雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用

1、上的高分別為BD、AE，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)D、E的橢圓與雙曲雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用舉例1.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的2倍,且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）44D.y28x2 =4 =的倒數(shù)和 為 （A. 1 B. 2 C 325.直線y= k（x + .2）與雙曲線:y2 = 1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k此雙曲線上，貝y圓心到雙曲線中心的距離是.答案:463答案：B2 22. 設(shè)P是雙曲線 £ = 1（a>0）上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x 2y= 0, F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|= 3,則呼| 等于（）A. 7B.

2、 6 C. 5D. 3答案：Ax2 y3. （2011湖南高考）設(shè)雙曲線72 y = 1（a>0）的漸近線方程為 3xi2ya 9=0,則a的值為（）A. 4B. 3 C. 2D. 1答案 ：C4. 如圖 1 所示，在 ABC 中，/ CAB = Z CBA = 30° AC、BC 邊的不同取值有（）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)答案：D2 26. 已知點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線字一善=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于 A, B兩點(diǎn)，若 ABF1是銳角三角形，則 該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. （ 2+ 1,+° ）b.（1 ,

3、V3）c.（1,1 +V2）d.血,+°）答案：Cx2 y27. 已知圓C過(guò)雙曲線9 1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在2 2雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則 AFB的面積為8. 設(shè)雙曲線X 16= 1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F平行于點(diǎn)，求|AB|.11. （15分）過(guò)雙曲線M : x2b2= 1的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線I, 若I與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn) B、C,且|AB| =|BC|，求雙曲線 M的離心率.12. （15分）直線I: y= kx+ 1與雙曲線C : 2x2 y2= 1的右支交于不 同的兩點(diǎn)A、B.（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)

4、數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線 C的右 焦點(diǎn)F?若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.答案：329.雙曲線中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為FC.7, 0）,直線y = x 1與其相交于M , N兩點(diǎn),MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一舟，則雙曲線的方程為x2 y2答案：2 5 = 110. （10分）雙曲線的兩條漸近線的方程為 y= ±. 2x,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,2 3）.（1）求雙曲線的方程；過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為60°勺直線交雙曲線于 A、B兩=0,則a的值為（)3A. 4B.C. 2D.1解析:雙曲線紋a-冷=1的漸近線方程為a -£ = 0,整理得 3x

5、7;ay=雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用舉例1.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的.2倍,且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）B.y2442x_4 =解析：由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，從而可設(shè)方程為器一b2 =1(a>0, b>0).T 頂點(diǎn)為(0,2), a a= 2.又v實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于焦距的2倍,a 2a+ 2b= 2 2c.又 v a2 + b2= c2, a 解得 b2= 4.y2 x2a所求方程為y = 1.442. 設(shè)P是雙曲線M¥ = 1（a>0）上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程a 9為3x 2y= 0,F2分別是雙曲線的左、右焦

6、點(diǎn)，若|PR|= 3,則陽(yáng)等于（）A. 7B. 6C. 5D. 333 3解析：由方程可得漸近線為y= 士x, a3=aa 2a a= 2.又v |PF* = 3小于兩頂點(diǎn)間的距離4,a點(diǎn)P只能在雙曲線的左支上.a 由 |PF|PF1|= 2a,得 |PF2|= |PFj + 2a= 3+ 4= 7.答案：Ax2 y23. （2011湖南咼考）設(shè)雙曲線2 y = 1（a>0）的漸近線方程為 3x±2ya 9答案：C的不同取值有（）A. 1個(gè) B. 2個(gè)C. 3個(gè) D . 4個(gè)解析：由已知可得，雙曲線的漸近線方程為 y=£x,頂點(diǎn)（±,0），而直線恒過(guò)（2,

7、0）,故有兩條與漸近線成平行，有兩條切線，共4條直4.如圖 1 所示，在 ABC 中，/ CAB = Z CBA = 30° AC、BC 邊 上的高分別為BD、AE，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)D、E的橢圓與雙曲 線的離心率的倒數(shù)和為（ ）線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，故選 D.A. 1B. 2C. 3D. 2 3解析：如題圖，設(shè)AB = 2c,由于/CAB = Z CBA = 30°答案：D6.已知點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線x2 b = 1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于 A, B兩點(diǎn)，若 ABF1是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）則 AE = BD =

8、c, BE = AD = 3c.A. ( 2 + 1,+乂 )C. (1,1 + 2)則橢圓的離心率為23+ 1,雙曲線的離心率為故兩個(gè)離心率的倒數(shù)和為，3.答案：Cx25.直線y= k（x + .2）與雙曲線” y2 = 1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則kB. (1,3)圖2解析：如圖2所示.由于Z F1AB =Z F1B A, ABF1為銳角三角形,故/ AFiB為銳角.故只需要/ AFiF2<45°即可b22 2 lAFcla c a即 ice： i<1,二 J=<1 即 c2 a2v2ac.IF1F2I2c 2ac即 e2 2e 1<0,解得 1- 2<

9、e<1 + .2,又因?yàn)?e>1，故 1<e<1 + 2答案：C±437)或 (4,16.易求得它到雙曲線中心的距離為罟.7.已知圓C過(guò)雙曲線X9 16= 1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是解析：由雙曲線的幾何性質(zhì)，易知圓 C過(guò)雙曲線同一支上的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，所以圓C的圓心的橫坐標(biāo)為±4故圓心坐標(biāo)為（4,解析：如圖3,雙曲線漸近線方程為4 y=§x, F（5,0）,4二直線過(guò)F且斜率為§,4方程是 y="3（x 5）,答案：乎&設(shè)雙曲線X9 16= 1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)

10、F平行于y=4 x- 5Q<=916=雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則 AFB的面積為x2 (x 5)29 -917即 10x= 34, x=,y=-3215而 |AF| = c a= 5 3= 2,答案:3215M(x1, yd, N(X2,y2)，則 a- 7i=1,1132 32Sfb = 2 |AF| |y|= 2X 2X15=話9. 雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F( 7, 0),直線y = x12與其相交于M , N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一f,則雙曲線的方程為故雙曲線方程為% 召=1.答案：x2y=110. (10分)雙曲線的兩條漸近線的方程為 y= 士. 2

11、x,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2 3).(1) 求雙曲線的方程；(2) 過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交雙曲線于 A、B兩 點(diǎn)，求|AB|.解：(1)丁雙曲線的兩條漸近線方程為y=士. 2x,可設(shè)雙曲線的方程為2X25解析：由題意知中點(diǎn)坐標(biāo)為(一f, 3), 2設(shè)雙曲線方程為拿一= 1.a 7 a2 y2=入何0)又T雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3, 2 3),代入方程可得 入=6,7 a2，一得X1 + X2 X1 X2屮 + y y1 y27 a22 2二所求雙曲線的方程為:善=1.X1 + X2a2y1 y2 . 2 ，y1 + y27 a X1 X2設(shè) A(X1, yd、B(X2, y2),

12、過(guò)F且傾斜角為60°的直線方程為y= 3(x 3),所以3 = a2=7a2,3解得a2 = 2,y= 3 x3聯(lián)立 2x2y2 = 6得 x2 18x + 33=0,由韋達(dá)定理得 X1 + X2= 18, X1X2= 33,1C(b1=2 324132= 16 3，即弦長(zhǎng) |AB|= 16 3211. (15分)過(guò)雙曲線M : x2 b = 1的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線I,若I與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn) B、C,且|AB| =|BC|，求雙曲線M的離心率. 解：由雙曲線M為x2 2= 1,二左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),兩條漸近線為y=ibx又T直線I的斜率為1,I的方程為

13、y= x+1.從而可求得直線I : y= x+1與漸近線y= bx的交點(diǎn)為 b,b2 b貝卩=b，得b= 3,2 b 12 b 1c=12 + 32 = 10, e=a= 10.雙曲線的離心率為10.12. (15分)直線I: y= kx+ 1與雙曲線C : 2x2 y2= 1的右支交于不 同的兩點(diǎn)A、B.(1) 求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線 C的右焦點(diǎn)F?若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：將直線I的方程y= kx+1代入雙曲線C的方程2x2 y2= 1 后，整理得，(k2 2)x2 + 2kx + 2 = 0.依題意，直線I與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故AC的中點(diǎn)為(丄 ,L),2(b 1) 2(b 1)2k2 2半 0,= 2k 2 8 k2 2 >0,2k nk2 2，k22 >0.2解得k的取值范圍是2<k< 2.設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi, yi)、(X2, y2),則由式得Xi + X2 =2k2 k2，整理得(k2 + 1)XiX2 + (k c)(Xi + X2