連續(xù)交通流模型及數(shù)值模擬(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上連續(xù)交通流模型及數(shù)值模擬摘要本文對(duì)現(xiàn)有的交通流宏觀模型進(jìn)行了研究，總結(jié)了各種模型的思想、優(yōu)缺點(diǎn)以及適用條件，在此基礎(chǔ)上，選取了Payne模型離散格式進(jìn)行數(shù)值模擬，選取了某段高速公路的交通流作為模擬對(duì)象，展現(xiàn)了Payne模型模擬交通流的可行性。 關(guān)鍵字 連續(xù)交通流；離散格式；數(shù)值模擬0 引言交通流理論研究加深了人們對(duì)復(fù)雜多體系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡態(tài)時(shí)演變規(guī)律的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)了統(tǒng)計(jì)物理、非線性動(dòng)力學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、流體力學(xué)、交通工程學(xué)等學(xué)科的交叉和發(fā)展等多學(xué)科的交叉滲透和相互發(fā)展。交通流理論研究的對(duì)象是離散態(tài)物質(zhì)，是一個(gè)復(fù)雜的非線性體系，對(duì)這類物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述，尚無成熟的理論。 在宏觀的

2、連續(xù)流模型中，交通流被比擬為連續(xù)的流體介質(zhì)，即將流量、速度和密度等集聚變量視為時(shí)間和空間的連續(xù)函數(shù)。模型包含時(shí)間和空間的狀態(tài)方程，考慮了車輛的加速度、慣性和可壓縮性，能夠合理準(zhǔn)確描述交通流的動(dòng)態(tài)特性，相比微觀模型有更大的優(yōu)勢(shì)。連續(xù)流交通流模型通常用密度（k）、速度（u）、流量（q）三個(gè)變量來描述1。1 連續(xù)交通流模型1.1 LWR模型1955年，Lighthill&Whitham提出了第一個(gè)交通流的流體力學(xué)模型流體運(yùn)動(dòng)學(xué)模型2，隨后P.I.Richards獨(dú)立地提出了類似的交通流理論。LWR模型用k(x,t)和u(x,t)表示t時(shí)刻位于x處的交通流密度和平均速度，他們滿足流體力學(xué)的連續(xù)

3、方程： （1-1）此方程反映了車輛數(shù)守恒，其中g(shù)(x,t)是流量產(chǎn)生率，對(duì)沒有進(jìn)出匝道的公路，g(x,t)=0，對(duì)進(jìn)口匝道，g(x,t)>0，對(duì)出口匝道，g(x,t)=0。k為交通密度，也稱為交通流量；x，t分別為空間測(cè)度和時(shí)間測(cè)度。設(shè)u為空間平均速度，則存在以下關(guān)系： (1-2)對(duì)于平均速度u(x,t)，假設(shè)平衡速度密度關(guān)系： (1-3)以上3個(gè)方程構(gòu)成了完整的一階連續(xù)交通流模型，LWR模型的優(yōu)點(diǎn)是簡單明了，可以采用流體力學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中的成熟工具進(jìn)行分析，而且可以描述諸如交通阻塞形成和消散之類的交通現(xiàn)象，但是，由于該模型的速度是由平衡速度密度關(guān)系決定，并且沒有考慮加速度和慣性影響，因此

4、不適用于描述本質(zhì)上處于非平衡態(tài)的交通現(xiàn)象，例如車輛上、下匝道的交通、“幽靈式”交通阻塞、交通遲滯、時(shí)走時(shí)停的交通等。于是，后來的學(xué)者們引進(jìn)了高階連續(xù)介質(zhì)模型，考慮了加速度和慣性影響，將動(dòng)量方程代替方程(1-3)。1.2 Payne模型Pipes于1953年提出交通流加速度的一般表達(dá)式： （1-4）1971年，Payne根據(jù)LWR模型的思想，假設(shè)交通流速度是動(dòng)態(tài)變化的，在引用連續(xù)性方程時(shí)，引進(jìn)運(yùn)動(dòng)方程，導(dǎo)出高階連續(xù)模型3。Payne從車輛跟馳理論的概念提出平均速度u與密度k存在以下關(guān)系： （1-5）并取，車輛跟馳理論在的延滯時(shí)間，對(duì)上式分別作關(guān)于和的Taylor展開，得到： （1-6）上式中，：

5、預(yù)期指數(shù)，將平衡速度簡寫成。從而建立了由如下三個(gè)方程構(gòu)成的Payne模型： （1-6） （1-7） （1-2）式(16)的右邊第一項(xiàng)為期望項(xiàng)，反映駕駛員對(duì)前方交通狀態(tài)改變的反應(yīng)過程；第二項(xiàng)式弛豫項(xiàng)，描述車流速度在時(shí)間內(nèi)向平衡速度的調(diào)整，最優(yōu)速度函數(shù)和其他參數(shù)通過道路實(shí)測(cè)和參數(shù)辨識(shí)確定。1979年，Payne編制了著名的FREFLO軟件，有史以來第一次將交通流仿真模型應(yīng)用于工程實(shí)踐。但Payne模型并未充分考慮整個(gè)弛豫過程，而只是將其定為一個(gè)常數(shù)的弛豫時(shí)間，即使處于平衡狀態(tài)時(shí)，弛豫時(shí)間變?yōu)榱?，在?shí)際應(yīng)用中，出現(xiàn)了一些問題。Rathi等人指出，使用Payne模型，車流速度到平衡態(tài)速度的調(diào)節(jié)過程過于

6、緩慢。Ross也發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)缆吠負(fù)涮匦院徒煌吭诙虝r(shí)間內(nèi)突變時(shí)，由于車流速度調(diào)整到平衡速度過程緩慢，無法捕捉到實(shí)際交通流動(dòng)態(tài)特性。Castillo等對(duì)Payne模型進(jìn)行了線性穩(wěn)定性分析，發(fā)現(xiàn)車輛總是在穩(wěn)定的范圍內(nèi)行駛，這與實(shí)際不符。Payne本人也發(fā)現(xiàn)在高密度情況下，模型可能會(huì)遇到穩(wěn)定性問題，車流密度可能出現(xiàn)大大偏離實(shí)際的高密度問題。后來的研究者在payne模型的基礎(chǔ)上，不斷加入新的項(xiàng)，構(gòu)成了各自的模型。1.3 Kuhne模型1984年，R.D.Khune引入交通流的粘性影響，基于Navier-Stokes方程建立如下方程： （1-8）式中: 為直接與車輛跟馳的彈性有關(guān)的聲速；為粘性系數(shù)。線性穩(wěn)

7、定性分析表明，當(dāng)時(shí)交通狀態(tài)是穩(wěn)定的。而 （1-9）式中：稱為臨界密度。當(dāng)超過時(shí)交通完全癱瘓。該模型可用于超擁擠狀態(tài)的交通分析但仍需確定平衡狀態(tài)下的速度密度關(guān)系，因而并未根本解決Payne 模型中的致命問題。1.4 吳正模型我國學(xué)者吳正針對(duì)我國低速混合交通提出了維管流模型，引用了交通壓力、交通指數(shù)等新概念，并通過數(shù)值模擬分析了交通堵塞的形成和疏導(dǎo)過程，與實(shí)測(cè)相符4。一維管道內(nèi)物質(zhì)流的基本方程如下： （1-10） （1-11）其中變量k車流密度，即單位長度路段上的車輛數(shù)；A路段寬度或車道數(shù)；u車流速度； 車流經(jīng)過單位面積路面時(shí)所受阻力；P交通壓力。提出了交通流壓力比擬的基本假定： （） （1-12

8、）其中C和n是兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，改變它們的取值就能使模型適用于不同的交通情況。n稱為交通狀態(tài)指數(shù)。吳正模型可以較好地模擬實(shí)際交通過程，包括局部地方發(fā)生嚴(yán)重交通堵塞后的疏散過程。東明等人在吳正的運(yùn)動(dòng)方程中考慮正比于速度的阻尼項(xiàng)的作用，數(shù)值模擬分析了地面交通對(duì)高架路交通的影響。2 交通流離散模型數(shù)值模擬2. 1 交通流計(jì)算模型筆者采用的交通流計(jì)算模型是Payne型模型 其運(yùn)動(dòng)微分方程為： （2-1） （2-2） （2-3） 2. 2 模型的離散格式采用Euler積分對(duì)Payne運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行離散，得到Payne模型的離散方程： （2-4） （2-5） （2-6）式中：n=1,2,3,為時(shí)間步；i=1

9、,2,3,為空間節(jié)點(diǎn)位置；為第i段道路長度；為進(jìn)出匝道的流率。本文采用的時(shí)間步長、空間步長隨時(shí)間序列和空間節(jié)點(diǎn)位置兩者的變化而變化的變步長。令 （2-7） （2-8）其中（）為暢行速度。3 算例及計(jì)算結(jié)果分析以廣深高速公路某時(shí)段的實(shí)測(cè)交通數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行數(shù)值模擬。計(jì)算時(shí)邊界條件均采用自由流邊界條件：， （3-1） 算例的計(jì)算路段長度L= 6 km 設(shè)計(jì)速度 =120km/h 阻塞密度= 200pcu/ ( km車道)最大波速選自廣深高速公路2車道的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)回歸值 = =100km/h。計(jì)算中，將路段L等距分成12個(gè)區(qū)段 即= 0.5 km， L= 12，模擬100步時(shí)間步，初值條件如表3-1所列

10、。表3-1 變步長計(jì)算初值條件區(qū)段123456789101112密度/pcu(km車道)-117.918.418.418.218.152.151.851.718.618.117.818.1速度/(kmh-1)87.787.687.687.687.744.945.145.287.687.787.787.7經(jīng)過100步迭代計(jì)算后密度和速度的計(jì)算結(jié)果如圖3-1、圖3-2 所示，部分結(jié)果如表3-2所示。圖3-1 變步長密度關(guān)系圖圖3-2 變步長速度關(guān)系圖表3-2 100步迭代部分結(jié)果區(qū)段計(jì)算步長97步98步99步100步密度速度密度速度密度速度密度速度117.9109.2117.9109.2117.9

11、109.2117.9109.21217.9109.2117.9109.2117.9109.2117.9109.21317.9109.2117.9109.2117.9109.2117.9109.21417.9109.2117.9109.2117.9109.2117.9109.21518108.5918108.5918108.5918108.59625.01108.1625.01108.1625.01108.1625.01108.16725.1107.7825.1107.7825.1107.7825.1107.78825.07107.925.07107.925.07107.925.07107.99

12、18.56108.0418.56108.0418.56108.0418.56108.041018.54108.1618.54108.1618.54108.1618.54108.161118.51108.2918.52108.2918.51108.2918.52108.291218.25109.9618.22109.9618.25109.9618.22109.964 結(jié)論本文首先對(duì)現(xiàn)有的交通流宏觀模型進(jìn)行了研究，總結(jié)了各種模型的思想、優(yōu)缺點(diǎn)以及適用條件，在此基礎(chǔ)上，選取了Payne模型離散格式進(jìn)行數(shù)值模擬，選取了某段高速公路的交通流作為模擬對(duì)象，展現(xiàn)了Payne模型模擬交通流的可行性。參考文獻(xiàn)：

13、1李進(jìn)平,張樂文.交通流的流體動(dòng)力學(xué)模型研究,武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)(交通科學(xué)與工程版)，Vo1.26.No.6.,Dec2002：7487512 王明祺.交通流理論的研究進(jìn)展.力學(xué)進(jìn)展.1995(3):343-3563 Payne,H.J.,Models of freeway traffic and control,in”Mthematical Methods of Public Systems”(ed.By Bekey,G.A.)c.1971,1(1): 51-614 吳正.低速混合型城市交通的流體力學(xué)模型.力學(xué)學(xué)報(bào),Vol.2.No.6.Mar., 1994:149157附程序代碼：Dim k

14、(17, 101), u(17, 101), q(17, 101), l(17), t(17, 101), x(17, 101), y(1 To 16, 1 To 101) As DoubleDim ue(1 To 16, 1 To 101), j(17, 101), c(17, 101), a, i, n, kj, r, tz(17, 101), uf As Doublek(1, 1) = 17.9u(1, 1) = 87.7q(1, 1) = 1570k(2, 1) = 18.4u(2, 1) = 86.8q(2, 1) = 1600k(3, 1) = 18.4u(3, 1) = 87.6

15、q(3, 1) = 1612k(4, 1) = 18.2u(4, 1) = 87.6q(4, 1) = 1594k(5, 1) = 18.1u(5, 1) = 87.7q(5, 1) = 1587k(6, 1) = 52.1u(6, 1) = 44.9q(6, 1) = 2339k(7, 1) = 51.8u(7, 1) = 45.1q(7, 1) = 2336k(8, 1) = 51.7u(8, 1) = 45.2q(8, 1) = 2337k(9, 1) = 18.6u(9, 1) = 87.6q(9, 1) = 1629k(10, 1) = 18.1u(10, 1) = 87.7q(10

16、, 1) = 1640k(11, 1) = 17.8u(11, 1) = 87.7q(11, 1) = 1561k(12, 1) = 18.1u(12, 1) = 87.7q(12, 1) = 1587kj = 200uf = 120a = 0.001r = 0.5For n = 1 To 100 For i = 1 To 12 tz(i, 1) = 0 l(i) = 0.5 If i = 6 Then j(i, n) = 750 Else: j(i, n) = 0 End If If i = 9 Then c(i, n) = 700 Else c(i, n) = 0 End Ifu(0, n

17、) = u(1, n)k(0, n) = k(1, n)q(0, n) = k(0, n) * u(0, n)x(i, n) = 1 / (2 * k(i, n)t(i, n) = 0.5 * x(i, n) / 100y(i, n) = Round(a * (1 + r * (kj - k(i, n) / kj), 4)ue(i, n) = Round(uf * (1 - k(i, n) / kj), 2)k(i, n + 1) = Round(k(i, n) + t(i, n) * (q(i - 1, n) + j(i, n) - q(i, n) - c(i, n) / (l(i) * x(i, n), 2)u(i, n + 1) = Round(u(i, n) + t(i, n) * (-1) * u(i, n) * (u(i, n) - u(i - 1, n) / x(i, n) - (u(i, n) - ue(i, n) + 0.5 * uf / kj * (k(i + 1, n) - k(i, n) / (k(i, n) * x(i, n) / y(i, n), 2)q(i, n + 1) = Round(k(i, n + 1) * u(i, n + 1)tz(i, n + 1) = tz(i, n)