32獨立性檢驗的思想及應(yīng)用（二）

1、2022-2-193.2獨立性檢驗的獨立性檢驗的基本思想及其初基本思想及其初步應(yīng)用（二）步應(yīng)用（二）高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-3 第三章第三章 統(tǒng)計案例統(tǒng)計案例2022-2-19不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙7775427817吸煙吸煙2099492148總計總計98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出從三維柱形圖能清晰看出各個頻數(shù)的相對大小。各個頻數(shù)的相對大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中從二維條形圖能看出，吸煙者中患

2、肺癌的比例高于不患肺癌的比例?；挤伟┑谋壤哂诓换挤伟┑谋壤Ｍㄟ^圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：2022-2-19不吸煙吸煙00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸煙不吸煙吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達了兩種情況下患肺癌的比例。2022-2-19隨機變量隨機變量-卡方統(tǒng)計量卡方統(tǒng)計量22(),()()()()其中為樣本容量。n adbcKab cdac bdnabcd 5、獨立性檢驗獨立性檢驗0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7

3、081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280k0)k2P(K臨界值表臨界值表828.102K635. 62K706. 22K22.706K 0.1%0.1%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B無關(guān)無關(guān)1%1%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B無關(guān)無關(guān)99.9%99.9%把握認(rèn)把握認(rèn)A A與與B B有關(guān)有關(guān)99%99%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B有關(guān)有關(guān)90%90%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B有關(guān)有關(guān)10%10%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B無關(guān)無關(guān)沒有充分的依據(jù)顯示沒有充分的依據(jù)顯示A A與與B B有關(guān)，但也不能顯示有關(guān)，但也不能顯示A A與與B

4、 B無關(guān)無關(guān)2022-2-19第一步：第一步：H H0 0： 吸煙吸煙和和患病患病之間沒有關(guān)系之間沒有關(guān)系 患病患病不患病不患病總計總計吸煙吸煙a ab ba+ba+b不吸煙不吸煙c cd dc+dc+d總計總計a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d第二步：列出第二步：列出2 22 2列聯(lián)表列聯(lián)表 6、獨立性檢驗的步驟、獨立性檢驗的步驟第三步：計算第三步：計算第四步：查對臨界值表，作出判斷。第四步：查對臨界值表，作出判斷。)()()()(22dcbadbcabcadnKP(k kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k

5、00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8282022-2-19反證法原理與假設(shè)檢驗原理反證法原理： 在一個已知假設(shè)下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗原理：在一個已知假設(shè)下，如果一個與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個假設(shè)不成立。2022-2-19例例1 在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有名男性病人中，有214人禿頂；而另外人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨

6、立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟人禿頂。分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計總計禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計總計6657721437 相應(yīng)的三維柱形圖如圖所相應(yīng)的三維柱形圖如圖所示，比較來說，底面副對示，比較來說，底面副對角線上兩個柱體高度的乘角線上兩個柱體高度的乘積要大一些，因此可以在積要大一些，因此可以在某種程度上認(rèn)為某種程度上認(rèn)為“禿頂與禿頂與患心臟病有

7、關(guān)患心臟病有關(guān)”。禿頭不禿頭2022-2-19例例1 在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有名男性病人中，有214人禿頂；而另外人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟人禿頂。分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計總計禿頂禿頂21417

8、5389不禿頂不禿頂4515971048總計總計6657721437 根據(jù)聯(lián)表根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到中的數(shù)據(jù)，得到221437 (214 597 175 451)16.3736.635.389 1048 665 772K所以有所以有99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“禿頂患心臟病有關(guān)禿頂患心臟病有關(guān)”。2022-2-19例1.禿頭與患心臟病 在解決實際問題時，可以直接計算K2的觀測值k進行獨立檢驗，而不必寫出K2的推導(dǎo)過程 。本例中的邊框中的注解，主要是使得學(xué)生們注意統(tǒng)計結(jié)果的適用范圍（這由樣本的代表性所決定）。因為這組數(shù)因為這組數(shù)據(jù)來自住院據(jù)來自住院的病人，因的病人，因此所得到的此所得到的結(jié)

9、論適合住結(jié)論適合住院的病人群院的病人群體體2022-2-19例例2 為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機抽取某城市的某校高中生中隨機抽取300名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)課程喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計總計男男3785122女女35143178總計總計72228300由表中數(shù)據(jù)計算由表中數(shù)據(jù)計算K2的觀測值的觀測值k 4.514。能夠以。能夠以95%的把握認(rèn)為高的把握認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？請詳細(xì)闡述得出中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎

10、？請詳細(xì)闡述得出結(jié)論的依據(jù)。結(jié)論的依據(jù)。解：可以有解：可以有95%以上的把握認(rèn)為以上的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”。分別用分別用a,b,c,d表示樣本中喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的男生表示樣本中喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)。人數(shù)、喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)。如果性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課有關(guān)系，則男生中喜歡數(shù)學(xué)課的比例如果性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課有關(guān)系，則男生中喜歡數(shù)學(xué)課的比例 與與女生中喜歡數(shù)學(xué)課的比例女生中喜歡數(shù)學(xué)課的比例 應(yīng)該相差很多，即應(yīng)該相差很多，即aabccd()(

11、)acadbcabcdab cd()()()()()abcd ab cdac bd 2022-2-19例例2 為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機抽取某城市的某校高中生中隨機抽取300名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)課程喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計總計男男3785122女女35143178總計總計72228300由表中數(shù)據(jù)計算由表中數(shù)據(jù)計算K2的觀測值的觀測值k 4.514。能夠以。能夠以95%的把握認(rèn)為高的把握認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？請詳細(xì)闡述得

12、出中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？請詳細(xì)闡述得出結(jié)論的依據(jù)。結(jié)論的依據(jù)。()()()()()abcd ab cdac bd 22(),()()()()n adbcKab cd ac bd因此，因此， 越大，越大， “性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”成立的可能性就越大。成立的可能性就越大。2K另一方面，在假設(shè)另一方面，在假設(shè)“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”的前提下，事件的前提下，事件 的概率為的概率為23.841K 2(3.841)0.05,P K 因此事件因此事件A是一個小概率事件。而由樣本數(shù)據(jù)計算得是一個小概率事件。而由樣本數(shù)據(jù)

13、計算得 的觀測值的觀測值k=4.514,即即小概率事件小概率事件A發(fā)生。因此應(yīng)該斷定發(fā)生。因此應(yīng)該斷定“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”成立，成立，并且這種判斷結(jié)果出錯的可能性約為并且這種判斷結(jié)果出錯的可能性約為5%。所以，約有。所以，約有95%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“性性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”。2K2022-2-19例例3.3.在在500500人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外感冒記錄與另外500500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如名未用血清的人的感冒記錄作

14、比較，結(jié)果如表所示。表所示。未感冒未感冒感冒感冒合計合計使用血清使用血清252248500未使用血清未使用血清224276500合計合計4765241000試畫出列聯(lián)表的條形圖，并通過圖形判斷這種血清能否起到預(yù)試畫出列聯(lián)表的條形圖，并通過圖形判斷這種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？并進行獨立性檢驗。防感冒的作用？并進行獨立性檢驗。解：設(shè)解：設(shè)H0：感冒與是否使用該血清沒有關(guān)系。：感冒與是否使用該血清沒有關(guān)系。075.7500500526474216242284258100022K因當(dāng)因當(dāng)H0成立時，成立時，K26.635的概率約為的概率約為0.01，故有，故有99%的把握認(rèn)的把握認(rèn)為該血清能起到預(yù)

15、防感冒的作用。為該血清能起到預(yù)防感冒的作用。P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8282022-2-19P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828有效有效無效無效合計合計口服口服585840409898注射注射6464313

16、19595合計合計1221227171193193解：設(shè)解：設(shè)H0：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關(guān)系。：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關(guān)系。3896.19598711224064315819322K因當(dāng)因當(dāng)H0成立時，成立時，K21.3896的概率大于的概率大于15%，故不能否定假設(shè)，故不能否定假設(shè)H0，即不能作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論。，即不能作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論。例例4 4：為研究不同的給藥方式（口服與注射）和藥的效果（有效：為研究不同的給藥方式（口服與注射）和藥的效果（有效與無效）是否有關(guān)，進行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果列與無效）是否有關(guān)，進行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果列在表中，

17、根據(jù)所選擇的在表中，根據(jù)所選擇的193193個病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果個病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果和給藥方式有關(guān)的結(jié)論？和給藥方式有關(guān)的結(jié)論？2022-2-19P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828例例5：氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人：氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進行對比，員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進行對比，所得數(shù)據(jù)如表所示，問：它們

18、的療效有無差異？所得數(shù)據(jù)如表所示，問：它們的療效有無差異？有效有效無效無效合計合計復(fù)方江剪刀草復(fù)方江剪刀草18461245膽黃片膽黃片919100合計合計27570345解：設(shè)解：設(shè)H0：兩種中草藥的治療效果沒有差異。：兩種中草藥的治療效果沒有差異。098.11100245702759161918434522K因當(dāng)因當(dāng)H0成立時，成立時，K210.828的概率為的概率為0.001，故有，故有99.9%的把握的把握認(rèn)為，兩種藥物的療效有差異。認(rèn)為，兩種藥物的療效有差異。2022-2-19例例6、某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)、某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀哪個關(guān)系表所示，則數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀哪個關(guān)系較大？較大？物理物理化學(xué)化學(xué)總分總分?jǐn)?shù)