面積計(jì)算法繪制梁的彎矩圖(共6頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上面積計(jì)算法繪制梁的彎矩圖摘要：梁的內(nèi)力作為梁的設(shè)計(jì)和檢驗(yàn)的基本數(shù)據(jù)，在工程實(shí)際中具有非常重要的地位。教學(xué)中梁的內(nèi)力圖繪制， 尤其是梁彎矩圖的繪制是力學(xué)課程的重點(diǎn)。本文依照荷載與內(nèi)力的微分關(guān)系原理，采用面積計(jì)算法來(lái)計(jì)算梁控制面上的彎矩，是一種新的快速繪制梁彎矩圖的簡(jiǎn)便方 法。關(guān)鍵詞：剪力圖；彎矩圖；面積計(jì)算法 中圖分類(lèi)號(hào)：TU223 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A一、引 論為了計(jì)算梁的強(qiáng)度和剛度，不僅要計(jì)算梁任意橫截面上的剪力和彎矩，還必須知道 剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律。在一般情況下，梁截面位置不同，則剪力和彎矩也不同。若橫截面的位置用沿梁軸線的坐標(biāo)X來(lái)表示。則各橫截面上的剪力和彎

2、矩 都可以表示為位置坐標(biāo)X的函數(shù)，即Q=Q（x）M=M（x）剪力方程和彎矩方程可以表明梁上剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律。?為了一目了然地表明剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，找到梁內(nèi)剪力和彎矩的最大值以及它們所在的截面位置，可以根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制梁的剪力圖和彎矩 圖。按選定的比例，用與梁軸線平行的坐標(biāo)X表示梁沿軸線的截面位置，用與X軸正交的Q（或M）坐標(biāo)軸表示相應(yīng)截面的剪力（或彎矩），描點(diǎn)畫(huà)出 Q（X）M（X）所表示的函數(shù)圖像，分別稱(chēng)為剪力圖，彎矩圖。在土建工程中，習(xí)慣把正剪力畫(huà)在Q軸的正向，負(fù)剪力畫(huà)在Q軸的負(fù)向，并注明（+）（-）號(hào)； 彎矩圖總是畫(huà)在梁受拉的一側(cè)，并注明（+）（-）號(hào)。二

3、、剪力、彎矩與荷載之間的微分關(guān)系?由力學(xué)分析可得剪力、彎矩與荷載之間存在有以下微分關(guān)系:? dQ（x）/dx=q（x） ?dM（x）/dx=Q（x）?由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，上兩式的幾何意義是：剪力圖上任一點(diǎn)的切線的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的荷載集度；彎矩圖上任一點(diǎn)的切線的斜率等于梁在對(duì)應(yīng)截面上剪力。?利用M（x）、Q（x）、q（x）之間的關(guān)系及其幾何意義，可以分析畫(huà)Q圖和M圖的一些規(guī)律，下面分析集中情況：?1在無(wú)分布荷載作用的梁段，由于Q（x）為常數(shù)，M（x）為一次函數(shù)，因此剪力圖為一條平行于X軸的直線，彎矩圖為一條斜直線。?2在有均布荷載作用的梁段，由于Q（x）為一次函數(shù)，M（x）為二次函數(shù)，因此剪力

4、圖為一條斜直線，當(dāng)q（x） 0時(shí)，Q圖為右上斜直線，彎矩圖為一條下凸或上凸的二次曲線。?注意：根據(jù)M圖的坐標(biāo)規(guī)則，當(dāng)q（x）向下時(shí)，對(duì)應(yīng)梁段M 圖為下凸曲線；當(dāng)q（x）向上時(shí)，對(duì)應(yīng)梁的M 圖為上凸曲線。?3由dM（x）/d（x）=Q（x）可知，在Q（x）=0處，M（x）有極值。即剪力等于零的截面上彎矩具有極值（極大值或極小值）。?4在集中力作用的截面上，由于此處Q（x）函數(shù)不連續(xù)，截面左右兩側(cè)剪力值不相等，因此剪力圖發(fā)生突變，且突變值等于該集中力的大小,其突變方向與集中 力方向一致。?5在集中力偶作用的截面上,由于此處M(x)函數(shù)不連續(xù),截面左右兩側(cè)彎矩值不相等,因此彎矩圖有突變,且突變值等于

5、該集中力偶矩。?根據(jù)梁段落上的外力情況，利用以上各項(xiàng)規(guī)律就可判斷出該梁剪力圖和彎矩圖的形狀，只要確定梁的控制截面并求出控制截面的剪力值和彎矩值，就可畫(huà)出剪力圖和 彎矩圖，而不需要列剪力方程和彎矩方程，因而非常簡(jiǎn)便。三、面 積 計(jì) 算 法?由與微分關(guān)系相對(duì)應(yīng)的積分關(guān)系還可得：若梁上無(wú)外力偶作用，則指定截面上的彎矩等于該截面左側(cè)(右側(cè))部分上剪力圖的面積代數(shù)和：?M=QiLi?這里：?(1) 若取截面左側(cè)部分為研究對(duì)象，則正的剪力對(duì)應(yīng)于正的面積，負(fù)的剪力對(duì)應(yīng)于負(fù) 的面積;若取右側(cè)部分為研究對(duì)象，則正好與之相反。(2) 剪力圖長(zhǎng)的因次為長(zhǎng)度，其高度的因次為力，故剪力圖面積的因次為力長(zhǎng)度為彎矩的因次相

6、同。?(3) 兩截面之間若有集中力作用。此方法仍然適用。四、面積計(jì)算法應(yīng)用說(shuō)明?（一） 單個(gè)集中力作用下的彎矩圖?例1如圖一所示：圖一剪力圖為一條平行于X軸的直線位于Q軸的負(fù)向?？芍獜澗貓D為一條斜直線，由面積法繪制彎矩圖的結(jié)論可知?MB= -FL=-FL?則可直接繪制彎矩圖如圖1所示。?例2如圖二所示圖二由剪力圖可知彎矩圖為一斜直線。由先按彎矩圖在所取截面左側(cè)。左側(cè)有正剪力對(duì)應(yīng)正面積，負(fù)剪力對(duì)應(yīng)的面積 則:? MC左= Pba/L=pab/L?彎矩從A點(diǎn)彎矩為零開(kāi)始到B點(diǎn)彎矩為pab/L的斜直線。?MB左=pab/L -pab/L=0?所以彎矩圖由P點(diǎn)開(kāi)始向B點(diǎn)彎矩為零過(guò)渡由上可得由上可得該簡(jiǎn)

7、支梁彎矩。如圖2所示。?同樣取右側(cè)也是一樣的：?MC右Pab/L?MA右=pab/L-pab/L=0?注：右側(cè)正剪力對(duì)應(yīng)負(fù)的面積，負(fù)剪力對(duì)應(yīng)正的面積。以后的幾種情況都是用該方法確定面積值的正負(fù)。?以上兩例為一個(gè)集中力作用下的懸臂梁和簡(jiǎn)支梁的彎矩圖的繪制。下面為大家介紹幾種常見(jiàn)情況。?(二)多種力作用下的彎矩圖繪制。?例3如圖三所示：圖三對(duì)于AB段：?先按截面左側(cè)計(jì)算因?yàn)榧袅D為斜直線。?所以對(duì)應(yīng)的彎矩應(yīng)為下凸直線。AB段?對(duì)應(yīng)的剪力圖面積為：?-821/2=-8?MB左=-8?對(duì)于BC段，CD段?因?yàn)榧袅D為平行于X軸的直線所以對(duì)應(yīng)的彎矩圖為斜直線?MC左=-8+122=16?MD左=16-8

8、2=0?描點(diǎn)連接AB段BC段CD段全梁M圖，如圖3所示。?(三)有集中力偶作用下的彎矩圖?例4如圖四所示圖四對(duì)于AB段：因?yàn)榧袅D為平行X軸的直線，所以對(duì)應(yīng)的彎矩圖應(yīng)為斜直線?MA=0?MA 左62=12?對(duì)于BC段：?剪力圖為斜直線則彎矩圖為下凸，二次拋物線又因?yàn)镈點(diǎn)剪力為零，所以拋物線極值在該處。由三角形相似可得：?BD/DC=6/8?BD+DC=4 ?得BD=1 DC=3?MD右1831/2=27?所以D 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極值為27KNM? 因?yàn)樵贐點(diǎn)處有集中力偶作用，所以B點(diǎn)處的M應(yīng)有突變其值等于力偶值該力偶為順時(shí)針，所以B點(diǎn)處的M值由原來(lái)12KNM突變?yōu)?4KNM描點(diǎn)連接AB段 BC段即為該梁彎矩圖如圖4所示。 ? 四）特殊形式?例5，如圖為斜直線? AC段：?剪力為平行于X軸的直線，所以彎矩圖為斜直線。? MC左FAFA?CB段：圖五剪力為零，但由于梁段受集中力偶作用，整段的彎矩值等于力偶值，所以為平行于X軸的直線。?對(duì)于這種剪力為零的梁段的特殊形式，若是沒(méi)有集中力作用，面積法同樣適用。若是有集中力偶作用。則彎矩為一條平行X軸，直線距離X軸的為彎矩值，正負(fù)由力 偶的正負(fù)來(lái)確定。? 五、結(jié) 語(yǔ)?通過(guò)理論分析和實(shí)例驗(yàn)證，面積計(jì)算法繪制彎矩圖