個(gè)球稱3次找壞球的數(shù)學(xué)解答（原作者方）(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 序篇（4-4-4分組整體稱法）古老的智力題詳述:    有12個(gè)球特征相同,其中只有一個(gè)重量異常,要求用一部沒有砝碼的天平稱三次,將那個(gè)重量異常的球找出來(lái)。以下會(huì)給4個(gè)解答，一個(gè)比一個(gè)牛，一個(gè)比一個(gè)震撼！第一篇先給個(gè)被號(hào)稱網(wǎng)上最牛的解答，一種新的完全的數(shù)學(xué)解法（線代+信息論），該文解法創(chuàng)于2005年，一次與友人聊天建議發(fā)表到QQ的個(gè)人空間（2006年7月），后被網(wǎng)友轉(zhuǎn)載到各大網(wǎng)站并被收入到百度文庫(kù)。第二篇會(huì)給個(gè)EXCEL進(jìn)階解法，網(wǎng)友們可以用此法加上分塊矩陣的方法繼續(xù)找出9球稱4次找2異常球的具體解法或更復(fù)雜的稱球問(wèn)題。第三篇

2、會(huì)給出2個(gè)很漂亮完美的非常特別的解，其稱量結(jié)果的三進(jìn)制和異常球序號(hào)及和輕重狀態(tài)具有簡(jiǎn)潔的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 先給個(gè)444分組的具體稱量方案：把12個(gè)球編成1，2.12號(hào)，則可設(shè)計(jì)下面的稱法：              左盤 * 右盤      第一次 1，5，6，12 * 2，3，7，11      第二次 2，4，6，10 * 1，3，8，12  &

3、#160;   第三次 3，4，5，11 * 1，2，9，10    每次都可能有平、左重、右重三種結(jié)果，搭配起來(lái)共有27種結(jié)果，但平、平、平的結(jié)果不會(huì)出現(xiàn)，因?yàn)榭傆幸粋€(gè)球是不相等的。同樣左、左、左，右、右、右的結(jié)果也不回出現(xiàn)，因?yàn)楦鶕?jù)設(shè)計(jì)的稱法，沒有一個(gè)球是三次都在左邊或右邊的。剩下的24種結(jié)果就可以判斷出哪種情況是哪一個(gè)球了。例如：如果結(jié)果是平、平、左或是平、平、右，就可判斷出是9號(hào)球，因?yàn)榈谝淮闻c第二次都沒有9號(hào)球，唯獨(dú)第三次有9號(hào)球，而第一次與第二次都是平的，只有第三次是失衡的，說(shuō)明9號(hào)球的重量與其它的球不同?？梢罁?jù)此原理判斷出其它的各

4、種情況分別是哪個(gè)球。    有12個(gè)球，而壞球又可能比好球輕也可能比好球重，所以總共有12x2=24種可能，24可能結(jié)果如下表：    * * * *    * 可 能 * * 結(jié) 果 *    * 可 能 * 結(jié) 果 * * * * *    1號(hào)球，且重 左、右、右    1號(hào)球，且輕 右、左、左    2號(hào)球，且重 右、左、右    2號(hào)球，

5、且輕 左、右、左    3號(hào)球，且重 右、右、左    3號(hào)球，且輕 左、左、右    4號(hào)球，且重 平、左、左    4號(hào)球，且輕 平、右、右    5號(hào)球，且重 左、平、左    5號(hào)球，且輕 右、平、右    6號(hào)球，且重 左、左、平    6號(hào)球，且輕 右、右、平    7號(hào)球，且重 右、平、平  &

6、#160; 7號(hào)球，且輕 左、平、平    8號(hào)球，且重 平、右、平    8號(hào)球，且輕 平、左、平    9號(hào)球，且重 平、平、右    9號(hào)球，且輕 平、平、左    10號(hào)球，且重平、左、右    10號(hào)球，且輕平、右、左    11號(hào)球，且重右、平、左    11號(hào)球，且輕左、平、 右   12號(hào)球，且重左、右、平

7、60;   12號(hào)球，且輕右、左、平    上面的24種結(jié)果里面沒有一個(gè)重復(fù)的，也可以把上面的結(jié)果反過(guò)來(lái)當(dāng)成可能，也可唯一的推出那個(gè)球?yàn)閴那颍C明此方法可行。第一篇（完美的數(shù)學(xué)建模）    原文：網(wǎng)上的最多的方法是邏輯法,還有少數(shù)畫成圖的所謂策略樹和基于此的程序算法.這里我提出一種新的完全的數(shù)學(xué)解法:一·首先提出稱量的數(shù)學(xué)模型: 把一次稱量看成一個(gè)一次代數(shù)式,同樣問(wèn)題就可以描述成簡(jiǎn)單的矩陣方程求解問(wèn)題.怎么把一次稱量表示成一個(gè)代數(shù)式呢? 1),簡(jiǎn)化描述小球的重量(狀態(tài))-正常球重量設(shè)為0,設(shè)異常

8、球比正常球重為1或輕為-1,異常球未知輕重時(shí)用x代表(只取1或-1).用列向量j表示所有球的重量狀態(tài). 2),簡(jiǎn)化描述稱量的左右(放法)-把某號(hào)球放左邊設(shè)為1,右邊設(shè)為-1,不放上去設(shè)為0.用行向量i表示某次稱量所有球的左右狀態(tài). 3),描述稱量結(jié)果: 由1),2)已經(jīng)可以確定一個(gè)稱量式 各球的重量*放法=天平稱量結(jié)果.-(1)式 如果我們用向量j,i分別表示球的重量狀態(tài)和球的左右放法情況(j為行向量,i為列向量),對(duì)于(1)式,可以改寫為 j*i=a(常數(shù)a為單次稱量結(jié)果) -(2)式 例如有1-6號(hào)共6個(gè)小球,其中4號(hào)為較重球,拿3號(hào)5號(hào)放左邊,1號(hào)4號(hào)放右邊進(jìn)行稱量,式子為: (-1)*

9、0+0*0+1*0+(-1)*1+1*0+0*0=-1, 從-1的意義可以知道它表示結(jié)果的左邊較輕; 同樣可以得到0表示平衡,1表示左邊較重. 4),方程用來(lái)描述稱量過(guò)程,還需附加一個(gè)重要的條件:代表放左邊的1和右邊的-1個(gè)數(shù)相等,也就是 各球的放法=0-(3)式 這樣就解決了稱量的數(shù)學(xué)表達(dá)問(wèn)題. 對(duì)于12個(gè)小球的3次稱量,分別用12維行向量j1,j2,j3表示,由j1j2j3便構(gòu)成了3×12的稱量矩陣J；對(duì)于某一可能情況i,對(duì)應(yīng)的3次稱量結(jié)果組成的3維列向量b,得 J*i=b 二·稱球問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模 問(wèn)題的等價(jià)： 設(shè)J為3×12的矩陣，滿足每行各項(xiàng)之和為0。i為

10、12維列向量,i的某一項(xiàng)為1或1，其他項(xiàng)都是0，即i是12×24的分塊矩陣M=(E,-E)的任一列。而3×27的矩陣C為由27個(gè)互不相同的3維列向量構(gòu)成，它的元素只能是1,0,-1. 由問(wèn)題的意義可知b=J*i必定是C的某一列向量。而對(duì)于任意的i,有由J*i=b確定的b互不相同. 即 J*M=J*(E,-E)=(B,-B)=X -（設(shè)X為3×24的矩陣） 因?yàn)閄為24列共12對(duì)互偶的列向量，而C為27列，可知從C除去的3列為(0,0,0)和1對(duì)任意的互偶的列向量，這里取除(1,1,1)和(-1,-1,-1). 由上式得J*E=B推出J=B,X=(J,-J)。因此把

11、從27個(gè)3維列向量中去除(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)然后分為互偶的兩組(對(duì)應(yīng)取反) 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1,-1; 1, 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 0, 1,-1. 0, 0, 0, 0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1; 0,-1,-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1, 1, 1, 1; -1, 0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1, 0,-1, 1. 現(xiàn)在通過(guò)上下對(duì)調(diào)2列令各行的各項(xiàng)和為0！即可得到J.我的方

12、法是從右到左間隔著進(jìn)行上下對(duì)調(diào)，然后再把2排和3排進(jìn)行上下對(duì)調(diào)，剛好所有行的和為0。得 稱量矩陣J= 0, 0, 0, 0, 1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,-1; 0, 1,-1,-1, 0, 0, 0,-1, 1, 1,-1, 1; 1, 0,-1, 1, 0,-1,-1, 0,-1, 0, 1, 1. 相應(yīng)三次稱量?jī)蛇叺姆欧ǎ?左邊5，7，9，11 ：右邊6，8，10，12； 左邊2，9，10，12：右邊3，4，8，11； 左邊1，4，11，12：右邊3，6，7，9 。 * * * * 1號(hào)球，且重 平、平、左 1號(hào)球，且輕 平、平、右 2號(hào)球，且重 平、左、平 2號(hào)球，且輕 平

13、、右、平 3號(hào)球，且重 平、右、右 3號(hào)球，且輕 平、左、左 4號(hào)球，且重 平、右、左 4號(hào)球，且輕 平、左、右 5號(hào)球，且重 左、平、平 5號(hào)球，且輕 右、平、平 6號(hào)球，且重 右、平、右 6號(hào)球，且輕 左、平、左 7號(hào)球，且重 左、平、右 7號(hào)球，且輕 右、平、左 8號(hào)球，且重 右、右、平 8號(hào)球，且輕 左、左、平 9號(hào)球，且重 左、左、右 9號(hào)球，且輕 右、右、左 10號(hào)球，且重右、左、平 10號(hào)球，且輕左、右、平 11號(hào)球，且重左、右、左 11號(hào)球，且輕右、左、右 12號(hào)球，且重右、左、左 12號(hào)球，且輕左、右、右 三·問(wèn)題延伸 1，13個(gè)球稱3次的問(wèn)題： 從上面的解答中被除

14、去的3個(gè)向量為(0,0,0)(1,1,1)(-1,-1,-1).而要能判斷第13個(gè)球，必須加入1對(duì)對(duì)偶向量，如果加入的是(1,1,1)(-1,-1,-1),則 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1，1; 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1,-1，1; 1, 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 0, 1,-1，1. 0, 0, 0, 0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1; 0,-1,-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1, 1, 1, 1,-1; -1, 0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1,

15、0,-1, 1,-1. 第一行的非0個(gè)數(shù)為奇數(shù)，不論怎么調(diào)也無(wú)法使行和為0。故加入的行只能為自對(duì)偶列向量(0,0,0),結(jié)果是異球可判斷是否是第13球時(shí)卻無(wú)法檢查輕重。也可見，13球稱3次的問(wèn)題和12球稱3次的問(wèn)題只是稍有不同，就如12個(gè)球問(wèn)題把球分3組4個(gè)稱，而13個(gè)球問(wèn)題把球分4組(4,4,4,1),第13個(gè)球單獨(dú)1組。 2，(3N-3)/2個(gè)球稱N次找出異球且確定輕重的通解： 第一步，先給出3個(gè)球稱2次的一個(gè)稱量矩陣J2 0, 1,-1; -1, 0, 1. 第二步，設(shè)Kn=(3N-3)/2個(gè)球稱N次的稱量矩陣為N行×Kn列的矩陣Jn,把(3N/3-3)/2個(gè)球稱N-1次的稱量

16、矩陣J<n-1>簡(jiǎn)寫為J.再設(shè)N維列向量Xn,Yn,Zn分別為(0,1,1,.,1),(1,0,0,.,0),(1,-1,-1,.,-1). 第三步之1，在N-1行的矩陣J上面添加1行各項(xiàng)為0，成新的矩陣J'. 第三步之2，在N-1行的矩陣J上面,添加行向量t=(1,1,.,1,-1,-1,.,-1),成新的矩陣J".t的維(長(zhǎng))和J的列數(shù)一致，t的前面各項(xiàng)都是1，后面各項(xiàng)都是1；t的長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)，1個(gè)數(shù)和1個(gè)數(shù)相等；t的長(zhǎng)為奇數(shù)時(shí)，1個(gè)數(shù)比1個(gè)數(shù)少1個(gè)； 第三步之3，在N-1行的矩陣-J上面,添加行向量t=(1,1,.,1,-1,-1,.,-1),成新的矩陣J&q

17、uot;'. 第四步，當(dāng)J的列數(shù)即t的長(zhǎng)為奇數(shù)時(shí)，用分塊矩陣表示矩陣Jn(J',J",J"',Xn,Yn,Zn);當(dāng)J的列數(shù)即t的長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)，用分塊矩陣表示矩陣Jn(J',J",J"',Xn,-Yn,Zn); 此法可以速求出一個(gè)J3為 0, 0, 0, 1,-1,-1, 1,-1,-1, 0, 1, 1; 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 1, 1, 0,-1; -1, 0, 1, -1, 0, 1, 1, 0,-1, 1, 0,-1. 同樣可以繼續(xù)代入求出J4,J5的稱量矩陣。 3，2類主要的推廣：

18、 第1類，有(3n-3)/2個(gè)球，其中有一個(gè)異球，用天平稱n次，找出該球并確定是較輕還是較重。 第2類， 有n個(gè)球，其中混入了m個(gè)另一種規(guī)格的球，但是不知道異球比標(biāo)球重還是輕，稱k次把他們分開并確定輕重？ 顯然，上面的推廣將球分為了兩種，再推廣為將球分為n種時(shí)求稱法。 對(duì)于第一類推廣，上面已經(jīng)給出了梯推的通解式。而對(duì)于第二類推廣，僅對(duì)于m=2時(shí)的幾個(gè)簡(jiǎn)單情況有了初步的了解，如5個(gè)球稱3次找出2個(gè)相同的異球，9個(gè)球稱4次找出2個(gè)相同的異球，已經(jīng)獲得了推理邏輯方法上的解決，但是在矩陣方法上仍未理出頭緒，16個(gè)球稱5次找出2個(gè)相同的異球問(wèn)題上普通的邏輯方法變得非常煩瑣以至未知是否有解，希望有高手能繼

19、續(xù)用矩陣方法找出答案，最好能獲得m=2時(shí)的遞推式。 上面的通解法得到的J4= 0,0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0,0,0, 0, 1,1, 1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1, 1, 1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,0,-1, 1; 0,0, 0, 1,-1,-1,1,-1,-1,0,1, 1, 0,0, 0, 1,-1,-1, 1,-1,-1, 0, 1, 1,0, 0, 0,-1, 1, 1,-1, 1, 1, 0,-1,-1,1, 0,-1; 0,1,-1, 0, 1,-1,0,-1, 1,1,0,-1, 0,1,-1, 0

20、, 1,-1, 0,-1, 1, 1, 0,-1,0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1,-1,-1, 0, 1,1, 0,-1; -1,0, 1,-1, 0, 1,1, 0,-1,1,0,-1,-1,0, 1,-1, 0, 1, 1, 0,-1, 1, 0,-1,1, 0,-1, 1, 0,-1,-1, 0, 1,-1, 0, 1,1, 0,-1. 第二篇（EXCEL構(gòu)造大法）此法可以便捷直觀地驗(yàn)證所構(gòu)造的稱量方法是否是正確的！解決了對(duì)答案進(jìn)行正確性驗(yàn)證的難題。并且可以通過(guò)構(gòu)造分塊矩陣最終解決N球稱M次找2異常球的更高級(jí)稱球問(wèn)題！貼不了EXCEL原檔，只能先截個(gè)圖了，此法要先溫習(xí)前一篇

21、的解法才風(fēng)味更佳：步驟詳解：第一步,做分塊矩陣M=-E12,E12。第二步，構(gòu)造稱量矩陣，每一列互不相同，為了滿足完備性，可以調(diào)整各列。第三步，兩矩陣求積，函數(shù)MMULT(，)第四步，對(duì)結(jié)果矩陣求各列的對(duì)應(yīng)3進(jìn)制并算出具體K值。k值函數(shù)示例(-1)B24*SIGN(B24)第五步，做三位（-1,0,1）的3進(jìn)制的全排列和對(duì)應(yīng)序列碼第六步，對(duì)于各序列碼M，做出在N中與之相等的元素個(gè)數(shù)Tt函數(shù)示例COUNTIF($B24:$Y24,B31)第七步，求MAX(T),若為1，則保證了稱量結(jié)果矩陣M的每列都是互不相同的（各列唯一性），既題得證，所構(gòu)造的稱量方案矩陣J是正確的次球狀態(tài)：M輕：負(fù)單位矩陣-E

22、12重：?jiǎn)挝痪仃嘐121-10000000000010000000000020-10000000000010000000000300-10000000000010000000004000-10000000000010000000050000-10000000000010000000600000-10000000000010000007000000-10000000000010000080000000-10000000000010000900000000-100000000000100010000000000-100000000000100110000000000-100000000000101

23、200000000000-1000000000001稱量方案：J12345678910111213求和：稱量完備性要求行和須為零第一次0000-111-11-11-10第二次01-111-1000-11-10第三次-1-10110-10110-10稱量結(jié)果：X=J*M（矩陣求內(nèi)積函數(shù)MMULT(B16:M18,B2:Y13)）a00001-1-11-11-110000-111-11-11-1b0-11-1-110001-1101-111-1000-11-1c110-1-1010-1-101-1-10110-10110-1三進(jìn)制編碼：n1-23-45-6-89-1011-1213-12-34-5

24、68-910-1112-13絕對(duì)值|n|1234568910111213k=(-1)n*n/|n|-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1111111111111令：k=-1為球輕,k=1為球重;n=9a+3b+c元素-1,0,1組成的所有排列P:-1-1-1-1-1-1-1-1-1000000000111111111-1-1-1000111-1-1-1000111-1-1-1000111-101-101-101-101-101-101-101-101-101序列碼m：-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910111213求n=m的元素個(gè)數(shù)t：

25、函數(shù)COUNTIF()111111011111101111110111111最大值！MAX(t)1MAX(t)=1保證M的每列都是互不相同的，既題得解重排：把12個(gè)球分兩組(1號(hào)到6號(hào),8號(hào)到13號(hào))編好序號(hào)壞球n對(duì)應(yīng)稱量結(jié)果：球序號(hào)|n|1234568910111213第一次a0000-111-11-11-10a第二次b01-111-1000-11-10b第三次c-1-10110-10110-10cn=9a+3b+c-12-34-568-910-1112-13k=(-1)n*n/|n|111111111111注：求和目的是檢查稱量完備性，記k=(-1)n*n/|n|abc只能是左邊12列中的一列或取反，既(a,b,c)T=(a',b',c')T或(-a',-b',-c')T對(duì)應(yīng)的：|n|為壞球序號(hào)，且k=-1為球輕，k=1為球重第三篇（簡(jiǎn)潔特解，有趣