初三數(shù)學(xué) 有關(guān)圓的經(jīng)典例題

1、Xupeisen110 初三數(shù)學(xué)初三數(shù)學(xué) 有關(guān)圓的經(jīng)典例題 1. 分析：根據(jù)題意，需要自己畫出圖形進(jìn)行解答，在畫圖時要注意AB與AC有不同的位置關(guān)系。 解：由題意畫圖，分AB、AC在圓心O的同側(cè)、異側(cè)兩種情況討論， 當(dāng)AB、AC在圓心O的異側(cè)時，如下圖所示， 過O作ODAB于D，過O作OEAC于E， OAD=30°，OAE=45°，故BAC=75°， 當(dāng)AB、AC在圓心O同側(cè)時，如下圖所示， 同理可知OAD=30°，OAE=45°， BAC=15° 點(diǎn)撥：本題易出現(xiàn)只畫出一種情況，而出現(xiàn)漏解的錯誤。 例2. 如圖：ABC的頂點(diǎn)A、B在

2、O上，O的半徑為R，O與AC交于D， （1）求證：ABC是直角三角形； 分析：則AF=FB，ODAB，可證DF是ABC的中位線； （2）延長DO交O于E，連接AE，由于DAE=90°，DEAB，ADF 解：（1）證明，作直徑DE交AB于F，交圓于E 又AD=DC ABBC，ABC是直角三角形。 （2）解：連結(jié)AE DE是O的直徑 DAE=90° 而ABDE，ADFEDA 例3. 如圖，在O中，AB=2CD，那么（ ） 分析： 解：解法（一），如圖，過圓心O作半徑OFAB，垂足為E， 在AFB中，有AF+FB>AB 選A。 解法（二），如圖，作弦DE=CD，連結(jié)CE 在

3、CDE中，有CD+DE>CE 2CD>CE AB=2CD，AB>CE 選A。 例4. 求CD的長。 分析：連結(jié)BD，由AB=BC，可得DB平分ADC，延長AB、DC交于E，易得EBCEDA，又可判定AD是O的直徑，得ABD=90°，可證得ABDEBD，得DE=AD，利用EBCEDA，可先求出CE的長。 解：延長AB、DC交于E點(diǎn)，連結(jié)BD O的半徑為2，AD是O的直徑 ABD=EBD=90°，又BD=BD ABDEBD，AB=BE=1，AD=DE=4 四邊形ABCD內(nèi)接于O， EBC=EDA，ECB=EAD 例5. 于H，交O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，P為ED

4、的延長線上一點(diǎn)。 （1）當(dāng)PCF滿足什么條件時，PC與O相切，為什么？ 分析：由題意容易想到作輔助線OC， （1）要使PC與O相切，只要使PCO=90°，問題轉(zhuǎn)化為使OCA+PCF=FAH+AFH就可以了。 解：（1）當(dāng)PC=PF，（或PCF=PFC）時，PC與O相切， 下面對滿足條件PC=PF進(jìn)行證明， 連結(jié)OC，則OCA=FAH， PC=PF，PCF=PFC=AFH， DEAB于H，OCA+PCF=FAH+AFH=90° 即OCPC，PC與O相切。 即AD2=DE·DF 點(diǎn)撥：本題是一道條件探索問題，第（1）問是要探求PCF滿足什么條件時，PC與O相切，可以反

5、過來，把PC與O相切作為條件，探索PCF的形狀，顯然有多個答案；第（2）問也可將AD2=DE·DF作為條件，尋找兩個三角形相似，探索出點(diǎn)D的位置。 例6. D作半圓的切線交AB于E，切點(diǎn)為F，若AE：BE=2：1，求tanADE的值。 分析：要求tanADE，在RtAED中，若能求出AE、AD，根據(jù)正切的定義就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，F(xiàn)D=CD，結(jié)合矩形的性質(zhì)，可以得到ED和AE的關(guān)系，進(jìn)一步可求出AE：AD。 解：四邊形ABCD為矩形，BCAB，BCDC AB、DC切O于點(diǎn)B和點(diǎn)C， DE切O于F，DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB， 又AE：EB=2：1

6、，設(shè)BE=x，則AE=2x，DC=AB=3x， DE=DC+EB=4x， 在RtAED中，AE=2x，DE=4x， 點(diǎn)撥：本題中，通過觀察圖形，兩條切線有公共點(diǎn)，根據(jù)切線長定理，得到相等線段。 例7. 已知O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)O2在O1上， （1）如下圖，AD是O2的直徑，連結(jié)DB并延長交O1于C，求證CO2AD； （2）如下圖，如果AD是O2的一條弦，連結(jié)DB并延長交O1于C，那么CO2所在直線是否與AD垂直？證明你的結(jié)論。 分析：（1）要證CO2AD，只需證CO2D=90°，即需證D+C=90°，考慮到AD是O2的直徑，連結(jié)公共弦AB，則A=C，DBA=90

7、°，問題就可以得證。 （2）問題是一道探索性的問題，好像難以下手，不妨連結(jié)AC，直觀上看，AC等于CD，到底AC與CD是否相等呢？考慮到O2在O1上，連結(jié)AO2、DO2、BO2，可得1=2，且有AO2CDO2C，故CA=CD，可得結(jié)論CO2AD。 解：（1）證明，連結(jié)AB，AD為直徑，則ABD=90° D+BAD=90° 又BAD=C，D+C=90° CO2D=90°，CO2AD （2）CO2所在直線與AD垂直， 證明：連結(jié)O2A、O2B、O2D、AC 在AO2C與DO2C中 O2BD=O2AC，又O2BD=O2DB，O2AC=O2DB O2C

8、=O2C，AO2CDO2C，CA=CD， CAD為等腰三角形， CO2為頂角平分線，CO2AD。 例8. 如下圖，已知正三角形ABC的邊長為a，分別為A、B、C為圓心，積S。（圖中陰影部分） 分析：陰影部分面積等于三角形面積減去3個扇形面積。 解： 分析：因三個扇形的半徑相等，把三個扇形拼成一個扇形來求，因?yàn)锳+B+C=180°， 原題可在上一題基礎(chǔ)上進(jìn)一步變形：A1、A2、A3An相外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)n個圓心得到的n邊形A1A2A3An，求n個扇形的面積之和。 解題思路同上。 解：一、填空題（10×4=40分） 1. 已知：一個圓的弦切角是50°，

9、那么這個弦切角所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)為_。 2. 圓內(nèi)接四邊形ABCD中，如果A：B：C=2：3：4，那么D=_度。 3. 若O的半徑為3，圓外一點(diǎn)P到圓心O的距離為6，則點(diǎn)P到O的切線長為_。 4. 如圖所示CD是O的直徑，AB是弦，CDAB于M，則可得出AM=MB，等多個結(jié)論，請你按現(xiàn)有的圖形再寫出另外兩個結(jié)論：_。 5. O1與O2的半徑分別是3和4，圓心距為，那么這兩圓的公切線的條數(shù)是_。 6. 圓柱的高是13cm，底面圓的直徑是6cm，則它的側(cè)面展開圖的面積是_。 7. 已知：如圖所示，有一圓弧形橋拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半徑是_。 8. 若PA是

10、O的切線，A為切點(diǎn)，割線PBC交O于B，若BC=20，PA=，則PC的長為_。9如圖5，內(nèi)接于O，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)（不與重合），的取值范圍是 （第9題圖）10如圖，量角器外沿上有A、B兩點(diǎn)，它們的讀數(shù)分別是70°、40°，則1的度數(shù)為 .°°O 11已知的半徑是3，圓心O到直線l的距離是3，則直線l與的位置關(guān)系是 12如圖，已知點(diǎn)E是圓O上的點(diǎn)， B、C分別是劣弧的三等分點(diǎn)， ，則的度數(shù)為 13如圖，中，將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 （取3.14，結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）圖8第14題圖fABC14如圖8，兩個同心圓的半徑分別為2和1

11、，則陰影部分的面積為 AOBNM15如圖，是的直徑，為弦，過點(diǎn)的的切線交延長線于點(diǎn)若，則的半徑為 cm16如圖，是由繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)而得，且點(diǎn)在同一條直線上，在中，若，則斜邊旋轉(zhuǎn)到所掃過的扇形面積為 CBA（15題圖）OADPEBC（第17題圖）17如圖，從圓O外一點(diǎn)引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別是，若，是上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)與兩點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作圓O的切線，分別交于點(diǎn)，則的周長是 18、在平面內(nèi)，O的半徑為5cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)P與O的位置關(guān)系是 .19如圖8，在中，將其繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一周，則分別以為半徑的圓形成一圓環(huán)則該圓環(huán)的面積為 20如圖9，點(diǎn)是上兩點(diǎn)，點(diǎn)是上的動點(diǎn)（與不重合）

12、連結(jié)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則 ACB圖8AEOFBP圖9 三、解答題： 1. 已知：如圖所示，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，過B點(diǎn)作O1的切線交O2于D，連結(jié)DA并延長與O1相交于C點(diǎn)，連結(jié)BC。過A點(diǎn)作AEBC與O2相交于E點(diǎn)，與BD相交于F點(diǎn)。 （1）求證：EF·BC=DE·AC； （2）若AD=3，AC=1，AF，求EF的長。 2. 某單位搞綠化，要在一塊圖形的空地上種四種顏色的花，為了便于管理和美觀，相同顏色的花集中種植，且每種顏色的花所占的面積相同，現(xiàn)征集設(shè)計方案，要求設(shè)計的圖案成軸對稱圖形或中心對稱圖形。請?jiān)谌鐖D所示的圓中畫出三種設(shè)計方案。（只畫示意圖，不寫作法

13、）。 3. 已知：ABC是O的內(nèi)接三角形，BT為O的切線，B為切點(diǎn)，P為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交直線BT于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F。 （1）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，求證：PA·PB=PE·PF； （2）當(dāng)點(diǎn)P為線段BA延長線上一點(diǎn)時，第（1）題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；（3）若AB，求O的半徑。4如圖，是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），設(shè)，（1）當(dāng)時，求的度數(shù)；（2）猜想與之間的關(guān)系，并給予證明ADBOCE5、（分）已知：如圖，在ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點(diǎn)D，切線DEAC，垂足為

14、點(diǎn)E求證：（1）ABC是等邊三角形；（2）DCOABE6、已知：如圖，在中，點(diǎn)在上，以為圓心，長為半徑的圓與分別交于點(diǎn)，且（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，求的長7、如圖，在梯形ABCD中，ABCD，O為內(nèi)切圓，E為切點(diǎn)，（）求的度數(shù)；（）若cm，cm，求OE的長8、已知RtABC中，有一個圓心角為，半徑的長等于的扇形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線交于點(diǎn)M，N（）當(dāng)扇形繞點(diǎn)C在的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖，求證：；CABEFMN圖CABEFMN圖 （）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖的位置時，關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由9如圖，內(nèi)接于，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，（1）求證：；（2）如果，的半徑為1，且為的中點(diǎn)，求的長10(本題滿分10分)已知：如圖，在半徑為4的O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長線交O于點(diǎn)E，且EMMC連結(jié)DE，DE=.(1) 求證：；(2) 求EM的長；（3）求sinEOB的值.11（本題滿分10分，第（1）小題滿分3分，第（2）小題滿分7分）OCADEH圖8