)考具有性質(zhì)：ff(x的

17、函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，下列函數(shù)：yx；yx；y其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是(A B C D解析：選B對于，f(xx，fxf(x，滿足；對于，fxf(x，不滿足；對于，f即f故ff(x，滿足綜上可知，滿足“倒負”變換的函數(shù)是.3二次函數(shù)f(x滿足f(x1f(x2x，且f(01.(1求f(x的解析式；(2解不等式f(x>2x5.解：(1設二次函數(shù)f(xax2bxc(a0f(01，c1.把f(x的表達式代入f(x1f(x2x，有a(x12b(x11(ax2bx12x.2axab2x.a1，b1.f(xx2x1.(2由x2x1>2x5，即x23x4>0，解得x>4或x<1.故原不等式解集為x|x>4，或x<11已知函數(shù)f(x若f(f(04a，則實數(shù)a_.解析：f(03×022，f(f(0f(242a4a，a2.答案：22若函數(shù)的定義域為x|3x6，且x4，值域為y|2y4，且y0，試在下圖中畫出滿足條件的一個函數(shù)的圖象解：本題答案不唯一，函數(shù)圖象可畫為如圖所示3已知定義域為R的函數(shù)f(x滿足f(f(xx2xf(xx2x.(1若f(23，求f(1；又若f(0a，求f(a；(2設有且僅有一個實數(shù)x0，使得f(x0x0，求函數(shù)f(x的解析式解