二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1.空間曲線的切線與法平面的參數(shù)設(shè)空間曲線L方程為)()()(tztytxozyxMM 為零。的導(dǎo)數(shù)存在，且不同時(shí)數(shù)對(duì)這里假定上式的三個(gè)函t000000),(ttzyxMttL它對(duì)應(yīng)于參數(shù)的一點(diǎn)上取對(duì)應(yīng)于在曲線即即)()()(000000tztytx），的坐標(biāo)為（上的點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)于曲線當(dāng)zzyyxxMLttt0000,的方程為則割線MM0zzzyyyxxx000在的極限位置就是曲線時(shí)，割線趨近于沿曲線當(dāng)MMMMLM00即令遍除割線方程的分母，的切線，因此，用點(diǎn), 00ttM的切線方程得曲線在點(diǎn)0M)()()(000000tzztyytxx就是）（向量。向量的切切線方向向量稱為

2、曲線)(),(,000tttT處的一個(gè)切向量。在點(diǎn)曲線ML000MLMM在點(diǎn)曲線處切線垂直的平面稱為而與點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)為法向量的平面，）而以（點(diǎn)處的法平面，它是通過(guò)LzyxM0000,因此這法平面的方程為0)()()(000000zztyytxxt例例1方程處的切線方程和法平面在求曲線1,032ttztytx解解1, 1, 110000zyxt時(shí)，當(dāng)3) 1 (, 2) 1 (, 1) 1 (zyx于是，切線方程為312111zyx法平面方程為0) 1( 3) 1(2) 1(zyx2.曲面的切平面方程與法線方程是曲面給出，由方程設(shè)曲面),(0),(0000zyxMzyxF連續(xù)且不同時(shí)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)上的

3、一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)0,),(MFFFzyxFzyx方程點(diǎn)的一條任意曲線，其為位于上述曲面上且過(guò)為零，設(shè)0ML為)()()(tzztyytxx在曲面上，故由于曲線L0)(),(),(tztytxF),(),(),(,0000000tzztyytxxtM即的參數(shù)值為若相應(yīng)于點(diǎn)處有求導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)式對(duì)將0)5 . 7(Mt0)(),()(),()(),(000000000000tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx與曲上式表示),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx0000)(),(),(MtztytxT過(guò)點(diǎn)垂直，所以在曲面上通線的切向量上。這個(gè)平面稱為的切線都在同一個(gè)平面

4、的一些曲線在點(diǎn)0M切平面的方程是曲面在點(diǎn)的切平面。這0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx為曲面在該點(diǎn)而垂直于平面的直線稱通過(guò)點(diǎn)),(0000zyxM的法向量。向量切平面的向量稱為曲面的法線。垂直于曲面上),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx處的一個(gè)法向量。就是曲面在點(diǎn)0M例例2程的切平面方程與法線方在點(diǎn)求曲面)4 , 1 , 2(122yxz解解2) 1 , 2(, 4) 1 , 2(,2,2yxyxzzyzxz的切平面方程為所以曲面在點(diǎn))4 , 1 , 2(0)4() 1(2)2(4zyx或024zyx法線

5、方程為142142zyx1、二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值問(wèn)題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)解決。定理定理7.7(極值存在必要條件極值存在必要條件)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)),(yxfz ）處有極值，則它在該具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)（00000,),(yxyxP點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零0),(00yxfx0),(00yxfy使, 0),(00yxfx0),(00yxfy的駐點(diǎn)。稱為函數(shù)同時(shí)成立的點(diǎn)),(),(00yxfyx定理定理7.8（極值存在充分條件）（極值存在充分條件）在點(diǎn)設(shè)函數(shù)),(yxfz 又階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一),(000yxP0),(, 0),(0000yxfyxfyx令CyxfByxfAyxf

6、yyxyxx ),(,),(,),(000000如下處是否取得極值的條件在則),(),(00yxyxf0),(0) 1 (02APyxfACB處取得極值，且當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，函數(shù)時(shí)有極小值；時(shí)有極大值，當(dāng)0A處沒(méi)有極值；在點(diǎn)時(shí)，函數(shù)02),(0)2(PyxfACB論。沒(méi)有極值，還需另作討時(shí)可能有極值，也可能0) 3(2 ACB),(, 2 . 1yxfz 導(dǎo)數(shù)的函數(shù)我們把具有二階連續(xù)偏利用定理的極值的求法總結(jié)如下第一步求出所有的駐點(diǎn)解方程組,0),(0),(yxfyxfyx第二步求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yxCyxfByxfAyxfyyxyxx ),(,),(,),(000000第三步

7、),(2002yxfACB的結(jié)論判定的符號(hào)，按定理定出還是極小值是否有極值、是極大值 例例3的極值求函數(shù)61065),(22yxyxyxf解解（1）求駐點(diǎn)1010),(, 62),(yyxfxyxfyx由于解方程組01010062yx），即得駐點(diǎn)（13 （2）判斷駐點(diǎn)是否極值點(diǎn)， 若是，說(shuō)明取得極值情況又由于0) 1, 3(, 02) 1, 3( xyxxfBfA020,10) 1, 3(2 ACBfCyy. 8) 1, 3() 1, 3(),(fyxf取得極小值，極小值為在故2.條件極值與拉格朗日乘數(shù)法在前面所討論的極值中，除對(duì)自變量給出定義域外，并無(wú)其它條件限制，我們把這一類極值稱為無(wú)條件

8、極值，而把對(duì)自變量還需附加其他條件的極值問(wèn)題稱為條件極值。條件條件極值問(wèn)題有如下兩種解法。方法方法1使二元函數(shù)的再代入中解出從),(0),(yxfyyx數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題。條件極值轉(zhuǎn)化為一元函例例4下的極值在條件求二元函數(shù)8222yxxyyxz解解zxyyx代入得由,8, 8128404)8()8(2222xxxxxxz由一元函數(shù)極值存在的必要條件，得0408 xdxdz所以5xxyyxzyxdxzd22222)3 , 5( , 3585, 08為二元函數(shù)時(shí)，當(dāng)因?yàn)?88下極小值點(diǎn)，極小值為在條件 yx方法方法2 （拉格朗日數(shù)乘法）（拉格朗日數(shù)乘法）在附加條件要找函數(shù)),(yxfz 構(gòu)成輔助函數(shù)下可能極值點(diǎn)，可以先0),(yx),(),(),(yxyxfyxF的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之與為一常數(shù)。求其對(duì)其中yx聯(lián)立起來(lái)為零，然后與方程0),(yx0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx),(,yxfyxyx就是函數(shù)，則其中及由這方程組解出。下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)在