平面向量中三點共線

1、平面向量中三點共線定理的應(yīng)用知識梳理（一）、對平面任意的兩個向量a,b（bO）,ab的充要條件是：存在唯一的實數(shù)使ab由該定理可以得到平面三點共線定理：（二）、三點共線定理：在平面中A、B、P三點共線的充要條件是：對于該平面uuvuvuuv任意一點的0，存在唯一的一對實數(shù)x,y使得：OPxOAyOB且uuvuuuvOPxOAyOBo特別地有：當(dāng)點P在線段AB上時，x0,y0當(dāng)點P在線段AB之外時，xy0典例剖析例1、已知P是ABC的邊BC上的任一點，且滿足APxAByAC,x.yR,則的最小值是xy分析：Q點P落在VABC的邊BC上B,P,C三點共線uuuuuuuuurQAPxAByACxy1

2、且x>0,y>04()()(xy)1V44Qx>0,y>0yc4x小0,0xy由基本不等式可知：y4xxy時y4xxy22y4xy2xQx0,y0y2xQx1x-,y322,符3所以-4的最小值為9xy例2、在 ABC中,uuurAN1 uuir-NC, 3點P是BC上的一點H uuu uuu ，右 AP mAB2 uuur AC,11點評：本題把平面三點共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結(jié)合在一0的直線分別交直縛UB、聲CABC中，點0是BC的中點，過點uuuAB=mAM,AC=nAN,貝(則實數(shù)m的值為（A.B.-11 11C.311D.-11uuu AP析

3、：uuu 2 uuurmABAC113故選C11Q B,P, N uuu 2 mAB11uuur4AN占八、uuu mAB8 uuirAN 11線8 m -11:Q因為O是BC的中點，故連接AO,如圖4,由向量加法的平行四邊形法則uuir可知：AOuuuuuuQAB=mAM1uuu一(AB2uuirACuiurAC)uuurnAN分析：因為點O兩條對角線AC與BD的交點,所以點O為AC的中點uuur i uuu uur AO-(AB AD)uuiruuuQ AB = m AM , 2 2uuur i uuuu uuurAO -(mAM nAN )2m uuuu n uuirAM AN 2 2又

4、Q M ,O,N三點共線,由平面三點共線的向量式定理可得：m2 1例4、點G是公OAB的重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且P、G、Q三點共1 1線?設(shè)OP xOA , OQ yOB ,證明：,1是定值；x ynx I 證明：Q因為G是VOAB的重心，/ I Qt%8-" G 八上 uuir 2 1 uuu uuu1 uuu uuu*/具-uuur1uuuuumrAO-(mAMnAN)2uuurmuuuunuuurAOAM-AN22又QM,O,N三點共線，由平面三點共線定理可得：mn1mn2AC與BD的交點O，與AD邊交于點變式、直線I過YABCD的兩條對角線N,與AB的延長線

5、交于點M又知AB=uuir一mAM,AD=nAN,貝Um+n=分析：OG(OAOB)-(OAOB)323uuuuuuQOPxOAuuuriuuuuuuOG-(OAOB)3又QP,G,Q三點共線,uuuiuuuuuuruuuOAOPQOQyOBx11uuu1uuur一(OP-OQ)3xy11一一13x3y例5、如圖所示，在平行四邊形uurruurr于G點，記ABa,ADb,uuu1uuirOB-OQunr1uuu1unrOGOPOQ3x3yuuu1uuuuuuABCD中，AE-AB，af，3uuur則AG1uuur=AD,CE與BF相交4分析：本題是以平面幾何為背景，為載體，求向量的問題，所以我

6、們很容易聯(lián)想到點F、G、B以及E,G,C三點在一條直線上，可用平面三點共線定理求解解：QE,G,C三點共線,得unruuuruuirAGxAE(1x)ACuuir1rr又QF,G,B三點共線,由平面三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)uuu1uuu,QAE-AB32xrAGxa(1x)(a31 ruurrra,ACab3x)bb)(1虧)a(1由平面三點共線定理可得:存在唯一的一對實數(shù)使得uuuruuuAGAB(1uuurrAGa(1由兩式可得：uuuruuur)AFQAF1r)4b12x31x1uuir1rADb,446x-73uuir3r1rAGab777點評：本題的解法中由兩組三點共線（

7、F、G、B以及E,G,C三點在一條直線上）134變式2、在三角形ABC中,AM:AB=1:3,AN:AC=1:4,BN解：Q N,P,B三點共線,與CM相交于點P,且ABa,ACb,試用a、b表示AP由平面三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)x,y使得APuuur LULT xAB yAN, x y4,QANAC=1:uuuuuuyuuurAN1ACAbAPxABACx；ybx；xbI44444又QC,P,M三點共線，由平面三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)uuu uuuu AM uuuruuurr 1 rAPa ba331?/ AM : AB=1 : 3r b11AM ± AB

8、-a , 33由兩式可得:x31 x4311211y 1, y11uuuAP3 ra11211練習(xí)：uuu uuu uuu r uuu r1. OAB，點 P 在邊 A?上，AB uuu3AP ,設(shè) OA a, OB bP1r 2rr 2rB. a31rC. 1a 2bD. 2a -bUULT ULU2、平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點，已知兩點 A(3,1), B(-1,3)，若點C(x, y)滿足OC = aOA +uuuA . 3x+2y-11=0B. (x-1)2+(y-2)2=5C . 2x-y=0D. x+2y-5=03.已知P是ABC的邊BC上的任一點，且滿足(BOB,其中a,氏R

9、且a+ (3=1,貝U X, y所滿足的關(guān)系式為AP xAB yAC,x.y R ,貝 U的最小值是4、在平行四邊形 ABCD中，0是對角線AC與BD的交點,E是BC邊的中點，連接 DE交AC于點Fo已知AB = a, AD = b，則 OF 二(A. a+ 1 ,b B.36(a+ b)C. (a+ b)1 ,b5、(2014屆東江中學(xué)高三年級理科第三次段考)在平行四邊形ABCD中，E F分別是5a- 5b B. 5a+ 5bC - 5a + 5b5a - 5bBC、CD的中點，DE交AF于H,記AB、BC分別為a、b,則AH =(AE(2008年卷)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,的延長線與CD交于點F.若UULTUUITACa,BDUULTb,則AF(1-b B .2C.-ab247、在平行四邊形ABCD 中,uuu1uuuuuuAE-AB,AF3uuuABADb,則AG=()A.a21，b