重力勢能和機械能守恒定律的典型例題

1、 “重力勢能和機械能守恒定律”的典型例題 【例1】如圖所示，桌面距地面0.8m，一物體質(zhì)量為2kg，放在距桌面0.4m的支架上（1）以地面為零勢能位置，計算物體具有的勢能，并計算物體由支架下落到桌面過程中，勢能減少多少？（2）以桌面為零勢能位置時，計算物體具有的勢能，并計算物體由支架下落到桌面過程中勢能減少多少？【分析】根據(jù)物體相對零勢能位置的高度，直接應用公式計算即得【解】（1）以地面為零勢能位置，物體的高度h1=1.2m，因而物體的重力勢能：Ep1=mgh1=2×98×12J=2352J物體落至桌面時重力勢能：Ep2=mgh2=2×98&#

2、215;08J=1568J物體重力勢能的減少量：Ep=Ep1-Ep2=2352J-1568J=784J而物體的重力勢能：物體落至桌面時，重力勢能的減少量【說明】通過上面的計算，可以看出，物體的重力勢能的大小是相對的，其數(shù)值與零勢能位置的選擇有而重力勢能的變化是絕對的，它與零勢能位置的選擇無關(guān)，其變化值是與重力對物體做功的多少有關(guān)當物體從支架落到桌面時重力做功：【例2】質(zhì)量為2kg的物體自高為100m處以5ms的速度豎直落下，不計空氣阻力，下落2s，物體動能增加多少？重力勢能減少多少？以地面為重力勢能零位置，此時物體的機械能為多少？（g取10ms2）【分析】物體下落時，只受重力作用，其加速度a=

3、g，由運動學公式算出2s末的速度和2s內(nèi)下落高度，即可由定義式算出動能和勢能【解】物體下落至2s末時的速度為：2s內(nèi)物體增加的動能：2s內(nèi)下落的高度為：重力勢能的減少量：此時物體離地面的高度為：h=Hh=（10030）m=70m以地面為零勢能位置時，物體的機械能為：【說明】拋出后，由于物體只受重力作用，整個運動過程中只有重力做功，物體的機械能守恒剛拋出時，物體的機械能為：在下落過程中，重力勢能的減少量恰等于動能的增加量，即Ek=Ep【例3】質(zhì)量為1.0kg的物體，自空中落下，以8.0ms2的加速度經(jīng)A點到達B點，A、B相距0.75m若物體在B點時的動能為8.0J，那么通過AB的過程中物體動能的

4、增加量為多少？物體克服阻力做多少功？（取g=10ms2）【分析】由于下落的加速度ag，在下落時一定受到阻力，根據(jù)牛頓第二定律，可算出阻力，于是即可得克服阻力的功已知物體在B點的動能，可算出在B點的速度，結(jié)合運動學公式算出A點的速度后，即可算出動能的增量【解】設下落中物體受到的阻力為f，由mgf=ma得 f=mg-ma=1.0(10-8)N=2N物體克服阻力做功：物體從A落到B的過程中，動能的增加量為：Ep=EkBEkA=8.0J2.0J=6.0J【說明】物體從A落到B的過程中，勢能減少：Ep=mgs=1×10×0.75J=7.5J它大于物體動能的增加，可見其機械能不守恒這是

5、由于存在阻力的緣故勢能的減少與動能增加量之差恰等于物體克服阻力做的功，即EpEk=Wf這也就是從A到B的過程中所減少的機械能【例4】如圖所示，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑rR，有一質(zhì)量m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圓管，（1）若要小球能從C端出來，初速v0多大？（2）在小球從C端出來的瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況，初速v0各應滿足什么條件？【分析】小球在管內(nèi)運動過程中，只有重力做功，機械能守恒，要求小球能從C端射出，小球運動到C點的速度vc0根據(jù)機械能守恒定律即可算出初速v0小球從C端射出時可能有三種典型情況：剛好對管壁無壓

6、力；對下管壁有壓力；對上管壁有壓力同理由機械能守恒可確定需滿足的條件【解】（1）小球從A端射入后，如果剛好能到達管頂，則vc=0，由機械能守恒因此，要求小球能從C端出來，必須使vc0，所以入射速度應滿足條件（2）小球從C端出來的瞬間，可以有三種典型情況：剛好對管壁無壓力，此時需滿足條件聯(lián)立得入射速度對下管壁有壓力，此時相應的入射速度為對上管壁有壓力，相應的入射速度為【例5】如圖所示，勁度系數(shù)k1的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為m1、m2的物塊1、2栓接，勁度系數(shù)為k2的輕質(zhì)彈簧上端與物塊2栓接，下端壓在桌面（不栓接），整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)現(xiàn)施力將物塊1緩慢豎直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面在

7、此過程中，物塊2的重力勢能增加了_，物塊1的重力勢能增加了_【分析】設原來兩彈簧壓縮量分別為x1和x2，由物體的力平衡知當施力將物塊1緩慢上提至下面彈簧剛脫離桌面時，表示下面的彈簧已恢復原長，物塊2升高的高度h2=x2，所以在此過程中，物塊2的重力勢能增加此時，上面的彈簧受到拉伸，設其伸長量為x'1，由物塊2的力平衡條件知，則物塊1在這過程中升高的高度為所以，物塊1的重力勢能增加【例6】關(guān)于機械能是否守恒的敘述，正確的是 A作勻速直線運動的物體的機械能一定守恒B作勻變速運動的物體機械能可能守恒C外力對物體做功為零時，機械能一定守恒D只有重力對物體做功，物體機械能一定守恒【分析】機械能守

8、恒的條件是除重力對物體做功外，沒有其它外力對物體做功，或其它外力對物體做功的代數(shù)和等于零當物體作勻速直線運動時，除重力對物體做功外，可能還有其他外力做功如降落傘在空中勻速下降時，既有重力做功，又有阻力做功，機械能不守恒物體作勻變速運動時，可能只有重力對物體做功，如自由落體運動，此時物體的機械能守恒因物體所受的外力，指的是包括重力在內(nèi)的所有外力，當外力對物體做功為零時，可能是處于有介質(zhì)阻力的狀態(tài)，如勻速下降的降落傘，所以機械能不一定守恒【答】B，D【例7】某人以v0=4ms的初速度，拋出一個質(zhì)量為m的小球，測得小球落地時的速度大小為8ms，則小球剛拋出時離開地面的高度為多少？取g=10ms2空氣

9、阻力不計【分析】小球從拋出到落地過程中，不受阻力，只有重力做功，由小球的機械能守恒即可算出離地高度【解答】設小球拋出時的高度為h，落地速度為vt，取拋出和落地為始、末兩狀態(tài)，以地面為零勢能位置，由機械能守恒定律得：出結(jié)果，盡管答案相同，但是不正確的這里的小球不一定作直線運動，必須根據(jù)機械能守恒求解【例8】如圖所示，以速度v0=12ms沿光滑地面滑行的小球，上升到頂部水平的跳板上后由跳板飛出，當跳板高度h多大時，小球飛行的距離s最大？這個距離是多少？（g=10ms2）【分析】小球上滑到跳板頂端的過程中，只有重力做功，機械能守恒從跳板頂飛出，小球作平拋運動【解】設小球從跳板頂飛出的速度為v，由機械

10、能守恒（取底部為勢能的參考平面）得小球從頂端飛出后作平拋運動，其水平位移為為了找出使水平位移s最大的條件，對上式作變換得可見，當滿足條件小球飛出后的水平距離最大，其值為【例9】圖中圓弧軌道AB是在豎直平面內(nèi)的1/4圓周，在B點，軌道的切線是水平的一質(zhì)點自A點從靜止開始下滑，不計滑塊與軌道間的摩擦和空氣阻力，則在質(zhì)點剛要到達B點時的加速度大小和剛滑過B點時的加速度大小分別為 ( )A0，g Bg，g C2g，g D2g，2g【分析】質(zhì)點從A到B的下滑過程中，只有重力做功，機械能守恒取過B點的水平面為零勢能面，設軌道半徑為R，則有質(zhì)點從A到B是作變速圓周運動，當它剛到達B點瞬間的加速度為聯(lián)立（1）

11、，（2）兩式得質(zhì)點剛滑過B點，僅受重力作用，其加速度大小為【答】C【說明】必須注意，物體的加速度跟所受外力是一個瞬時關(guān)系，一旦外力變化，加速度隨即變化圖中質(zhì)點剛到達B點時，受到軌道向上的彈力和豎直向下的重力作用，產(chǎn)生的加速度指向過B點豎直向上的方向，即指向圓心剛滑過B點，軌道支持力為零，僅受重力作用，產(chǎn)生的加速度豎直向下物體的速度則由于慣性，力圖保持不變，圖中質(zhì)點在剛到達B!iedtxx(stylebkzd', 1107P04.htm')【例10】如圖1所示，ABC和AD是兩上高度相等的光滑斜面，ABC由傾角不同的兩部分組成，且AB+BC=AD，兩個相同的小球a、b從A點分別沿

12、兩側(cè)斜面由靜止滑下，不計轉(zhuǎn)折處的能量損失，則滑到底部的先后次序是 Aa球先到 Bb球先到C兩球同時到達 D無法判斷【分析】小球沿兩斜面下滑過程中，都只有小球的重力做功，機械能守恒，因此，a、b兩球滑到底端的速度大小一定相等，即vC=vD在AD斜面上取AB=AB（圖2），由于AB部分比AB部分陡些，小球滑到B點的速度必大于滑到B點的速度，即vBvB因此，兩球在AB與AB段、BC與BD段上的平均速度的大小必然是由于對應的斜面長度AB=AB，BC=BD所以通過它們的時間長短必然是tABtAB，tBCtBD也就是說，沿ABC斜面的小球先滑到底部【答】A【說明】本題還可以畫出v-t圖作出更簡捷的判斷如圖

13、3所示，為沿ABC和AD下滑小球a、b的v-t圖由于AB+BC=AD，則圖線下方與t軸間的面積應相等，也就是圖中劃有斜線的兩部分面積相等，顯然，兩球運動時間必然是tatb圖3【例11】如圖1，一個質(zhì)量為m的小球拴在全長L的細線上做成一個單擺，把小球從平衡位置O拉至A，使細線與豎直方向成角，然后輕輕釋放若在懸點O的正下方有一顆釘子P，試討論，釘子在何處時，（1）可使小球繞釘來回擺動；（2）可使小球繞釘做圓周運動【分析】小球擺動過程中，只有小球的重力做功當不考慮細線碰釘時的能量損失時，無論小球繞釘來回擺動，或繞釘做圓周運動，小球的機械能都守恒【解】（1）小球繞釘來回擺動時，只能擺到跟開始位置A等高

14、的地方，因此，釘子P的位置范圍只能在過A點的水平線與豎直線OO的交點上方（圖2），即釘子離懸點O的距離h應滿足條件0hLcos（2）設釘子在位置P時剛好使小球能繞釘做圓周運動，圓半徑R=PO，設小球在最高點C的速度為vc，并規(guī)定最低處O為重力勢能的零位置（圖3），由A、C兩位置時的機械能守恒EA=EC，即又因為剛好能越過C點做圓運動，此時繩中的張力為零，由重力提供向心力，即所以釘子P離懸點O的距離如果釘子位置從P處繼續(xù)下移，則小球?qū)⒁愿蟮乃俣仍竭^圓周的最高點，此時可由繩子的張力補充在最高點時所需的向心力，仍能繞釘子做圓周運動所以，能繞釘做圓運動時釘子離懸點的距離h應滿足條件【說明】由本題的解

15、答可知，位置P是小球能繞釘來回擺動的最紙位置；位置P是小球能繞釘做圓周運動的最高位置如釘子在PP之間，則懸線碰釘后，先繞釘做圓運動，然后將在某一位置上轉(zhuǎn)化為斜拋運動【例12】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細管的半徑大得多）在圓管中有兩個直徑比細管內(nèi)徑略小的小球（可視為質(zhì)點）A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為v0設A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1，m2，R與v0應滿足的關(guān)系式是_【分析】A球運動到最低點時，由外壁對它產(chǎn)生的彈力NA和A球重力m1g的合力作為向心力，即A球?qū)?/p>

16、外壁產(chǎn)生的壓力NA大小等于NA，方向沿半徑背離圓心（圖1）要求對圓管的合力為零，B球在最高點時也必須對外壁（不可能是內(nèi)壁）產(chǎn)生一個等量的壓力NB因此，B球在最高點有向外壁擠壓的作用，由外壁對它產(chǎn)生的彈力NB和球重m2g的合力作為向心力（圖2）設B球在最高點的速度為vB，據(jù)向心力公式和機械能守恒有根據(jù)題意 NA=NB，即要求【例13】如圖所示，半徑為r，質(zhì)量不計的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一個垂直盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最右邊緣固定有一個質(zhì)量為m的小球A，在O點的正下方離O點r2處固定一個質(zhì)量也為m的小球B放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動，問：（1）當A球轉(zhuǎn)到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少

17、？（2）A球轉(zhuǎn)到最低點時的線速度是多少？（3）在轉(zhuǎn)動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？【分析】兩小球勢能之和的減少，可選取任意參考平面（零勢能位置）進行計算由于圓盤轉(zhuǎn)動過程中，只有兩個小球重力做功，根據(jù)機械能守恒即可列式算出A球的線速度和半徑OA最大偏角【解】（1）以通過O的水平面為零勢能位置，開始時和A球轉(zhuǎn)到最低點時兩球重力勢能之和分別為 兩球重力勢能之和減少（2）由于圓盤轉(zhuǎn)動過程中，只有兩球重力做功、機械能守恒，因此，兩球重力勢能之和的減少一定等于兩球動能的增加設A球轉(zhuǎn)到最低點時，A、B兩球的速度分別為vA、vB，則因A、B兩球固定在同一個圓盤上，轉(zhuǎn)動過程中的角速度（設為）相

18、同由得 vA=2vB代入公式，得（3）設半徑OA向左偏離豎直線的最大角度為如圖，該位置的機械能和開始時機械能分別為由機械能守恒定律E1=E3，即即 2cos=1+sin兩邊平方得4（1sin2）=1+sin2+2sin，5sin2+2sin3=0，【例14】一個質(zhì)量為m的木塊，從半徑為R、質(zhì)量為M的1/4光滑圓槽頂端由靜止滑下，在槽被固定和可沿著光滑平面自由滑動兩情況下，如圖，木塊從槽口滑出時的速度大小之比為 【分析】槽固定時，木塊下滑過程中只能有重力做功，木塊的機械能守恒，木塊在最高處的勢能全部轉(zhuǎn)化為滑出槽口時的動能由得木塊滑出槽口的速度槽可動時，當木塊開始下滑到脫離槽口的過程中，對木塊和槽

19、所組成的系統(tǒng)，水平方向不受外力，水平方向的動量守恒設木塊滑出槽口時的速度為v2，槽的速度為u，則mv2+Mu=0又木塊下滑時只有重力做功，機械能守恒，木塊在最高處的勢能轉(zhuǎn)化為木塊滑出槽口時的動能和圓槽的動能，即聯(lián)立兩式得木塊滑出槽口的速度因此，兩情況下滑出槽口的速度之比【答】D【例15】如圖，長為L的光滑平臺固定在地面上，平臺中央有兩小物體A和B，彼此接觸靠在一起，A的上表面有一半徑為R（RL）、頂端距臺面高h的圓槽，槽頂有一小物體C，A、B、C三者質(zhì)量均為m，現(xiàn)使物體C由靜止沿圓槽下滑，且運動過程中它始終與圓槽接觸，求1A和B剛分離時，B的速度；2A和B分離后，C能達到距平臺的最大高度【分析

20、】物體C下滑時，C對A作用力的水平分力向右，推動A、B一起向右加速運動當C滑至圓槽底部時，C對A作用力的水平分力為零，A、B兩者向右的加速過程結(jié)束，速度達到最大以后，C將沿圓槽上滑，C對A作用力的水平分力向左，A將開始做減速運動，而B則沿平臺勻速向右因此，C滑至圓槽底部的時刻就是A、B即將分離的時刻把A、B、C三個物體組成的系統(tǒng)作為研究對象，C下滑過程中，系統(tǒng)在水平方向不受外力，動量守恒同時，整個系統(tǒng)無重力和彈力以外的力作功，機械能守恒聯(lián)合應用這兩條守恒定律，即可得解【解】規(guī)定以水平向右為正方向，由C剛開始滑下和C滑至圓槽底部兩時刻的動量守恒，0=mvA+mvBmvC （1）又由于整個系統(tǒng)無重

21、力和彈力以外的力作功，機械能守恒，當取槽底為零勢能位置時，且 vA=vB由（1）、（3）兩式，得vC=2vB，代入（2）式，即得2C沿圓槽上滑，至某一最高點時，A、C兩者無相對運動，設此時共同速度為v，其方向為水平向左，仍以A+B+C為研究對象，由C剛開始滑下至C、A兩者相對靜止兩時刻動量守恒（此時B以速度vB沿平臺勻速右滑），則0=mvB2mv （4）又由整個系統(tǒng)的機械能守恒，當取平臺為零勢能位置時，則【說明】確定A、B兩物體何時分離，是解答前半題的關(guān)鍵，此外在應用動量守恒定律時，可始終以A+B+C為研究對象，其初動量恒為零，列式較為簡單【例16】在光滑的水平面上有運動的物體A，其質(zhì)量為mA

22、，動能為Eka,另有靜止的物體B，其質(zhì)量為mB在物體B的一個側(cè)面固定一個勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧如圖所示若物體A沖向彈簧并推動物體B，且相互作用過程中沒有能損耗，問（1）mA、mB之間的關(guān)系滿足什么條件，物體A傳給B的動能最大？最大值是多少？（2）如果相互作用后，物體A、B的速率相等，那么mAmB=?（3）如果相互作用后，物體A、B的動能相等，那么mAmB=？（4）相互作用過程中，彈簧的最大壓縮量為多少？【分析】取物體A和B（包括彈簧）組成的系統(tǒng)為研究對象，物體A、B相互作用的過程中，所受到的合外力為零，因此，系統(tǒng)的動量守恒，且題目給定相互作用過程中沒有能量損耗，這就意味著系統(tǒng)的機械能守恒在運用

23、動量守恒和機械能守恒建立方程時，要注意選擇合適的兩個時刻（1）（3）問涉及相互作用結(jié)束時物體的動能、速率，要選擇相互作用始、末兩狀態(tài)建立方程而（4）問中要求解彈簧的最大壓縮量，當然此時刻并非是彈簧作用的結(jié)束，但可以選此時刻和初始時刻，來建立方程求解相關(guān)問題【解】設物體A、B相互作用前，A的速度是v0，作用后A、B的速度分別為vA和vB據(jù)動量守恒定律有據(jù)機械能守恒定律有聯(lián)立（1）、（2）兩式解得（1）物體A傳給B的動能，即相互作用后B的動能為由此可知，當mA=mB時，EKB取最大值，且最大值為EKA，若vA=vB時，有解得，mA=mB，物體的質(zhì)量不可能有負值，此解無意義若vA=vB時，有解得 m

24、B=3mA，即mAmB=13vA和vB后整理得兩解都合題意（4）當彈簧壓縮量最大時，物體A、B間沒有相對運動，即A和B的速度相等，若其速度為v據(jù)動量守恒和機械能守恒有聯(lián)立（3）、（4）兩式解得【說明】（1）數(shù)學是解決物理問題的工具，通常物理問題中求最大值的一類習題，實質(zhì)上就是數(shù)學上求函數(shù)極值的問題為此，第（1）問中，首先要寫出動能EKB的函數(shù)表達式，繼而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定其極值（2）用數(shù)學方法求出的解具有更普遍的意義，這些解是否符合題意，且明確的物理意義，還必須加以分析，本題（2）問中，有一個解出現(xiàn)了“負質(zhì)量”，這在物理中是不存在的，必須舍去但在（3）問中，通過解方程也得到兩個解，而這兩個解則

25、都合題意，則應保留（3）在解第（4）問時，建立動量守恒和機械能守恒的方程時，選擇了相互作用的初始時刻和相互作用過程中間的一個時刻，而不是相互作用末時刻這正是運用了動量守恒和機械能守恒是對全過程而言的性質(zhì)!iedtxx(stylebkzd', 1107P09.htm')例17小球A、B分別固定在長度均為L的輕線、輕桿的下端，桿的上端分別固定于O點，且均能繞O點無摩擦地轉(zhuǎn)動。要求小球能繞過最高點，求小球在最低點的最小速度v1、v2各為多大？分析線或桿對小球的彈力，在小球繞O點做圓周運動的過程中，始終與瞬時速度相垂直，所以彈力不做功，只有重力作功，小球的機械能守恒，要注意到線與桿對球約束的差異，線可受拉力不能受壓力，所以A球達最高點線的拉力的最小值為零，線不可能給球以支持力，球速不能小于；桿可受拉力也可受壓力，所以B球達最高點桿可以給球以支持力，球速允許等于零。解要求A球作圓周運動達到最高點，并具有最小的速度，則要求線處于要松而又未松的臨界狀態(tài)，即拉球的彈力等于零的狀態(tài)。A球在最高