數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合,插值方法,分形實(shí)例,回歸分析,矩陣的運(yùn)算,特征值與特征向量及學(xué)習(xí)感受

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)生姓名學(xué)科專業(yè)任課教師所在學(xué)院報(bào)告提交日期實(shí)驗(yàn)一 斐波那契數(shù)列(一)練習(xí)題1一實(shí)驗(yàn)?zāi)康?學(xué)會(huì)用MATLAB研究調(diào)和級(jí)數(shù)n=11n的變化規(guī)律及其性質(zhì)。學(xué)會(huì)用MATLAB進(jìn)行數(shù)據(jù)的擬合以及圖像的繪制。1.研究調(diào)和級(jí)數(shù)觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的部分?jǐn)?shù)列 Sn 的折線圖。實(shí)驗(yàn)方法：根據(jù)調(diào)和級(jí)數(shù)部分和數(shù)列公式：Sn=n=11n，生成以n為自變量和以其部分?jǐn)?shù)列 Sn 為因變量的曲線。代碼如下：function fib1(n)fn=1;for i=2:n;fn=fn, fn(i-1)+1./i;endplot (fn)實(shí)驗(yàn)過(guò)程：選擇n=1000，調(diào)用上述函數(shù)畫圖，圖形如下。選擇n=10000，調(diào)用上述函數(shù)

2、畫圖，圖形如下。得出結(jié)論：由其圖可知在n=1000和n=10000時(shí)有明顯上升，Sn是遞增數(shù)列，不收斂問(wèn)題二：數(shù)列Hn : Hn=S2n-Sn 的變化規(guī)律，猜測(cè)其是否有極限。實(shí)驗(yàn)方法：由公式 Hn=S2n-Sn ，生成以n為自變量和以其部分?jǐn)?shù)列 Hn 為因變量的曲線。代碼如下：function fib2(n)fn=1;hn=0.5;for i=2:2*n;fn=fn,fn(i-1)+1./i;endfor j=2:n;hn=hn, fn(2*j)-fn(j);endplot(hn)實(shí)驗(yàn)過(guò)程：選擇n=10000，調(diào)用上述函數(shù)畫圖，圖形如下得出結(jié)論：Hn的增長(zhǎng)在n較小時(shí)增長(zhǎng)速度很快，但當(dāng)n時(shí)，Hn

3、大致收斂于 區(qū)間0.68，0.7。問(wèn)題三：數(shù)列Gn : Gn=S2n 的變化規(guī)律，尋找恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合。實(shí)驗(yàn)方法：由公式 Gn=S2n ，生成以n為自變量和以其部分?jǐn)?shù)列 Gn 為因變量的曲線。代碼如下：function fib3(n)fn=1;gn=1.5;for i=2:2*n;fn=fn, fn(i-1)+1./i;endfor j=2:n;gn=gn, fn(2*j);endplot(gn)實(shí)驗(yàn)過(guò)程：選擇n=10000，調(diào)用上述函數(shù)畫圖，圖形如下圖形分析：根據(jù)圖形初步猜測(cè)函數(shù)關(guān)系式為對(duì)數(shù)函數(shù)，進(jìn)行圖形擬合：代碼如下：function fib4(n)fn=1;gn=1.5;for i=2:2

4、*n;fn=fn,fn(i-1)+1./i;endfor j=2:n;gn=gn,fn(2*j);endx=1:n;y=exp(gn);plot(y) 作圖：選擇n=10000，畫出圖形，如下 一階線性擬合編程：function y=fib5(n)fn=1;gn=1.5;for i=2:2*n;fn=fn,fn(i-1)+1./i;endfor j=2:n;gn=gn,fn(2*j);endx=1:n;y=exp(gn);y=polyfit(x,y,1)運(yùn)行結(jié)果：y= 0.2509 -0.0001擬合驗(yàn)證：將擬合表達(dá)式式的折線圖與Gn的折線圖比較，驗(yàn)證猜想。代碼如下：function y=fi

5、b6(n)fn1= ;for i=1:n; fn1=fn1,log(3.5617*i+0.8907);endfn=1;gn=1.5;for i=2:2*n; fn=fn,fn(i-1)+1./i;endfor j=2:n;gn=gn,fn(2*j);endx=1:n;plot(x,gn,b,x,fn1,r*)legend(原始數(shù)據(jù),擬合數(shù)據(jù))得出結(jié)論：根據(jù)擬合曲線，exp（Gn）為線性函數(shù)，所以我們可以據(jù)此求其擬合表達(dá)式，得：exp（Gn）=3.5617*n+0.8907，即 Gn=ln（3.5617*n+0.8907）問(wèn)題4討論部分和數(shù)列 Sn 的變化規(guī)律。在綜合上述實(shí)驗(yàn)，可以得出以下結(jié)論：

6、部分和數(shù)列Sn是一個(gè)遞增且發(fā)散的數(shù)列。（二）練習(xí)題2實(shí)驗(yàn)?zāi)康模悍治?990-2010年的人口增長(zhǎng)規(guī)律，建立合理的人口增長(zhǎng)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)人口數(shù)量。問(wèn)題描述：人年份增長(zhǎng)與人口數(shù)量可以用哪些曲線進(jìn)行擬合，且能根據(jù)擬合做出哪些預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)方法：畫出散點(diǎn)圖，再進(jìn)行猜測(cè)符合那種曲線。實(shí)驗(yàn)步驟：輸入1990-2010的人口數(shù)量，畫出散點(diǎn)圖。代碼如下：t=1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000;t=t,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010;n=114333,115823,117171

7、,118517,119850,121121,122389,123626,124761,125786,126743;n=n,127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129,132802,133450,134091; plot(t,n,r+) xlabel(年份);ylabel(數(shù)量);據(jù)圖，先現(xiàn)以年份為自變量，人口數(shù)量為因變量依次進(jìn)行一階擬合。代碼如下：t=1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000; t=t,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2

8、008,2009,2010;n=114333,115823,117171,118517,119850,121121,122389,123626,124761,125786,126743;n=n,127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129,132802,133450,134091;p1=polyfit(t,n,1)plot(t,n,r+,t,polyval( p1,t)R1=dot(n-polyval(p1,t),n-polyval(p1,t)legend(測(cè)量數(shù)據(jù),1階擬合)得圖形 且p1 = 1.0e+06 * 0.0010 -1.824

9、3R1 = 1.4525e+07再現(xiàn)以年份為自變量，人口數(shù)量為因變量依次進(jìn)行六階擬合。代碼如下：t=1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000;t=t,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010;n=114333,115823,117171,118517,119850,121121,122389,123626,124761,125786,126743;n=n,127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129,132802,13

10、3450,134091;p2=polyfit(t,n,6)plot(t,n,r+,t,polyval( p2,t) R2=dot(n-polyval(p2,t),n-polyval(p2,t) legend(測(cè)量數(shù)據(jù), 6階擬合)且得p2 = 1.0e+16 * -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0079 -2.6412R2 =280929再現(xiàn)以年份為自變量，人口數(shù)量為因變量依次進(jìn)行雙曲擬合。代碼如下：t=1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000; t=t,2001,2002,20

11、03,2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010;n=114333,115823,117171,118517,119850,121121,122389,123626,124761,125786,126743;n=n,127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129,132802,133450,134091;p3=polyfit(1./t,1./n,1)plot(t,n,r+,t,1./polyval( p1,1./t)R3=dot(n-1./polyval(p3,1./t),n-1./polyval(p3,1./t) l

12、egend(測(cè)量數(shù)據(jù), 雙曲線擬合)且得p3 = 0.2509 -0.0001R3 = 2.4159e+07再現(xiàn)以年份為自變量，人口數(shù)量為因變量依次進(jìn)行指數(shù)擬合。代碼如下：t=1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000; t=t,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010;n=114333,115823,117171,118517,119850,121121,122389,123626,124761,125786,126743;n=n,127627,128453,12922

13、7,129988,130756,131448,132129,132802,133450,134091;p4=polyfit(1./t,log(n),1)plot(t,n,r+,t,exp(polyval( p4,1./t)R4=dot(n-exp(polyval(p4,1./t),n-exp(polyval(p4,1./t)legend(測(cè)量數(shù)據(jù), 指數(shù)擬合)且得p4 = 1.0e+04 *-3.1262 0.0027R4 = 1.8600e+07再現(xiàn)以年份為自變量，人口數(shù)量為因變量依次進(jìn)行對(duì)數(shù)擬合。代碼如下：t=1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,

14、1998,1999,2000;t=t,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010; n=114333,115823,117171,118517,119850,121121,122389,123626,12476 1,125786,126743;n=n,127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129,132802,133450,134091;p5=polyfit(log(t),n,1)plot(t,n,r+, t,polyval( p5,log(t) R5=dot(n-polyval(p5,

15、log(t),n-polyval(p5,log(t)legend(測(cè)量數(shù)據(jù), 對(duì)數(shù)擬合)且得p5 = 1.0e+07 * 0.1950 -1.4699R5 = 1.4250e+07對(duì)比分析對(duì)數(shù)，六階，指數(shù)擬合較好，其中對(duì)數(shù)函數(shù)為n=1.950x106ln(t) -1.4699x1o7預(yù)測(cè)出2011，2012年人口分別為133455萬(wàn)，134425萬(wàn)六階函數(shù)為n=7.9x1013t-2.6421x1016預(yù)測(cè)出2011，2012年人口分別為1.32x1017明顯有誤指數(shù)函數(shù)為n=exp(27-31262/t)預(yù)測(cè)出2011，2012年人口分別為94324萬(wàn)，95056萬(wàn)明顯有誤。所以對(duì)數(shù)函數(shù)較準(zhǔn)

16、公式：n=1.950x106ln(t) -1.4699x1o7人口趨勢(shì)分析：中國(guó)的人口目前仍在持續(xù)增長(zhǎng)，但是增速明顯放緩，要防備人口老齡化以及未來(lái)勞動(dòng)力短缺的問(wèn)題，應(yīng)按實(shí)際情況及時(shí)制定新的人口政策，適當(dāng)放開(kāi)計(jì)劃生育的約束，優(yōu)化人口結(jié)構(gòu)。保持人口低速平穩(wěn)增長(zhǎng)。四、總結(jié)分析和心得體會(huì)1.初步了解了matlab軟件的用法。2.學(xué)會(huì)了編寫簡(jiǎn)單的matlab程序。3.分析算法和調(diào)試程序的過(guò)程培養(yǎng)了邏輯思維能力。4.認(rèn)識(shí)到在matlab中采用擬合的方法時(shí)解決問(wèn)題的強(qiáng)大之處，了解到學(xué)習(xí)matlab軟件的重要性。 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)院： 班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 提交日期： 數(shù)學(xué)試驗(yàn)插值一實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解插值的基本

17、概念和使用方法以及了解MATLAB做插值的基本方式。2、學(xué)會(huì)用插值方法來(lái)進(jìn)行函數(shù)的擬合以及計(jì)算封閉圖形的面積。二.問(wèn)題描述 已知?dú)W洲一個(gè)國(guó)家的地圖，為了算出他的國(guó)土面積，對(duì)地圖進(jìn)行了如下測(cè)量：以由西向東方向?yàn)閤軸，由南向北方向?yàn)閥軸，選擇方便的原點(diǎn)，并將從最西邊界點(diǎn)到最東邊界點(diǎn)在x軸上的區(qū)間適當(dāng)?shù)姆譃槿舾啥?，在每個(gè)分店的y方向測(cè)出南邊界點(diǎn)和北邊界點(diǎn)的y坐標(biāo)y1和y2，這樣就得到表中的數(shù)據(jù)（單位：mm）。根據(jù)地圖的比例，18mm相當(dāng)于40km。試采用適當(dāng)?shù)姆椒?，繪制其國(guó)界邊界圖形，并估算其國(guó)土面積。表1-1 某國(guó)上下國(guó)界線測(cè)量坐標(biāo)X7.010.513.017.534.040.544.548.05

18、6.0Y1444547505038303034Y24459707293100110110110X61.068.576.580.591.096.0101.0104.0106.5Y1363441454643373328Y2117118116118118121124121121X111.5118.0123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0Y1326555545250666668Y2121122116838182868568三.第一個(gè)問(wèn)題實(shí)驗(yàn)過(guò)程1、首先繪制國(guó)土輪廓在MATLAB指令框中輸入以下代碼：x=7,10.5,13,17.5,34,40.5,44.5,48,56,

19、61,68.5,76.5,80.5,91,96,101,104,106.5,111.5,118,123.5,136.5,142,146,150,157,158;y1=44,45,47,50,50,38,30,30,34,36,34,41,45,46,43,37,33,28,32,65,55,54,52,50,66,66,68;y2=44,59,70,72,93,100,110,110,110,117,118,116,118,118,121,124,121,121,121,122,116,83,81,82,86,85,68;plot(x,y1,x,y2)xlabel(東西方向);ylabel(南

20、北方向);legend(邊界點(diǎn)散點(diǎn)圖)運(yùn)行之后結(jié)果為下圖： 2、計(jì)算該圖形圍成的多邊形的面積 在MATLAB指令框中輸入以下代碼：x=7,10.5,13,17.5,34,40.5,44.5,48,56,61,68.5,76.5,80.5,91,96,101,104,106.5,111.5,118,123.5,136.5,142,146,150,157,158;y1=44,45,47,50,50,38,30,30,34,36,34,41,45,46,43,37,33,28,32,65,55,54,52,50,66,66,68;y2=44,59,70,72,93,100,110,110,110,1

21、17,118,116,118,118,121,124,121,121,121,122,116,83,81,82,86,85,68; s1=0; s2=0; for i=1:26 a=(y1(i)+y1(i+1)*(x(i+1)-x(i)/2; s1=s1+a; end for i=1:26 a=(y2(i)+y2(i+1)*(x(i+1)-x(i)/2; s2=s2+a; end s2-s1運(yùn)行結(jié)果為ans =8.5888e+003根據(jù)地圖的比例，18mm相當(dāng)于40km，經(jīng)過(guò)換算，其代表的實(shí)際國(guó)土面積為42413.27平方公里。3、采用拉格朗日插值 對(duì)其國(guó)界線首先嘗試采用拉格朗日插值法來(lái)求其近

22、似函數(shù)。首先仿照課本中提供的方法來(lái)定義一個(gè)拉格朗日插值函數(shù)： Function yi=itp1(x,y) vx=vander(x); ai=inv(vx)*y; t=7:158; yi=polyval(ai,t);將上述函數(shù)保存，然后進(jìn)行差值函數(shù)求取，首先進(jìn)行上半邊的差值函數(shù)求取，在MATLAB指令框中輸入以下代碼： x=7,10.5,13,17.5,34,40.5,44.5,48,56,61,68.5,76.5,80.5,91,96,101,104,106.5,111.5,118,123.5,136.5,142,146,150,157,158;y1=44,45,47,50,50,38,30,

23、30,34,36,34,41,45,46,43,37,33,28,32,65,55,54,52,50,66,66,68;y2=44,59,70,72,93,100,110,110,110,117,118,116,118,118,121,124,121,121,121,122,116,83,81,82,86,85,68;z1=itp1(x,y1);t=7:158;plot(x,y1)hold on然后進(jìn)行函數(shù)的運(yùn)行，結(jié)果如下：從圖中可以看出，拉格朗日插值法并不適用與該國(guó)界線的繪制。4、最小二乘法擬合 選用最小二乘法來(lái)擬合一個(gè)與原數(shù)據(jù)的誤差平方和最小的多項(xiàng)式函數(shù)。在MATLAB指令框中輸入以下代碼

24、：p3=polyfit(x,y1,3);p6=polyfit(x,y1,6);p9=polyfit(x,y1,9);t=linspace(7,158,200);plot(t,polyval(p3,t),r,t,polyval(p6,t),b,t,polyval(p9,t),g,x,y1,*)axis equal運(yùn)行該代碼，結(jié)果如下圖：由圖可知，該函數(shù)的9次擬合曲線具有較好的擬合效果。接下來(lái)，進(jìn)行上半段的最小二乘法擬合，代碼如下： p3=polyfit(x,y2,3); p6=polyfit(x,y2,6); p9=polyfit(x,y2,9); t=linspace(7,158,200);p

25、lot(t,polyval(p3,t),r,t,polyval(p6,t),b,t,polyval(p9,t),g,x,y1,*)axis equal運(yùn)行該代碼，得到的結(jié)果為： 從圖中可以看出，9次曲線的擬合程度已經(jīng)很好，因此我們選用9次曲線來(lái)作為上半段的擬合曲線。接下來(lái)求取該國(guó)家的國(guó)土面積，方法為求得上下段的擬合函數(shù)的積分之后再相減。 首先求得該擬合函數(shù)的多項(xiàng)式的系數(shù)向量，運(yùn)行代碼： p2=polyfit(x,y2,9); p1=polyfit(x,y1,9); 得到的系數(shù)向量為：P2=-0.000000000000009 0.000000000005899 -0.0000000016324

26、38 0.000000239617406 -0.000019994987126 0.000936881446305 -0.021997974863351 0.132556061685575 4.552375129793775 12.417195528516642 P1=-0.000000000000000 0.000000000000108 -0.000000000035521 0.000000006386024 -0.000000682644769 0.000044114832239 -0.001674317971263 0.034467176175997 -0.33050149179964

27、5 1.565041614456265*100 由系數(shù)向量，分別求擬合的上曲線和下曲線的積分并且相減求其閉合曲線的面積 z2=inline(-0.000000000000009.*x.9+0.000000000005899.*x.8-0.000000001632438.*x.7+0.000000239617406.*x.6-0.000019994987126.*x.5+0.000936881446305.*x.4-0.021997974863351.*x.3+0.132556061685575.*x.2+4.552375129793775.*x+12.417195528516642,x);a=

28、quadl(z2,7,158);z1=inline(100*(-0.00000000000000.*x.9+ 0.000000000000108*x.8-0.000000000035521.*x.7+0.000000006386024*x.6-0.000000682644769*x.5+ 0.000044114832239*x.4 -0.001674317971263.*x.3+ 0.034467176175997.*x.2 -0.330501491799645*x+1.565041614456265),x);b=quadl(z1,7,158);a-b 運(yùn)行結(jié)果為-1.357186694292

29、413e+07，經(jīng)過(guò)換算，其國(guó)土面積為六千多萬(wàn)平方公里，結(jié) 果有很大誤差，因此選用高次擬合不是特別成功。 下面進(jìn)行低次的最小二乘法擬合。以三次為例。 p1=polyfit(x,y1,3);p2=polyfit(x,y2,3); 求得p1= 0.000002369457146 0.002942933884077 -0.425411289357590 50.761925869108552 P2= 0.000013877187250 -0.014115761926997 2.100144611654555 37.905981429649714 計(jì)算面積的代碼如下：z1=inline(0.000002

30、369457146*x.3+0.002942933884077*x.2-0.425411289357590*x+50.761925869108552,x);z2=inline(0.000013877187250*x.3-0.014115761926997*x.2+2.100144611654555*x+37.905981429649714,x); a=quadl(z1,7,158); b=quadl(z2,7,158); a-b 運(yùn)行結(jié)果為：ans=-8.887443711258031e+03 經(jīng)過(guò)換算，求得的國(guó)土面積為43888.57平方公里。與實(shí)際相近，所以三次擬合合適。四問(wèn)題一的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

31、與分析 由題意與圖像可知，該歐洲國(guó)家應(yīng)該是瑞士，經(jīng)過(guò)上網(wǎng)查找，可知瑞士國(guó)家的實(shí)際國(guó)土面積為41284.14 平方公里，由直接求多邊形面積的方法求得的國(guó)土面積為42413.27平方公里，由三次多項(xiàng)式擬合求得的國(guó)土面積為43888.57平方公里。誤差分別為2.7%和6.3%。因此，選用直接求多邊形面積的方法求得的面積更加準(zhǔn)確。 實(shí)驗(yàn)二一實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解插值的基本概念和使用方法以及了解MATLAB做插值的基本方式。2、學(xué)會(huì)用插值方法來(lái)進(jìn)行函數(shù)的擬合二.問(wèn)題描述 已知飛機(jī)機(jī)翼斷面輪廓線如圖所示，下輪廓線上部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，根據(jù)加工需要，必須得到x坐標(biāo)每改變0.1時(shí)y坐標(biāo)的值，試選擇幾種適當(dāng)方法，完成所

32、需數(shù)據(jù)，并畫出相應(yīng)的曲線，然后分析所用方法的優(yōu)劣。 表1-2 飛機(jī)機(jī)翼斷面下輪廓線上部分?jǐn)?shù)據(jù)X035791112131415Y01.21.72.02.12.01.81.21.01.6三.第實(shí)驗(yàn)過(guò)程 1、首先選用分段線性差值法在MATLAB指令框中輸入代碼如下： x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15;y=0,1.2,1.7,2,2.1,2,1.8,1.2,1,1.6;xi=0:0.1:15;yi=interp1(x,y,xi,linear)plot(x,y,*,xi,yi)axis equal 運(yùn)行該代碼，得到的yi數(shù)據(jù)向量為： yi = 0 0.0400 0.0800 0.12

33、00 0.1600 0.2000 0.2400 0.2800 0.3200 0.3600 0.4000 0.4400 0.4800 0.5200 0.5600 0.6000 0.6400 0.6800 0.7200 0.7600 0.8000 0.8400 0.8800 0.9200 0.9600 1.0000 1.0400 1.0800 1.1200 1.1600 1.2000 1.2250 1.2500 1.2750 1.3000 1.3250 1.3500 1.3750 1.4000 1.4250 1.4500 1.4750 1.5000 1.5250 1.5500 1.5750 1.6

34、000 1.6250 1.6500 1.6750 1.7000 1.7150 1.7300 1.7450 1.7600 1.7750 1.7900 1.8050 1.8200 1.8350 1.8500 1.8650 1.8800 1.8950 1.9100 1.9250 1.9400 1.9550 1.9700 1.9850 2.0000 2.0050 2.0100 2.0150 2.0200 2.0250 2.0300 2.0350 2.0400 2.0450 2.0500 2.0550 2.0600 2.0650 2.0700 2.0750 2.0800 2.0850 2.0900 2.

35、0950 2.1000 2.0950 2.0900 2.0850 2.0800 2.0750 2.0700 2.0650 2.0600 2.0550 2.0500 2.0450 2.0400 2.0350 2.0300 2.0250 2.0200 2.0150 2.0100 2.0050 2.0000 1.9800 1.9600 1.9400 1.9200 1.9000 1.8800 1.8600 1.8400 1.8200 1.8000 1.7400 1.6800 1.6200 1.5600 1.5000 1.4400 1.3800 1.3200 1.2600 1.2000 1.1800 1

36、.1600 1.1400 1.1200 1.1000 1.0800 1.0600 1.0400 1.0200 1.0000 1.0600 1.1200 得到圖形結(jié)果為：2、拉格朗日插值 仿照課本上的代碼，該插值函數(shù)的代碼如下： function yi=itp1(x,y,xi) vx=vander(x); ai=inv(vx)*y; yi=polyval(ai,xi); 保存并輸入如下代碼： x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15; y=0,1.2,1.7,2,2.1,2,1.8,1.2,1,1.6; xi=0:0.1:15; yi=itp1(x,y,xi) plot(x,y,*,

37、xi,yi) axis equal 圖像結(jié)果為：3.最小二乘法插值擬合 首先，選用三次插值擬合，其實(shí)現(xiàn)的代碼如下： x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15; y=0,1.2,1.7,2,2.1,2,1.8,1.2,1,1.6; xi=0:0.1:15; p=polyfit(x,y,3); yi=polyval(p,xi)； plot(x,y,*,xi,yi) axis equal運(yùn)行，得圖像如下： 然后選用6次多項(xiàng)式擬合，實(shí)現(xiàn)的代碼為： x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15; y=0,1.2,1.7,2,2.1,2,1.8,1.2,1,1.6; xi=0:0.1:

38、15; p=polyfit(x,y,6); yi=polyval(p,xi) plot(x,y,*,xi,yi)axis equal運(yùn)行的結(jié)果為 運(yùn)行的結(jié)果為：然后進(jìn)行9次多項(xiàng)式擬合，實(shí)現(xiàn)的代碼為： x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15; y=0,1.2,1.7,2,2.1,2,1.8,1.2,1,1.6; xi=0:0.1:15; p=polyfit(x,y,9); yi=polyval(p,xi) plot(x,y,*,xi,yi) axis equal 運(yùn)行的結(jié)果為：4、三次樣條插值法輸入如下代碼：x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15;y=0,1.2,1.

39、7,2,2.1,2,1.8,1.2,1,1.6;xi=0:0.1:15;yi=interp1(x,y,xi,spline)plot(x,y,*,xi,yi)axis equal運(yùn)行該代碼，得到的命令窗口結(jié)果為向量輸出結(jié)果為：yi = 0 0.0499 0.0990 0.1474 0.1951 0.2421 0.2884 0.3340 0.3788 0.4230 0.4665 0.5094 0.5515 0.5930 0.6338 0.6739 0.7134 0.7523 0.7904 0.8280 0.8649 0.9012 0.9368 0.9719 1.0063 1.0401 1.0732

40、 1.1058 1.1378 1.1692 1.2000 1.2302 1.2599 1.2889 1.3174 1.3454 1.3727 1.3995 1.4258 1.4515 1.4767 1.5014 1.5255 1.5491 1.5722 1.5947 1.6168 1.6383 1.6594 1.6799 1.7000 1.7196 1.7387 1.7573 1.7754 1.7930 1.8102 1.8269 1.8430 1.8588 1.8740 1.8887 1.9030 1.9168 1.9301 1.9430 1.9553 1.9672 1.9786 1.989

41、5 2.0000 2.0100 2.0195 2.0285 2.0370 2.0450 2.0525 2.0595 2.0660 2.0719 2.0773 2.0822 2.0865 2.0902 2.0933 2.0959 2.0979 2.0994 2.1002 2.1004 2.1000 2.0990 2.0974 2.0952 2.0925 2.0893 2.0857 2.0815 2.0770 2.0721 2.0668 2.0611 2.0552 2.0490 2.0425 2.0358 2.0289 2.0219 2.0147 2.0074 2.0000 1.9924 1.98

42、41 1.9742 1.9621 1.9469 1.9280 1.9046 1.8759 1.8413 1.8000 1.7516 1.6970 1.6377 1.5749 1.5099 1.4442 1.3790 1.3157 1.2556 1.2000 1.1501 1.1063 1.0687 1.0377 1.0134 0.9960 0.9857 0.9828 0.9875 1.0000 1.0205 1.0492 1.0863 1.1320 1.1866 1.2503 1.3233 1.4057 1.4979 1.6000得到圖像為： 四、總結(jié)分析和心得體會(huì) 在本題中，分別選用的是分段

43、線性插值法，拉格朗日插值法，最小二乘法擬合函數(shù)插值和三次樣條插。對(duì)比結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，采用三次樣條插值法不僅可以滿足插值后的函數(shù)的插值點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的完美吻合，而且也保證了插值后的函數(shù)的光滑性，因此，三次樣條插值是一個(gè)不錯(cuò)的方法。 通過(guò)這次的插值方法的課程學(xué)習(xí)，我了解到了什么是插值，怎樣進(jìn)行差值和幾種常見(jiàn)的插值方法：拉格朗日插值，分段線性插值，三次樣條插值，最小二乘法擬合插值。體會(huì)到了Matlab在圖形處理方面的強(qiáng)大應(yīng)用能力。 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)院： 班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 完成日期： 實(shí)驗(yàn)二 分形（一）練習(xí)題1一實(shí)驗(yàn)?zāi)康?了解分形幾何的基本情況；2了解通過(guò)迭代方式，產(chǎn)生分形圖的方法；3了解matlab軟

44、件中簡(jiǎn)單的程序結(jié)構(gòu)。二. 問(wèn)題描述對(duì)一個(gè)等邊三角形，每條邊按照Koch曲線的方式進(jìn)行迭代，產(chǎn)生的分形圖稱為Koch雪花。編制程序繪制出它的圖形，并計(jì)算Koch雪花的面積，以及它的分形維數(shù)。三實(shí)驗(yàn)過(guò)程仿照Koch曲線代碼對(duì)三角形的每條邊進(jìn)行Koch曲線化，建立函數(shù)“snow”的輸入?yún)?shù)有三角形的邊長(zhǎng)R和迭代次數(shù)k,輸出Koch雪花圖形以及雪花所圍面積S. 源代碼如下：function snow(R,k)p=0;R/2+1i*R*sin(pi/3);R;0;S=0;n=3;A=exp(1i*pi/3);for s=1:kj=0;for i=1:nq1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q

45、2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;endn=4*n;clear pp=r;q2;endfigureq(:,1)=real(p(:,1);q(:,2)=imag(p(:,1);plot(q(:,1),q(:,2)fill(q(:,1),q(:,2),b)for i=0:k S=S+(3.(0.5-i)*0.25*(R.2);endSaxis equal按照以上程序，輸入?yún)?shù)，有以下結(jié)果： snow(1,1) S =0.5774 圖形如下:snow(1,2) S =

46、0.6255 圖形如下:snow(1,3) S =0.6415 圖形如下:snow(1,4) S =0.6468 圖形如下:snow(1,5) S =0.6486 圖形如下:四總結(jié)分析和心得體會(huì)根據(jù)觀察迭代的面積規(guī)律，即可推得面積遞推公式：an=Sn-Sn-1=13*49n-1*S1,(n2),其中S1=0.866即：面積公式Sn=2nan+S1，也就等于1.3856-0.5196*(49)n-1分形維數(shù)，根據(jù)迭代的規(guī)律得到：相似形個(gè)數(shù)：m=4 邊長(zhǎng)放大倍數(shù)c=3， 維數(shù)d=ln m/ln c=ln 6/ln 3=1.631 （二）練習(xí)題2一實(shí)驗(yàn)?zāi)康?了解分形幾何的基本情況；2了解通過(guò)迭代方式

47、，產(chǎn)生分形圖的方法；3了解matlab軟件中簡(jiǎn)單的程序結(jié)構(gòu)。二. 問(wèn)題描述對(duì)一條豎線段，在其三分之一分點(diǎn)處，向左上方向畫一條線段，在其三分之二點(diǎn)處，向右上方向畫一條線段，線段長(zhǎng)度都是原來(lái)的三分之一，夾角都為30度，迭代一次后變成圖3-22.繼續(xù)迭代得到分形圖，可模擬樹木花草，編制程序繪制出它的圖形。三實(shí)驗(yàn)過(guò)程代碼如下：function tree(z1,z2,N,n) if nN return end if n=1 d=(z2-z1)/3; q1=z1+d+d*exp(1i*pi/6); q2=z1+2*d+d*exp(-1i*pi/6); plot(z1+d,q1) hold on axis

48、equal plot(z1+2*d,q2) plot(z1,z2) tree(z1,z2,N,n+1) else d=(z2-z1)/3; q1=z1+d+d*exp(1i*pi/6); q2=z1+2*d+d*exp(-1i*pi/6); plot(z1+d,q1) plot(z1+2*d,q2) tree(z1+d,q1,N,n+1); tree(z1+d,z1+2*d,N,n+1); tree(z1+2*d,q2,N,n+1); tree(z1+2*d,z2,N,n+1); end 其中N為迭代次數(shù)，n的初始值為1，輸入以下代碼：tree (0,10i,2,1) 圖形如下：tree (0

49、,10i,3,1) 圖形如下：tree (0,10i,4,1) 圖形如下： tree (0,10i,5,1) 圖形如下：tree (0,10i,6,1) 圖形如下：四總結(jié)分析和心得體會(huì)通過(guò)本次的實(shí)驗(yàn)，我更了解了幾合分形圖以及用matlab軟件產(chǎn)生幾合分形圖的方法、程序結(jié)構(gòu)?？偟膩?lái)說(shuō)，通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)，學(xué)習(xí)到了matlab軟件的一種新的用法，對(duì)自己的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰τ痔嵘瞬簧佟ｓw驗(yàn)了通過(guò)圖形迭代方式產(chǎn)生分形圖的過(guò)程，迭代的規(guī)則非常簡(jiǎn)單，產(chǎn)生的結(jié)果卻異常奇妙，并且這些圖形很好地反映出了分形所具有的自相似的層次結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)院： 班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 完成日期： 實(shí)驗(yàn)二 分形（一）練習(xí)題1一實(shí)驗(yàn)?zāi)康?了解分形幾何的基本情況；2了解通過(guò)迭代方式，產(chǎn)生分形圖的方法；3了解ma