全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練高中奧數(shù)輔導(dǎo)不等式的證明

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 金牌教練員講座蘭州一中數(shù)學(xué)組第五講 不等式的證明知識、方法、技能不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類羅列如下：不等式的性質(zhì)：這是不等式的定義，也是比較法的依據(jù).對一個不等式進(jìn)行變形的性質(zhì)：（1）（對稱性）（2）（加法保序性）（3）（4）對兩個以上不等式進(jìn)行運(yùn)算的性質(zhì).（1）（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）（3）（4）含絕對值不等式的性質(zhì)：（1）（2）（3）（三角不等式）.（4）證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法

2、、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等.當(dāng)然在證題過程中，?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.賽題精講例1：求證：【略解】 【評述】（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明時，可將配方為，亦可利用，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.例2：，求證：【思

3、路分析】顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.【略解】不等式關(guān)于對稱，不妨，且，都大于等于1.【評述】（1）證明對稱不等式時，不妨假定個字母的大小順序，可方便解題. （2）本題可作如下推廣：若 （3）本題還可用其他方法得證。因，同理，另，4式相乘即得證. （4）設(shè)例3等價于類似例4可證事實(shí)上，一般地有排序不等式（排序原理）：設(shè)有兩個有序數(shù)組，則（順序和）（亂序和）（逆序和）其中的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個有序數(shù)組的積的形式.如.例3：【思路分析】中間式子中每項(xiàng)均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明

4、.【略解】不妨設(shè)，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)組，仿上可證第二個不等式.例4：設(shè)，且各不相同，求證：【思路分析】不等式右邊各項(xiàng)；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.【略解】設(shè)的重新排列，滿足，又所以.由于是互不相同的正整數(shù)，故從而，原式得證.【評述】排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，例5：利用基本不等式證明【思路分析】左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.【略解】；三式相加再除以2即得證.【評述】（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧.如，可在

5、不等式兩邊同時加上再如證時，可連續(xù)使用基本不等式.（2）基本不等式有各種變式 如等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.例6：已知求證：【思路分析】不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢.【略解】要證即證【評述】（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知求證：右側(cè)的可理解為再如已知，求證：+，此處可以把0理解為，當(dāng)然本題另有簡使證法.（2）基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.（一般地，對于個正數(shù)調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均這四個平均值有以下關(guān)系：，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.例7：利用排序不等式證明.【證明】令則，故可取，使得由排

6、序不等式有：=（亂序和） （逆序和） =n，【評述】對各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，.例8：證明：對于任意正整數(shù)R，有【思路分析】原不等式等價于，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個數(shù)的幾何平均，而右邊為其算術(shù)平均.【略證】【評述】（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證（2）本題亦可通過逐項(xiàng)展開并比較對應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證，但較繁.例9：n為正整數(shù)，證明：【證明】先證左邊不等式（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式 （*）（*）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.針對性訓(xùn)練1求證：2已知求證：3已知，求證：4D、E、F分別在正