初中的數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題歸納

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案動點(diǎn)問題題型方法歸納動態(tài)幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、三角形邊上動點(diǎn)xAOQPBy1、（2009年齊齊哈爾市）直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，動點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)，同時到達(dá)點(diǎn)，運(yùn)動停止點(diǎn)沿線段運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)沿路線運(yùn)動（1）直接寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（

2、2）設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)時，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)解：1、A（8，0） B（0，6）2、當(dāng)0t3時，S=t2 當(dāng)3t8時，S=38(8-t)t提示：第（2）問按點(diǎn)P到拐點(diǎn)B所有時間分段分類；第（3）問是分類討論：已知三定點(diǎn)O、P、Q ，探究第四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形時按已知線段身份不同分類-OP為邊、OQ為邊，OP為邊、OQ為對角線，OP為對角線、OQ為邊。然后畫出各類的圖形，根據(jù)圖形性質(zhì)求頂點(diǎn)坐標(biāo)。2、（2009年衡陽市）如圖，AB是O的直徑，弦BC=2cm，ABC=60º（1）求O的直徑；（2）若D是A

3、B延長線上一點(diǎn)，連結(jié)CD，當(dāng)BD長為多少時，CD與O相切；圖（3）ABCOEFABCOD圖（1）ABOEFC圖（2）（3）若動點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動，同時動點(diǎn)F以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，連結(jié)EF，當(dāng)為何值時，BEF為直角三角形注意：第（3）問按直角位置分類討論3、（2009重慶綦江）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，過作射線過頂點(diǎn)平行于軸的直線交射線于點(diǎn)，在軸正半軸上，連結(jié)（1）求該拋物線的解析式；xyMCDPQOAB（2）若動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時間為問當(dāng)為何值時，四邊形分別為平行四邊形？直

4、角梯形？等腰梯形？（3）若，動點(diǎn)和動點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿和運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動設(shè)它們的運(yùn)動的時間為，連接，當(dāng)為何值時，四邊形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈导按藭r的長注意：發(fā)現(xiàn)并充分運(yùn)用特殊角DAB=60° 當(dāng)OPQ面積最大時，四邊形BCPQ的面積最小。二、 特殊四邊形邊上動點(diǎn)PQABCD4、（2009年吉林?。┤鐖D所示，菱形的邊長為6厘米，從初始時刻開始，點(diǎn)、同時從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以1厘米/秒的速度沿的方向運(yùn)動，點(diǎn)以2厘米/秒的速度沿的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，、兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)、運(yùn)動的時間為秒時，與重疊部分的面積

5、為平方厘米（這里規(guī)定：點(diǎn)和線段是面積為的三角形），解答下列問題： （1）點(diǎn)、從出發(fā)到相遇所用時間是 秒；（2）點(diǎn)、從開始運(yùn)動到停止的過程中，當(dāng)是等邊三角形時的值是 秒；（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式提示：第(3)問按點(diǎn)Q到拐點(diǎn)時間B、C所有時間分段分類 ； 提醒- 高相等的兩個三角形面積比等于底邊的比 。5、（2009年哈爾濱）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，4），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H（1）求直線AC的解析式；（2）連接BM，如圖2，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個單位秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動，設(shè)P

6、MB的面積為S（），點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；OMBHACxy圖（1）OMBHACxy圖（2）（3）在（2）的條件下，當(dāng) t為何值時，MPB與BCO互為余角，并求此時直線OP與直線AC所夾銳角的正切值注意：第（2）問按點(diǎn)P到拐點(diǎn)B所用時間分段分類； 第（3）問發(fā)現(xiàn)MBC=90°，BCO與ABM互余，畫出點(diǎn)P運(yùn)動過程中， MPB=ABM的兩種情況，求出t值。 利用OBAC,再求OP與AC夾角正切值.6、(2009年溫州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(，0)，B(3，2)，C（0，2)動點(diǎn)D以每秒1個單位的速度從點(diǎn)0出發(fā)沿OC向終點(diǎn)C

7、運(yùn)動，同時動點(diǎn)E以每秒2個單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動過點(diǎn)E作EF上AB，交BC于點(diǎn)F，連結(jié)DA、DF設(shè)運(yùn)動時間為t秒(1)求ABC的度數(shù)；(2)當(dāng)t為何值時，ABDF；(3)設(shè)四邊形AEFD的面積為S求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；若一拋物線y=x2+mx經(jīng)過動點(diǎn)E，當(dāng)S<2時，求m的取值范圍(寫出答案即可)注意：發(fā)現(xiàn)特殊性，DEOABACDPOQxy7、（07黃岡）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是菱形，且AOC=60°，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)P從點(diǎn)C開始以每秒1個單位長度的速度在線段CB上向點(diǎn)B移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)O開始以每秒a（1a3）個單位長度的速度沿射線O

8、A方向移動，設(shè)秒后，直線PQ交OB于點(diǎn)D.（1）求AOB的度數(shù)及線段OA的長；（2）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）當(dāng)時，求t的值及此時直線PQ的解析式；（4）當(dāng)a為何值時，以O(shè)，P，Q，D為頂點(diǎn)的三角形與相似？當(dāng)a 為何值時，以O(shè)，P，Q，D為頂點(diǎn)的三角形與不相似？請給出你的結(jié)論，并加以證明.8、（08黃岡）已知：如圖，在直角梯形中，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線的路線移動，移動的時間為秒（1）求直線的解析式；（2）若動點(diǎn)在線段上移動，當(dāng)為何值時，四邊形的面積是梯形面積的？（3）動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線的路線移

9、動過程中，設(shè)的面積為，請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；ABDCOPxyABDCOxy（此題備用）（4）當(dāng)動點(diǎn)在線段上移動時，能否在線段上找到一點(diǎn)，使四邊形為矩形？請求出此時動點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由9、(09年黃岡市)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,拋物線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A,與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B. 過點(diǎn)B作x軸的平行線BC,交拋物線于點(diǎn)C,連結(jié)AC現(xiàn)有兩動點(diǎn)P,Q分別從O,C兩點(diǎn)同時出發(fā),點(diǎn)P以每秒4個單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動,點(diǎn)Q以每秒1個單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動,點(diǎn)P停止運(yùn)動時,點(diǎn)Q也同時停止運(yùn)動,線段OC,PQ相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DEOA,交CA于點(diǎn)E,射線QE

10、交x軸于點(diǎn)F設(shè)動點(diǎn)P,Q移動的時間為t(單位:秒)(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo);(2)當(dāng)t為何值時,四邊形PQCA為平行四邊形?請寫出計算過程;(3)當(dāng)0t時,PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值, 若不是,請說明理由; (4)當(dāng)t為何值時,PQF為等腰三角形?請寫出解答過程提示：第（3）問用相似比的代換，得PF=OA（定值）。 第（4）問按哪兩邊相等分類討論P(yáng)Q=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、 直線上動點(diǎn)8、（2009年湖南長沙）如圖，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)連結(jié)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且當(dāng)和時二次函數(shù)的函數(shù)值相等（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)同時

11、從點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運(yùn)動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，連結(jié)，將沿翻折， 點(diǎn)恰好落在邊上的處，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)； yOxCNBPMA（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由提示：第（2）問發(fā)現(xiàn)特殊角CAB=30°,CBA=60°特殊圖形四邊形BNPM為菱形； 第(3)問注意到ABC為直角三角形后，按直角位置對應(yīng)分類；先畫出與ABC相似的BNQ ，再判斷是否在對稱軸上。9、（2009眉山）如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)D，

12、拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，0)。求該拋物線的解析式；動點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)PAE是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P。在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。提示：第（2）問按直角位置分類討論后畫出圖形-P為直角頂點(diǎn)AE為斜邊時，以AE為直徑畫圓與x軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，A為直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)A作AE垂線交x軸于點(diǎn)P，E為直角頂點(diǎn)時，作法同；第（3）問，三角形兩邊之差小于第三邊，那么等于第三邊時差值最大。10、（2009年蘭州）如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4）， 點(diǎn)C在第一象限動點(diǎn)P在正方形 ABCD的邊上，

13、從點(diǎn)A出發(fā)沿ABCD勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒(1)當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)（長度單位）關(guān)于運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖所示，請寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動時的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動速度；(2)求正方形邊長及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在（1）中當(dāng)t為何值時，OPQ的面積最大，并求此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)如果點(diǎn)P、Q保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿ABCD勻速運(yùn)動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由注意：第（4）問按點(diǎn)P分別在AB、BC、CD邊上分類討論；求t值時，靈活運(yùn)用等腰三角形“三線合一”。11、

14、（2009年北京市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長AC到點(diǎn)D,使CD=,過點(diǎn)D作DEAB交BC的延長線于點(diǎn)E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動的速度是它在直線GA上運(yùn)動速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時間最短。（要求：簡述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）提示：第（）問，平分周長時，直線過菱形的中心；第（）問，轉(zhuǎn)化

15、為點(diǎn)到的距離加到（）中直線的距離和最小；發(fā)現(xiàn)（）中直線與軸夾角為°.見“最短路線問題”專題。12、(2009年上海市)ADPCBQ圖1DAPCB（Q）圖2圖3CADPBQ已知ABC=90°，AB=2，BC=3，ADBC，P為線段BD上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線AB上，且滿足（如圖1所示）（1）當(dāng)AD=2，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時（如圖2所示），求線段的長；（2）在圖8中，聯(lián)結(jié)當(dāng)，且點(diǎn)在線段上時，設(shè)點(diǎn)之間的距離為，其中表示APQ的面積，表示的面積，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域； （3）當(dāng)，且點(diǎn)在線段的延長線上時（如圖3所示），求的大小注意：第（2）問，求動態(tài)問題中的變量取值范圍時，先動

16、手操作找到運(yùn)動始、末兩個位置變量的取值，然后再根據(jù)運(yùn)動的特點(diǎn)確定滿足條件的變量的取值范圍。當(dāng)PCBD時，點(diǎn)Q、B重合，x獲得最小值； 當(dāng)P與D重合時，x獲得最大值。 第（3）問，靈活運(yùn)用SSA判定兩三角形相似，即兩個銳角三角形或兩個鈍角三角形可用SSA來判定兩個三角形相似；或者用同一法；或者證BQPBCP，得B、Q、C、P四點(diǎn)共圓也可求解。 13、（08宜昌）如圖，在RtABC中，ABAC，P是邊AB（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)過P作BC的垂線PR，R為垂足，PRB的平分線與AB相交于點(diǎn)S，在線段RS上存在一點(diǎn)T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點(diǎn)E，F(xiàn)恰好分別在邊BC，AC上（1）ABC與SB

17、R是否相似，說明理由；（2）請你探索線段TS與PA的長度之間的關(guān)系；（3）設(shè)邊AB1，當(dāng)P在邊AB（含端點(diǎn)）上運(yùn)動時，請你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值(第13題)(第13題)提示：第（3）問，關(guān)鍵是找到并畫出滿足條件時最大、最小圖形；當(dāng)p運(yùn)動到使T與R重合時，PA=TS為最大；當(dāng)P與A重合時，PA最小。此問與上題中求取值范圍類似。14、(2009年河北)如圖，在RtABC中，C=90°，AC = 3，AB = 5點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動伴隨著P

18、、Q的運(yùn)動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時停止運(yùn)動，點(diǎn)P也隨之停止設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間是t秒（t0）（1）當(dāng)t = 2時，AP = ，點(diǎn)Q到AC的距離是 ；（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動的過程中，求APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值若不能，請說明理由；ACBPQED（4）當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C 時，請直接寫出t的值 提示：（）按哪兩邊平行分類，按要求畫出圖形，再結(jié)合圖形性質(zhì)求出t值；有二種成立的情形，； （）按點(diǎn)P運(yùn)動方向分類，

19、按要求畫出圖形再結(jié)合圖形性質(zhì)求出t值；有二種情形，t時，時15、（2009年包頭）已知二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，直線（）與軸交于點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線（）上有一點(diǎn)（點(diǎn)在第四象限），使得為頂點(diǎn)的三角形與以為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，請求出的值及四邊形的面積；若不存在，請說明理由提示：第（2）問，按對應(yīng)銳角不同分類討論，有兩種情形； 第（3）問，四邊形ABEF為平行四邊形時，E、F兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，且AB=EF，對第（2）問中兩種情形分別討論。四、 拋物線上動點(diǎn)16、（2009年

20、湖北十堰市）如圖， 已知拋物線（a0）與軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B (3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)M ，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 (3) 如圖，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點(diǎn)的坐標(biāo)注意：第（2）問按等腰三角形頂點(diǎn)位置分類討論畫圖再由圖形性質(zhì)求點(diǎn)P坐標(biāo)-C為頂點(diǎn)時，以C為圓心CM為半徑畫弧，與對稱軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，M為頂點(diǎn)時，以M為圓心MC為半徑畫弧，與對稱軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，P為頂點(diǎn)時，線段MC的垂直平分線與對稱軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P。 第（3）問方法一，先寫出面積函數(shù)關(guān)系式，再求最大值（涉及二次函數(shù)最值）； 方法二，先求與BC平行且與拋物線相切點(diǎn)的坐標(biāo)（涉及簡單二元二次方程組），再求面積17、（2009年黃石市）正方形在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，在軸正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，交軸正半軸于交軸負(fù)半軸于，拋物線過三點(diǎn) （1）求拋物線的解析式；（2）是拋物線上間的一點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線交邊于，交所在直線于，若，則判斷四邊形的形狀； OyxBEADCF（3）在射線上是否存在動點(diǎn)