平面法向量的求法及其應(yīng)用

1、（43）平面法向量的求法及其應(yīng)用嵩明縣一中吳學(xué)偉引言：本節(jié)課介紹平面法向量的三種求法，并對(duì)平面法向量在高中立體幾何中的應(yīng)用作歸納和總結(jié)。其中重點(diǎn)介紹外積法求平面法向量的方法，因?yàn)榇朔椒ū葍?nèi)積法更具有優(yōu)越性，特別是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，將對(duì)高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問題的解答變得快速而準(zhǔn)確，那么每年高考中那道12分的立體幾何題將會(huì)變得更加輕松。一、平面的法向量1、定義：如果a,那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。2、平面法向量的求法r方法一（內(nèi)積法）：在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量n（x,y,1）或vr

2、rrrn（x,1,z）,或n（1,y,z）,在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量a,b。由n，得rrrrrna0且nb0,由此得到關(guān)于x,y的方程組，解此方程組即可得到n。方法二：任何一個(gè)x,y,z的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個(gè)平面的方程是x,y,z的一次方程。AxByCzD0（A,B,C不同時(shí)為0）,稱為平面的一般方程。其法向量n（A,B,C）；若平面與3個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如圖所示，xyz則平面萬程為：一工一1,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的abc法向量。方法三（外積法）：設(shè)胃方為空間中兩個(gè)不平行的非零向量，其

3、外積ab為一長度等于|a|b|sin,（8為不，兩者交角，且0），而與厘了皆垂直的向量。通常我們采取右手定則，也就是右手四指由d的方向轉(zhuǎn)為百的方例1、,大拇指所指的方向規(guī)定為(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),則:a1、二階行列式：M已知，a (2,1,0),badcb；1,2,1),a b ba。方向，的試求（1） ： a b;（2）： b a.Key: (1) ab (1, 2,5);(2)b a (1,2,5)例2、如圖1-1，在棱長為2的正方體 ABCD AB1clD1中,r求平面AEF的一個(gè)法向量 n。key:法向量n平面法向量的應(yīng)用1、求空間角（1）、求線面角：如圖2-1

4、,設(shè)n是平面 的法向量，AB是平面的一條斜線，A所成的角為:,則AB與平面圖 2-1-1:n,ABn AB 一arccos2|n| |AB| cosn,AB |圖 2-1-2:n, AB 2n AB arccos|n| |AB|2J（2）、求面面角的平面角為:設(shè)向量m, n分別是平面的法向量，則二面角圖2-3m, nm n arccos|m| |n|(圖 2-2);m, narccos m n(圖 2-3)|m| |n|兩個(gè)平面的法向量方向選取合適，可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定,在圖2-2中，m的方向?qū)ζ矫娑韵蛲?，n的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖2-3中，m的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，n的

5、方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個(gè)向量的向量積（簡稱“外積”，滿足“右手定則”)使得兩個(gè)半平面的法向量一個(gè)向內(nèi)一個(gè)向外，則這兩個(gè)半平面的法向量的夾角即為二面角l的平面角。2、求空間距離(1)、異面直線之間距離：方法指導(dǎo)：如圖2-4,作直線a、b的方向向量a、b,a2-4b間的距離為AnBMA2-5n平面的法向量為p到為平面nA2-6ndaBA之間的距離2-7maar的法向量。求向量AB在n上的射影d方法指導(dǎo)：如圖2-7，兩平行平面3、證明r一n是平面的法向重AOna,nuuurABn-i-|n|Ba則異面直線a|n|(2)、點(diǎn)到平面的距離：方法指導(dǎo)：如圖2-5，若點(diǎn)B為平面”外一點(diǎn)A,Bb,A

6、a,Bb的距離公式為d1AB?n1d|AB?n|,|AB?n|dJ!，其中A,B|n|B,作向量AB；|n|(3)、直線與平面間的距離：方法指導(dǎo)：如圖2-6，直線a與平面(1)、證明線面垂直：在圖2-8求a、b的法向量n,即此異面直線a、b的公垂線的方向向量;中，m向是平面的法向量,直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線(2)、證明線面平行：在圖2-9中，m向是平面的法向量,2-8的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直(m?a0)。(3)、證明面面垂直：在圖2-10中，m是平面的法向量,平面的法向量垂直(m?n0)(4)、證明面面平行：在圖2-11中，m向是平面的法向量,

7、面的法向量，證明兩平面的法向量共線(mn)。n是平n是平面的法向量，證明兩MB圖 3-1 C三、高考真題新解1、(2005全國I,18)(本大題滿分12分)AB / DC已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,1DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=12M是PB的中點(diǎn).(I)證明：面PADXWPCD;(n)求AC與PB所成的角；(出)求面AMC與面BMC所成二面角的大小.解:以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別以如圖所示.AD,AB,AP為x軸,y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz(I).AP(0,0,1)AD(1,0,0),設(shè)平面PAD的法向量為mAPAD(0,1,0)又D

8、C(0,1,0),DP(1,0,1),設(shè)平面PCD的法向量為nDCDP(1,0,1)n,即平面pad平面PCD。(II).AC(1,1,0)PB(0,2,1)AC,PBAC?PBarccos|AC|PB|10arccos5(III).CM,“1、一(1,0,2),CA(1,1,0),設(shè)平在AMC的法向量為mCM-11CA(1,2，1).又CB1(1,1,0),設(shè)平面PCD的法向量為nCMCB(-,2m,n_m?n_,2、arccosarccos().|m|n|3面AMC，一2一與面BMC所成二面角的大小為arccos(3).或arccos23-22、(2006年云南省第一次統(tǒng)測(cè)19題)(本題滿

9、分12分)如圖3-2,在長方體ABCD-ABGD中，已知AB=AA=a,BC=.2a,M是AD的中點(diǎn)。(I)求證：AD/平面ABQ(n)求證：平面AMCL平面ABD;(出)求點(diǎn)A到平面AMC勺距離。D-xyz如圖所示.解：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(I) .BC(J2a,0,0),BA1(0,a,a)，設(shè)平面AiBC的法向量為nBCBAi(0,2a2,2a2)又AD(.2a,0,0),n?AD0,ADn,即ad平面AiBC.c22(II) .MC(a,0,a),MAi(a,a,0)，設(shè)平面AMC的法向量為22又 BD1( , 2a, a, a)mMCMAiBAi(0,a,a)，設(shè)平面ABD的法向量為nBD1BA1(0,.2a2,.2a2),m?n0,mn,即平面AiMC平面A1BD1.(III).設(shè)點(diǎn)A到平面AiMC的距離為d,-2o2，mMCMAi(a,-a,-a)是平面AiMC的法向量,22又MA(a,0,0),a點(diǎn)到平面AiMC的距離為：d|m?MA|1a.2|m|2四、五、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”(1)、建立空間直角坐標(biāo)系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已