初中數(shù)學(xué)的幾何最值問題

1、1. 如圖，MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為【 】ABC5D2.在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是 。3.如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為 。4. 在ABC中，AB5，AC3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 5.如圖，長方體的

2、底面邊長分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長為【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm6.如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，則BPG的周長的最小值是 7.如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為A1 B C 2 D18. 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【 】A.（0，0） B.（，） C.（，）

3、 D.（，）9. 如圖，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 10.已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，問題1：如圖1，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？問題2：如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題3：若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長PD到E，使DEPD，再以

4、PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長PA到E，使AEnPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由11. 如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動(dòng)，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BCCD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和CEF的

5、面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?2. 如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且1=B=C（1）由題設(shè)條件，請寫出三個(gè)正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）答：結(jié)論一： ；結(jié)論二： ；結(jié)論三： （2）若B=45°，BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長（注意：在第（2）的求解過程中，若有運(yùn)用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）13.如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=6

6、0°，M是BC的中點(diǎn)（1）求證：MDC是等邊三角形；（2）將MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即MD）與AB交于一點(diǎn)E，MC（即MC）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)和點(diǎn)A構(gòu)成AEF試探究AEF的周長是否存在最小值如果不存在，請說明理由；如果存在，請計(jì)算出AEF周長的最小值14.如圖，O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為【 】15.如圖，在RtABC中，C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BCA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)

7、點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)（1）求AC、BC的長；（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQAB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與ABC是否相似，請說明理由；（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由16. 如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm17. 如圖

8、，四邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN周長最小時(shí)，則AMNANM的度數(shù)為【 】A130° B120° C110° D100°18. 點(diǎn)A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示若P是x軸上使得的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點(diǎn)，則19. 閱讀材料：例：說明代數(shù)式 的幾何意義，并求它的最小值解： ，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P（x，0）是x軸上一點(diǎn)，則可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A（0，1）的距離，可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的

9、值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PAPB的最小值設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A，則PA=PA，因此，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點(diǎn)A、B間的直線段距離最短，所以PAPB的最小值為線段AB的長度為此，構(gòu)造直角三角形ACB，因?yàn)锳C=3，CB=3，所以AB=3，即原式的最小值為3。根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（1）代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B 的距離之和（填寫點(diǎn)B的坐標(biāo)）（2）代數(shù)式 的最小值為 20.如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE

10、長的最小值是21.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CEAB于E，設(shè)ABC=（60°90°）（1）當(dāng)=60°時(shí)，求CE的長；（2）當(dāng)60°90°時(shí)，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由連接CF，當(dāng)CE2CF2取最大值時(shí)，求tanDCF的值22.等邊ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊APD和等邊APE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N（如圖1）。（1）求證：AM=AN；（2）設(shè)BP=x。若，BM=，求x的值；記四邊形

11、ADPE與ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；連接DE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H（如圖2），當(dāng)x取何值時(shí)，BAD=150？并判斷此時(shí)以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由。23.如圖，已知半徑為2的O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為. 當(dāng) 時(shí)，求弦PA、PB的長度；當(dāng)x為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？24.如圖，正三角形ABC的邊長為（1）如圖，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上在正三角形ABC及其內(nèi)部，以

12、A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形的邊長；（3）如圖，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由25.如圖，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，將DEF與ABC重合在一起，ABC不動(dòng)，ABC不動(dòng)，DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE、始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)（1）求證：ABEECM；（2）探究：在DEF運(yùn)動(dòng)過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出B

13、E的長；若不能，請說明理由；（3）當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積26.如圖，在ABC中，AB=AC，B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點(diǎn)M，邊EF交邊AC于點(diǎn)N（1）求證：BMDCNE；（2）當(dāng)BD為何值時(shí)，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？（3）設(shè)BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式（要求寫出自變量x的取值范圍）；當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？并求y的最大值27.如圖1和2，在ABC中，AB=13，BC=14，cosABC=探究：如圖1，AHBC于點(diǎn)H，則AH= ，AC= ，ABC的面積

14、SABC= ；拓展：如圖2，點(diǎn)D在AC上（可與點(diǎn)A，C重合），分別過點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BD=x，AE=m，CF=n（當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，我們認(rèn)為SABD=0）（1）用含x，m，n的代數(shù)式表示SABD及SCBD；（2）求（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）對給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D，指出這樣的x的取值范圍發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小（不必寫出過程），并寫出這個(gè)最小值28.如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)思考如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間（包括

15、AB，CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，設(shè)MOP=當(dāng)= 度時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小，最小值為 探究一在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角BMO= 度，此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是 探究二將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（1）如圖3，當(dāng)=60°時(shí)，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P到CD的最小距離，并請指出旋轉(zhuǎn)角BMO的最大值；（2）如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點(diǎn)P能落在直線CD上，請確定的取值范圍（參考數(shù)椐：sin49

16、6;=，cos41°=，tan37°=）29.如圖，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于F，然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)“折痕BEF”是一個(gè) 三角形（2）如圖、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，當(dāng)它的“折痕BEF”的頂點(diǎn)E位于AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕BEF”？若存在，說明理由，并求

17、出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)？若不存在，為什么？圖 圖 圖 圖30.在一次機(jī)器人測試中，要求機(jī)器人從A出發(fā)到達(dá)B處如圖1，已知點(diǎn)A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機(jī)器人在射線AO及其右側(cè)(AO下方)區(qū)域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側(cè)(AO上方)區(qū)域的速度為10cm/秒(1) 分別求機(jī)器人沿AOB路線和沿AB路線到達(dá)B處所用的時(shí)間(精確到秒)；(3分)(2) 若OCB=45°，求機(jī)器人沿ACB路線到達(dá)B處所用的時(shí)間(精確到秒)；(3分)(3) 如圖2,作OAD=30°，再作BEAD于E,交OA于P試說明：從A出發(fā)到達(dá)B處，機(jī)器人沿APB路線行進(jìn)所用時(shí)間最短

18、(3分)(參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732，2.236，2.449)31.在ABC中，ACB90°，ABC30°，將ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°180°)，得到A1B1C(1)如圖1，當(dāng)ABCB1時(shí)，設(shè)A1B1與BC相交于點(diǎn)D證明：A1CD是等邊三角形； (2)如圖2，連接AA1、BB1，設(shè)ACA1和BCB1的面積分別為S1、S2求證：S1S213；(3) 如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A1B1的中點(diǎn)為P，ACa，連接EP當(dāng) °時(shí)，EP的長度最大，最大值為 32如圖，已知直線a/b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到

19、直線b的距離為3，AB=.試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MNa且AM+MN+NB的長度和最短，則此時(shí)AM+NB=（ ）A6B8C10D12（2007南京）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，并且原多邊形上的任一點(diǎn)P，它的對應(yīng)點(diǎn)P在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，），其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，叫做旋轉(zhuǎn)角（1）填空：如圖1，將ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到ADE，這個(gè)

20、旋轉(zhuǎn)相似變換記為A( _，_°）；如圖2，ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到ADE，則線段BD的長為_cm；（2）如圖3，分別以銳角三角形ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，點(diǎn)O1，O2，O3分別是這三個(gè)正方形的對角線交點(diǎn)，試分別利用AO1O3與ABI，CIB與CAO2之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段O1O3與AO2之間的關(guān)系33.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（1）寫出這個(gè)幾何體的名稱；（2）根據(jù)所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積；（3）如果一只螞蟻要從這個(gè)幾何體中的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點(diǎn)

21、D，請你求出這個(gè)線路的最短路程 34.在RtABC中，C=90°，AC=1，BC=，點(diǎn)O為RtABC內(nèi)一點(diǎn)，連接A0、BO、CO,且AOC=COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到AOB（得到A、O的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A、O），并回答下列問題：ABC=_,ABC=_,OA+OB+OC=_.35.如圖，AB是O的一條弦，點(diǎn)C是O上一動(dòng)點(diǎn)，且ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與O交于G、H兩點(diǎn).若O的半徑為7，則GE+FH的最大值為 .36（3分）（201

22、3蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtOAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為（）ABCD237如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)；圖象上的點(diǎn)，PA垂直軸于點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，PC交軸于點(diǎn)B，連結(jié)AB，已知（1）的值是_；（2）若是該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是_38（10分）（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B，連接AB，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB的長度即為AP+BP的最小值 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為 （2）實(shí)踐運(yùn)用 如圖（3）：已知O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為 （3）拓展延伸如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M