探究應用新思維-數(shù)學7年級1-10

1、1數(shù)形結合話數(shù)軸解讀課標數(shù)學是研究“數(shù)”和“形”的一門學科，從古希臘時期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.在日常生活中我們通常對有形的東西認識比較快，而對抽象的東西認識比較慢，這正是現(xiàn)階段數(shù)學學習的特點，以形助數(shù)是數(shù)學學習的一個重要方法運用數(shù)形結合思想解題的關鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形聯(lián)系的有力工具，主要反映在：1利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù)；2利用數(shù)軸直觀地解釋相反數(shù)；3利用數(shù)軸解決與絕對值有關的問題；4利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小問題解決例1 (1)已知、為有理數(shù)，且，將四個數(shù)、按由小到大的順序排列是_（時代學習報數(shù)學文化節(jié)試題）(2)已知數(shù)軸上有、兩點，A、B之間的距離為，點與原點

2、的距離為，那么點對應的數(shù)是_（廣西競賽題）試一試 對于(1)，賦值或借助數(shù)軸比較大??；對于(2)確定、兩點在數(shù)軸上的位置，充分考慮、兩點的多種位置關系.例2如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距個單位，點、對應的數(shù)分別是整數(shù)、，且，那么數(shù)軸的原點應是( ) A.點B.點C.點D.點（江蘇省競賽題）試一試 從尋找與的另一關系式入手例3 已知兩數(shù)、，如果比大，試判斷與的大小.試一試 因、符號未定，故比大有多種情形，借助數(shù)軸可直觀全面比較與的大小例4電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點，第一步從向左跳個單位到，第二步由向右跳個單位到，第三步由向左跳個單位到，第四步由向右跳個單位到，按以上規(guī)律跳了步時，電子跳蚤

3、落在數(shù)軸上的點所表示的數(shù)恰是，試求電子跳蚤的初始位置點所表示的數(shù)（“希望杯”邀請賽試題）試一試 設點表示的數(shù)為，把、點所表示的數(shù)用的式子表示例5 已知數(shù)軸上的點和點之間的距離為個單位長度，點在原點的左邊，距離原點個單位長度，點在原點的右邊(1)求、兩點所對應的數(shù)(2)數(shù)軸上點以每秒個單位長度出發(fā)問左運動，同時點以每秒個單位長度的速度向左運動，在點處追上了點，求點對應的數(shù)(3)已知在數(shù)軸上點從點出發(fā)向右運動，速度為每秒個單位長度，同時點從點出發(fā)向右運動，速度為每秒個單位長度，設線段的中點為 (為原點)，在運動的過程中線段的值是否變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由分析與解 對于(3)，設點運

4、動時間為秒，把用的式子表示(1)、兩點所對應的數(shù)分別為；(2)點對應的數(shù)為；(3)(為什么？)，則，即的值不變生活啟示例6 李老師從油條的制作中受到啟發(fā)，設計了一個數(shù)學問題如圖，在數(shù)軸上截取從原點到的對應點的線段，對折后（點與點重合），固定左端向右均勻地拉成個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如，在第一次操作后，原線段上的，均變成；變成；等等）.那么在線段上（除點、點外）的點中，在第二次操作后，求恰好被拉到與重合的點所對應的數(shù)字之和.（浙江省紹興市中考題）分析 捕捉問題所蘊含的信息，閱讀理解“一次操作”的意義：將線段沿中點翻折，中點左側的點不動，中點右側的點翻折到左側的對應位置上，由原來

5、的一個等分點變?yōu)閮蓚€等分點 解 故在第二次操作后，恰好被拉到與重合的點所對應的數(shù)字之和是數(shù)學沖浪知識技能廣場1.數(shù)軸上有、兩點，若點對應的數(shù)是，且、兩點的距離為，則點對 應的數(shù)是_.2.電影哈利·波特中，小哈利，波特穿墻進入“站臺”的鏡頭（如示意圖中的站臺），構思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象，若、站臺分別位于，處，則站臺用類似電影中的方法可稱為“_站臺”（“時代學習報數(shù)學文化節(jié)”試題）3.已知點、在數(shù)軸上，點表示的數(shù)為，那么點表示的數(shù)是_4.如圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個圓（該圓周長為個單位長，且在圓周的三等分點處分別標上了數(shù)字、）上：先讓原點與圓周上數(shù)字所對應的點重合，

6、再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上、所對應的點分別與圓周上、所對應的點重合.這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應關系(1)圓周上的數(shù)字與數(shù)軸上的數(shù)對應，則_；(2)數(shù)軸上的一個整數(shù)點剛剛繞過圓周圈（為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字所對應的位置，這個整數(shù)是_（用含的代數(shù)式表示）（江西省中考題）5.有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示：，則下列各式正確的是( )A.B.C.D.（2012年湖南省常德市中考題）6.文具店、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西米，玩具店位于書店東米處小明從書店沿街向東走了米，接著又向東走了米，此時小明的位置在( )A.文具店B.玩

7、具店C.文具店西邊米D.玩具店東米7.將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是），刻度尺上的“”“”分別對應數(shù)軸上的和，則( )A.B.C.D.（浙江省紹興市中考題）8.在數(shù)軸上任取一條長度為的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點的個數(shù)是( )A.B.C.D.（重慶市競賽題）9.一個跳蚤在一條直線上，從點開始，第次向右跳個單位，緊接著第次晾左跳個單位，第次向右跳個單位，第次向左跳個單位依此規(guī)律劇下去，當它跳第次落下時，求落點處離點的距離（用單位表示）（江蘇省無錫市中考題）10.已知數(shù)軸上有、兩點，、之間的距離為，點與原點的距離為，求所有滿足條件的點與原點的距離的和（北京市“迎春杯

8、”競賽題）-思維方法天地-11.在數(shù)軸上，點、分別表示和，則線段的中點所表示的數(shù)是_.12.在數(shù)軸上，表示數(shù)，的點與表示數(shù)，的點關于原點對稱，則的值為_13.數(shù)形相伴(1)如圖所示，點、所代表的數(shù)分別為,，在數(shù)軸上畫出與、兩點的距離和為的點（并標上字母）(2)若數(shù)軸上點、所代表的數(shù)分別為、，則、兩點之間的距離可表示為，那么，當時，_；當時，數(shù)所對應的點在數(shù)軸上的位置是在_（時代學習報數(shù)學文化節(jié)試題）14.點、分別是數(shù)、在數(shù)軸上對應的點，使線段沿數(shù)軸向右移動為，且線段的中點對應的數(shù)是，則點對應的數(shù)是_，點移動的距離是_.（江蘇省競賽題）15.點、（為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點在原點的左邊，且，點在點

9、的右邊，且;點在點的左邊，且，點在點的右邊，且，依照上述規(guī)律，點、所表示的數(shù)分別為( )A., B.,C.,D.,（福建省泉州市中考題） 16.如圖：，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距個單位，點、對應的數(shù)分別是整數(shù)、，且，那么數(shù)軸的原點對應點是（ ）.A.點B.點C.點D.點17.有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖，式子化簡結果為( )A.B.C.D. 18.不相等的有理數(shù)、在數(shù)軸上對應點分別為、,若那么點( )A.在、點右邊B.在、點左邊C.在、點之間D.以上均有可能(“希望杯”邀請賽題)19.在數(shù)軸上，點與點的距離是點與所對應點之間的距離的倍，那么點表示的數(shù)是多少?(“CASIO杯”河南省競賽題

10、)20.已知數(shù)軸上有、三點，分別代表、,兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點同時相向而行.甲的速度為個單位/秒.(1)問多少秒后甲到、的距離和為個單位? (2)若乙的速度為個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點同時相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇?(3)在(1)、(2)的條件下，當甲到、的距離和為個單位時，甲調(diào)頭返回，問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎?若能，求出相遇點；若不能，請說明理由.21.操作與探究對數(shù)軸上的點進行如下操作：先把點表示的數(shù)乘以再把所得數(shù)對應的點向右平移個單位，得到點的對應點.點,在數(shù)軸上，對線段上的每個點進行上述操作后得到線段,其中，點,的對應點分別為,如圖所示，若點表示的

11、數(shù)是,則點表示的數(shù)是_；若點表示的數(shù)是,則點表示的數(shù)是_；已知線段上的點經(jīng)過上述操作后得到的對應點與點重合，則點表示的數(shù)是_.2012年北京市中考題22.動點從數(shù)軸上的原點出發(fā)，沿數(shù)軸的正方向以每前進個單位、后退個單位的程序運動.已知點每秒前進或后退個單位，設表示第秒點在數(shù)軸上的位置所對應的數(shù)(如，)，求所對應的數(shù).2.聚焦絕對值絕對值是數(shù)學中的一個基本概念，這一概念是學習相反數(shù)、有理數(shù)運算、算術根的基礎；絕對值又是數(shù)學中的一個重要概念，絕對值與其他知識融合形成絕對值 方程、絕對值不等式、絕對值函數(shù)等，在代數(shù)式化簡求值、解方程、解不等式等方面有廣泛的應用，理解、掌握絕對值應注意以下幾個方面：1

12、.脫去絕對值符號是解絕對值問題的切入點脫去絕對值符號常用到相關法則、分類討論、數(shù)形結合等知識方法.2.恰當?shù)剡\用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看表示數(shù)的點到原點的距離；表示數(shù)、數(shù)的兩點間的距離.3.靈活運用絕對值的基本性質；例1已知: 其中,，那么的最小值為_.(“CASIO杯”河南省競賽題)試一試 結合已知條件判斷出每一個絕對值符號內(nèi)式子的正負性，再去掉絕對值符號.例2式子的所有可能的值有( ).A.個B.個C.個D.無數(shù)個試一試根據(jù)、的符號所有可能情況，去掉絕對值符號，這是解本例的關鍵.例3 (1)已知,求的值.(“華羅庚杯”香港中學競賽題) (2)設、為整數(shù)，且，求的值.(“希望杯”邀請賽試題

13、)試一試 對于（1),由非負數(shù)的性質先導出、的值;對于(2)，寫成兩個非負整數(shù)的和的形式又有幾種可能?這是解(2)的突破口.例4閱讀下列材料并解決有關問題：我們知道現(xiàn)在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|時，可令：和，分別求得， (稱，分別為與的零點值)在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值和可將全體有理數(shù)分成不重復且不遺漏的如下種情況：(1)；(2)；(3).從而化簡代數(shù)式可分以下種情況：(1)當 時，原式;(2)當時，原式；(3)當時，原式.綜上討論，原式通過以上閱讀，請你解決以下問題：(1)分別求出和的零點值；(2)化簡代數(shù)式.(云南省中考題)試一試 在閱讀理解的基礎上化簡求值.例

14、5 (1）當取何值時，有最小值?這個最小值是多少?（2）當取何值時，有最大值?這個最大值是多少?（3）求的最小值.（4）求的最小值.分析對于（3）、（4）可先運用零點分段討論法去掉絕對值符號，再求最小值;也可利用絕對值的幾何意義，即在數(shù)軸上找一表示的點，使之到表示、的點 (:或表示、的點）的距離和最小.解(1）當時，原式有最小值，最小值為.（2）當時，原式有最大值，最大值為.（3）當時，原式有最小值，最小值為.（4）當時，原式有最小值，最小值為.對于（3），給出另一種解法：當時，原式，最小值為；當時，原式，最小值為；當時，原式,最小值為.綜上所述，原式有最小值等于.以退求進例6少年科技組制成一

15、臺單項功能計算器，對任意兩個整數(shù)只能完成求差后 再取絕對值的運算，其運算過程是:輸人第一個整數(shù)，只顯示不運算，接著再輸人整數(shù)心后則顯示的結果，此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結果進行求差取絕對值的運算.現(xiàn)小明將從到這個整數(shù)隨意地一個一個地輸人,全部輸入完畢之后顯示的最后結果設為，試求出的最大值，并說明理由.分析 先考慮輸入個數(shù)較少的情形，并結合奇偶分析調(diào)整估值，一步步求出的最大值.解 由于輸入的數(shù)都是非負數(shù)，當,時，不超過、中最大的數(shù)，對，,則不超過工、中最大的數(shù)，設小明輸入這個數(shù)的次序是,.相當于計算: ，因此的值.另外從運算奇偶性分析，、為整數(shù)，與奇偶性相同，因此與的奇偶性相同，但偶數(shù).于是斷定，我們證明可以取到.對 ,按如下次序：，,對于均成立.因此，可按上述辦法依次輸入最后顯示結果為,而后，故的最大值為.數(shù)學沖浪知識技能廣場1.數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且,則_.2.已知，,且，那么_.3.化簡_. (北京市競賽題）4.已知有理數(shù)、