彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)分析

1、第二章應(yīng)力狀態(tài)分析一、內(nèi)容介紹彈性力學(xué)的研究對(duì)象為三維彈性體，因此分析從微分單元體入手，本章的任務(wù)就是從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，建立平衡微分方程和面力邊界條件。應(yīng)力狀態(tài)是本章討論的首要問題。由于應(yīng)力矢量與內(nèi)力和作用截面方位均有關(guān)。因此，一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力是不同的。確定一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。首先是確定應(yīng)力狀態(tài)的描述方法，這包括應(yīng)力矢量定義，及其分解為主應(yīng)力、切應(yīng)力和應(yīng)力分量；其次是任意截面的應(yīng)力分量的確定轉(zhuǎn)軸公式；最后是一點(diǎn)的特殊應(yīng)力確定，主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力和應(yīng)力圓等。應(yīng)力狀態(tài)分析表明應(yīng)力分量為二階對(duì)稱張量。本課程分析中使用張量符號(hào)描述物理量和基本方程，

2、如果你沒有學(xué)習(xí)過張量概念，請(qǐng)進(jìn)入附錄一，或者查閱參考資料。本章的另一個(gè)任務(wù)是討論彈性體內(nèi)一點(diǎn)微分單元體的平衡。彈性體內(nèi)部單元體的平衡條件為平衡微分方程和切應(yīng)力互等定理；邊界單元體的平衡條件為面力邊界條件。二、重點(diǎn)1、應(yīng)力狀態(tài)的定義：應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量；2、平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理；3、面力邊界條件；4、應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式；5、應(yīng)力狀態(tài)特征方程和應(yīng)力不變量；知識(shí)點(diǎn)：體力；面力；應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量；應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量；平衡微分方程；面力邊界條件；主平面與主應(yīng)力；主應(yīng)力性質(zhì)；截面正應(yīng)力與切應(yīng)力；三向應(yīng)力圓；八面體單元；偏應(yīng)力張量不變量；切應(yīng)力互等定理；應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸

3、公式；平面問題的轉(zhuǎn)軸公式；應(yīng)力狀態(tài)特征方程；應(yīng)力不變量；最大切應(yīng)力；球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量§2.1體力和面力學(xué)習(xí)思路:本節(jié)介紹彈性力學(xué)的基本概念體力和面力，體力Fb和面力Fs的概念均不難理解。應(yīng)該注意的問題是，在彈性力學(xué)中，雖然體力和面力都是矢量，但是它們均為作用于一點(diǎn)的力，而且體力是指單位體積的力；面力為單位面積的作用力。體力矢量用Fb表示，其沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi（i=1，2，3）或者Fbx、Fby和Fbz表示，稱為體力分量。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。體力和面力分量的方向均規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

4、1、體力；2、面力。1、體力作用于物體的外力可以分為兩種類型：體力和面力。所謂體力就是分布在物體整個(gè)體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。面力是分布在物體表面上的力，例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。為了表明物體在xyz 坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)P 所受體力的大小和方向，在P點(diǎn)的鄰域取一微小體積元素V，如圖所示設(shè)V 的體力合力為F，則P點(diǎn)的體力定義為令微小體積元素V 趨近于0，則可以定義一點(diǎn)P的體力為一般來講，物體內(nèi)部各點(diǎn)處的體力是不相同的。物體內(nèi)任一點(diǎn)的體力用Fb表示，稱為體力矢量，其方向由該點(diǎn)的體力合力方向確定。體力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi( i = 1

5、,2,3)或者Fbx, Fby, Fbz表示，稱為體力分量。體力分量的方向規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。應(yīng)該注意的是：在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力。2、面力類似于體力，可以給出面力的定義。對(duì)于物體表面上的任一點(diǎn)P，在P 點(diǎn)的鄰域取一包含P點(diǎn)的微小面積元素S，如圖所示設(shè)S 上作用的面力合力為 F，則P 點(diǎn)的面力定義為面力矢量是單位面積上的作用力，面力是彈性體表面坐標(biāo)的函數(shù)。一般條件下，面力邊界條件是彈性力學(xué)問題求解的主要條件。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。面力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。彈性力學(xué)中的面力均定義為單位

6、面積的面力。§2.2應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)學(xué)習(xí)思路:物體在外界因素作用下，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，物體內(nèi)部相互作用力稱為內(nèi)力。為討論彈性體的強(qiáng)度，將單位面積的內(nèi)力，就是內(nèi)力集度定義為應(yīng)力。pn為過任意點(diǎn)M，法線方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量。應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且即使在同一點(diǎn)，也由于截面的法線方向n的方向改變而變化。一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。討論一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化趨勢稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。凡是應(yīng)力均必須說明是物體內(nèi)哪一點(diǎn)，并且通過該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于研究物體的強(qiáng)度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個(gè)確定點(diǎn)的各個(gè)截面的應(yīng)力矢量，

7、就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力。為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)力矢量；2、應(yīng)力矢量的分解；3、應(yīng)力分量。1、應(yīng)力矢量物體在外界因素作用下，例如外力，溫度變化等，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力稱為內(nèi)力。內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計(jì)算內(nèi)力的截面暴露出來，通過平衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F。內(nèi)力的分布一般是不均勻的。為了描述任意一點(diǎn)M的內(nèi)力，在截面上選取一個(gè)包含M的微

8、面積單元S，如圖所示則可認(rèn)為微面積上的內(nèi)力主矢F的分布是均勻的。設(shè)S 的法線方向?yàn)閚，則定義：上式中pn為微面積S 上的平均應(yīng)力。如果令S 逐漸減小，并且趨近于零，取極限可得 上述分析可見：pn是通過任意點(diǎn)M，法線方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量。應(yīng)力pn是矢量，方向由內(nèi)力主矢F確定，又受S方位變化的影響。應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且即使在同一點(diǎn)，也由于截面的法線方向n的方向改變而變化。這種性質(zhì)稱為應(yīng)力狀態(tài)。因此凡是應(yīng)力均必須說明是物體內(nèi)哪一點(diǎn)，并且通過該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力。一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于研究物體的強(qiáng)度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個(gè)

9、確定點(diǎn)的各個(gè)截面的應(yīng)力矢量，就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力。為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。 2、應(yīng)力矢量的分解討論一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化趨勢稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。 應(yīng)力矢量的一種分解方法是將應(yīng)力矢量pn在給定的坐標(biāo)系下沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解，如用px, py, pz表示其分量，則 pn=px i + py j+ pz k，這種形式的分解并沒有工程實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。它的主要用途在于作為工具用于推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程。另一種分解方法，如圖所示，是將應(yīng)力矢量 pn

10、沿微分面S的法線和切線方向分解。與微分面S 法線 n方向的投影稱為正應(yīng)力，用sn表示；平行于微分面S 的投影稱為切應(yīng)力或剪應(yīng)力，切應(yīng)力作用于截面內(nèi)，用tn表示。彈性體的強(qiáng)度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān)，因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應(yīng)力分解形式。由于微分面法線 n 的方向只有一個(gè)，因此說明截面方位就確定了正應(yīng)力 sn 的方向。但是平行于微分面的方向有無窮多，因此切應(yīng)力tn不僅需要確定截面方位，還必須指明方向。3、應(yīng)力分量為了表達(dá)彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)M 的應(yīng)力狀態(tài)，利用三個(gè)與坐標(biāo)軸方向一致的微分面，通過M點(diǎn)截取一個(gè)平行六面體單元，如圖所示。將六面體單元各個(gè)截面上的應(yīng)力矢量分別向3個(gè)坐標(biāo)軸投影，可以得

11、到應(yīng)力分量sij。應(yīng)力分量的第一腳標(biāo) i 表示該應(yīng)力所在微分面的方向，即微分面外法線的方向；第二腳標(biāo) j 表示應(yīng)力的方向。如果應(yīng)力分量與 j 坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。如果兩個(gè)腳標(biāo)相同，ij，則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向一致，這是正應(yīng)力，可以并寫為一個(gè)腳標(biāo)，例如sx。如果兩腳標(biāo)不同，ij，則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向不同，這是切應(yīng)力，例如txy。六面體單元的3對(duì)截面共有九個(gè)應(yīng)力分量sij。應(yīng)該注意：應(yīng)力分量是應(yīng)力矢量在坐標(biāo)軸上的投影，因此是標(biāo)量，而不是矢量。在已知的坐標(biāo)系中應(yīng)力狀態(tài)通常用應(yīng)力張量表示。使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。§2.3斜截面上的應(yīng)力 應(yīng)力矢

12、量與應(yīng)力分量學(xué)習(xí)思路:應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且也由于截面的法線方向n的方向改變而變化，研究這一變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。如果應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，那么應(yīng)力分量與其它應(yīng)力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系。本節(jié)分析應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，為深入討論應(yīng)力狀態(tài)作準(zhǔn)備。利用三個(gè)坐標(biāo)平面和一個(gè)任意斜截面構(gòu)造微分四面體單元，通過四面體單元探討坐標(biāo)平面的應(yīng)力分量和斜截面上的應(yīng)力矢量的關(guān)系。根據(jù)平衡關(guān)系，推導(dǎo)任意斜截面的應(yīng)力矢量、法線方向余弦和各個(gè)應(yīng)力分量之間的關(guān)系。分析表明：一點(diǎn)的應(yīng)力分量確定后，任意斜截面的應(yīng)力矢量是確定的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、 分四面體單元；2、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量。1、微分四面體

13、單元一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量如果能夠完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則其必須能夠表達(dá)通過該點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力矢量。為了說明這一問題，在O點(diǎn)用三個(gè)坐標(biāo)面和一任意斜截面截取一個(gè)微分四面體單元，如圖所示。斜截面的法線方向矢量為n，它的三個(gè)方向余弦分別為l，m和n。 設(shè)斜截面上的應(yīng)力為pn，i，j 和 k 分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，pn在坐標(biāo)軸上的投影分別為px, py, pz。則應(yīng)力矢量可以表示為 pn = pxi+ py j+ pz k同樣，把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標(biāo)軸分解，有Fb = Fbxi+ Fby j+ Fbz k設(shè)S為ABC的面積，則 OBC=lS,  

14、60; OCA=mS,    OAB=nSABC的法線方向的單位矢量可表示為 n = l i+ l j + m k2、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿足平衡條件，設(shè)h為O點(diǎn)至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得將公式 代入上式，則     對(duì)于微分四面體單元，h與單元體棱邊相關(guān)，因此與1相比為小量，趨近于零，因此同理 如果采用張量記號(hào)，則上述公式可以表示為上式給出了物體內(nèi)一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量和通過同一點(diǎn)的各個(gè)微分面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。這一關(guān)系式表明，只要有了應(yīng)力分量，就能夠確定一點(diǎn)任意截面的應(yīng)力矢量，或者正應(yīng)力和

15、切應(yīng)力。因此應(yīng)力分量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。§2.4平衡微分方程學(xué)習(xí)思路:物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達(dá)到平衡位置。平衡不僅是指整個(gè)物體，而且彈性體的任何部分也是平衡的。本節(jié)通過微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡。應(yīng)該注意：在討論微分單元體平衡時(shí)，考慮到坐標(biāo)的微小變化將導(dǎo)致應(yīng)力分量的相應(yīng)改變。即坐標(biāo)有增量時(shí)，應(yīng)力分量也有對(duì)應(yīng)的增量。這個(gè)增量作為高階小量，如果不涉及微分單元體平衡時(shí)是可以不考慮的。微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡，確定了應(yīng)力分量與體力之間的關(guān)系。又稱為納維（Navier）方程。平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部應(yīng)力分量與體力之間的微分關(guān)系，是彈性力學(xué)的第

16、一個(gè)基本方程。切應(yīng)力互等定理是彈性體力矩平衡的結(jié)果。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、微分單元體及平衡關(guān)系； 2、平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理。1、微分單元體及平衡關(guān)系物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達(dá)到平衡位置。不僅整個(gè)物體是平衡的，而且彈性體的任何部分也都是平衡的。為了考察彈性體內(nèi)部的平衡，通過微分平行六面體單元討論任意一點(diǎn)M 的平衡。在物體內(nèi)，通過任意點(diǎn)M，用三組與坐標(biāo)軸平行的平面截取一正六面體單元，單元的棱邊分別與x，y，z軸平行，棱邊分別長dx，dy，dz，如圖所示討論微分平行六面體單元的平衡：在x面上有應(yīng)力分量sx，txy和 txz；在x+dx面上，應(yīng)力分量相對(duì)x 截面有一個(gè)增量，取一階增量，則對(duì)y，z

17、方向的應(yīng)力分量作同樣處理。 根據(jù)微分單元體x方向平衡，F(xiàn)x=0，則 簡化并且略去高階小量，可得同理考慮y，z方向，有上述公式給出了應(yīng)力和體力之間的平衡關(guān)系，稱為平衡微分方程，又叫納維（Navier）方程。用張量形式表示，可以寫作 如果考慮微分單元體的力矩平衡， 則可以得到t xy =t yx， t yz=tzy， tzx=txz由此可見，切應(yīng)力是成對(duì)出現(xiàn)的，9個(gè)應(yīng)力分量中僅有6個(gè)是獨(dú)立的。上述關(guān)系式又稱作切應(yīng)力互等定理。用張量形式表示，則sij = sji§2.5面力邊界條件學(xué)習(xí)思路: 在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力分量必須與體力滿足平衡微分方程；在彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界

18、條件，以維持彈性體表面的平衡。面力邊界條件的推導(dǎo)時(shí)，參考了應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量關(guān)系表達(dá)式。只要注意到物體邊界任意一點(diǎn)的微分四面體單元表面作用應(yīng)力分量和面力之間的關(guān)系就可以得到。面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，而平衡微分方程描述物體內(nèi)部的平衡。當(dāng)然，對(duì)于彈性體，這僅是靜力學(xué)可能的平衡，還不是彈性體實(shí)際存在的平衡。面力邊界條件確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、面力邊界條件。1、面力邊界條件物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)，不僅整體，而且任意部分都是平衡的。在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力分量必須與體力滿足平衡微分方程；在彈性體的表面，應(yīng)力分量須與表面力滿足面力邊界條件，以滿

19、足彈性體表面的平衡?？紤]物體表面任一微分四面體的平衡，如圖所示。由于物體表面受到表面力，如壓力和接觸力等的作用，設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz ，物體外表面法線n的方向余弦為l，m，n。參考應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，可得用張量符號(hào)可以表示為上述公式是彈性體表面微分單元體保持平衡的必要條件，公式左邊表示物體表面的外力，右邊是彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量。公式給出了應(yīng)力分量與面力之間的關(guān)系，稱為靜力邊界條件或面力邊界條件。平衡微分方程和面力邊界條件都是平衡條件的表達(dá)形式，前者表示物體內(nèi)部的平衡，后者表示物體邊界部分的平衡。顯然，若已知應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和面力邊界條件，則物體

20、平衡；反之，如物體平衡，則應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和面力邊界條件。§2.5坐標(biāo)變換的應(yīng)力分量和應(yīng)力張量學(xué)習(xí)思路:一點(diǎn)的應(yīng)力不僅隨著點(diǎn)的位置改變而變化，而且由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。因此必須探討一點(diǎn)任意截面應(yīng)力之間的變化關(guān)系。應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，因此確定不同截面應(yīng)力分量的變化規(guī)律，就可以確定應(yīng)力狀態(tài)。本節(jié)分析坐標(biāo)系改變時(shí)應(yīng)力分量的變化規(guī)律。為了簡化分析，首先假設(shè)斜截面的法線與新坐標(biāo)軸方向相同，建立斜截面應(yīng)力矢量表達(dá)式。然后利用斜截面應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，將應(yīng)力矢量投影于各個(gè)坐標(biāo)軸得到應(yīng)力分量表達(dá)式。應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式說明：應(yīng)力分量滿足張量變換條件。

21、根據(jù)切應(yīng)力互等定理，應(yīng)力張量是二階對(duì)稱張量。轉(zhuǎn)軸公式說明了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，盡管截面方位的變化導(dǎo)致應(yīng)力分量改變，但是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不變的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、坐標(biāo)系的變換；2、坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢量；3、應(yīng)力分量的投影；4、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式；5、平面問題的轉(zhuǎn)軸公式。1、坐標(biāo)系的變換一點(diǎn)的應(yīng)力不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，隨著彈性體中點(diǎn)的位置改變而變化，而且即使同一點(diǎn)，由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不相同。一點(diǎn)的應(yīng)力隨著截面的法線方向的改變而變化稱為應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)分析就是討論一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律。由于應(yīng)力分量可以描述應(yīng)力狀態(tài)，因此討論坐標(biāo)系改變時(shí)，一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量的變化就可以確定應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)坐標(biāo)系

22、改變時(shí)，同一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量將作如何的改變。容易證明，坐標(biāo)系僅作平移變換時(shí)，同一點(diǎn)的應(yīng)力分量是不會(huì)改變的，因此只須考慮坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的情況。假設(shè)在已知坐標(biāo)系Oxyz中，彈性體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為如果讓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，得到一個(gè)新的坐標(biāo)系Ox'y'z'。設(shè)新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系：其中，li，mi，ni表示新坐標(biāo)軸Ox'y'z'與原坐標(biāo)軸Oxyz之間的夾角方向余弦。2、坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢量如果用表示同一點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量。作斜截面ABC與 x' 軸垂直，其應(yīng)力矢量為pn，則 根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的表達(dá)式 3、應(yīng)力分量的投影設(shè)i&#

23、39;，j'，k' 為新坐標(biāo)系Ox'y'z'的三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，如圖所示將 pn ，即px'向x' 軸投影就得到s x'；向y' 軸投影就得到t x'y'；向z' 軸投影就得到tx'z'；所以4、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式將應(yīng)力矢量分量表達(dá)式代入上述各式，并分別考慮 y，z方向，則可以得到轉(zhuǎn)軸公式 注意到，tx'y' =ty'x' , ty'z' =tz'y' , tx'z' =tz'x'。

24、用張量形式描述，則上述公式可以寫作 應(yīng)力變換公式表明：當(dāng)坐標(biāo)軸作轉(zhuǎn)軸變換時(shí)，應(yīng)力分量遵循張量的變換規(guī)律。坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后，應(yīng)力分量的九個(gè)分量均有改變，但是作為一個(gè)整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)是不會(huì)發(fā)生變化的。應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量，僅有六個(gè)獨(dú)立分量。新坐標(biāo)系下的六個(gè)應(yīng)力分量可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。因此，應(yīng)力張量的六個(gè)應(yīng)力分量就確定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。5、平面問題的轉(zhuǎn)軸公式對(duì)于平面問題，如Ox 軸與Ox' 成 j角。則新舊坐標(biāo)系有如下關(guān)系：根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可得上述公式即材料力學(xué)中常用的應(yīng)力變換公式。應(yīng)該注意的問題是：材料力學(xué)是根據(jù)變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量的，而彈性力學(xué)是根據(jù)坐標(biāo)軸定義應(yīng)力分量的符號(hào)的。

25、因此對(duì)于正應(yīng)力二者符號(hào)定義結(jié)果沒有差別，但是對(duì)于切應(yīng)力符號(hào)定義是不同的。例如對(duì)于兩個(gè)相互垂直的微分面上的切應(yīng)力，根據(jù)彈性力學(xué)定義，符號(hào)是相同的，而根據(jù)材料力學(xué)定義，符號(hào)是相反的。 §2.7主應(yīng)力和應(yīng)力不變量學(xué)習(xí)思路:應(yīng)力狀態(tài)的確定，不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律，而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。本節(jié)討論應(yīng)力狀態(tài)的的重要概念主平面和主應(yīng)力。主平面是指切應(yīng)力為零的平面；主平面法線方向稱為應(yīng)力主軸；主平面的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主平面和主應(yīng)力是描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù)，關(guān)系彈性體的強(qiáng)度。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程應(yīng)力狀態(tài)特征方程。對(duì)于應(yīng)力主軸，在

26、主應(yīng)力求解后，再次應(yīng)用齊次方程組和方向余弦特性可以得到。主應(yīng)力特征方程的系數(shù)具有不變性、實(shí)數(shù)性和正交性。因此稱為應(yīng)力不變量。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、主平面與主應(yīng)力；2、l，m，n的齊次線性方程組；3、應(yīng)力狀態(tài)特征方程；4、主應(yīng)力性質(zhì)；5、正交性證明。1、主平面與主應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)的確定，不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律，而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量是隨坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)而改變的，那么，對(duì)于這個(gè)確定點(diǎn)，是否可以找到這樣一個(gè)坐標(biāo)系，在這個(gè)坐標(biāo)系下，該點(diǎn)只有正應(yīng)力分量，而切應(yīng)力分量為零。也就是說：對(duì)于物體內(nèi)某點(diǎn)，是否能找到三個(gè)相互垂直的微分面，面上只有正應(yīng)力而沒有切應(yīng)力。

27、答案是肯定的，對(duì)于任何應(yīng)力狀態(tài)，至少有三個(gè)相互垂直平面的切應(yīng)力為零。切應(yīng)力為零的微分面稱為主微分平面，簡稱主平面。 主平面的法線稱為應(yīng)力主軸或者稱為應(yīng)力主方向。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程。 設(shè)過點(diǎn)O與坐標(biāo)軸傾斜的微分面ABC為主微分面，如圖所示其法線方向n，既應(yīng)力主軸的三個(gè)方向余弦分別為l，m，n，微分面上的應(yīng)力矢量 pn，即主應(yīng)力的三個(gè)分量為px, py, pz。根據(jù)主平面的定義，應(yīng)力矢量 pn的方向應(yīng)與法線方向n一致，設(shè)s 為主應(yīng)力，則應(yīng)力矢量的三個(gè)分量與主應(yīng)力的關(guān)系為px =s l, py =s m, pz =s n2、l，m，n的齊次線性

28、方程組同時(shí)，根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量表達(dá)式，有將上述公式聯(lián)立求解，可以得到上述公式是一個(gè)關(guān)于主平面方向余弦 l，m，n 的齊次線性方程組。求解關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組。這個(gè)方程組具有非零解的條件為系數(shù)行列式等于零。即 3、應(yīng)力狀態(tài)特征方程展開上述行列式,可得以上方程稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程，是確定彈性體中任意一點(diǎn)主應(yīng)力的方程。其中， ， 為應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式 主對(duì)角線元素之和。是 行列式按主對(duì)角線展開的三個(gè)代數(shù)主子式之和。 是行列式 的值。由于一點(diǎn)的主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于物體所受載荷和約束條件等，而與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。因此特征方程的根是確定的，即I1, I2, I3的值是不隨坐標(biāo)軸的

29、改變而變化的。因此I1, I2, I3 分別稱為應(yīng)力張量的第一，第二和第三不變量。應(yīng)當(dāng)指出，所謂不變量是指同一點(diǎn)的應(yīng)力張量而言的，它們與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。對(duì)于不同點(diǎn)，應(yīng)力狀態(tài)不同，這些量當(dāng)然是要變化的4、主應(yīng)力性質(zhì)可以證明，特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，如用s 1， s 2，s 3 分別表示這三個(gè)根，則它們代表某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)于應(yīng)力主軸方向的確定，可以將計(jì)算所得的s 1， s 2，s 3分別代入齊次方程組的任意兩式，并且利用關(guān)系式 聯(lián)立求解，則可以求得應(yīng)力主方向。應(yīng)力不變量具有以下性質(zhì)：1、不變性：由于一點(diǎn)的正應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于彈性體所受的外力和約束條件，而與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。因此對(duì)于任意一

30、個(gè)確定點(diǎn)，特征方程的三個(gè)根是確定的，因此I1，I2，I3的值均與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量的各個(gè)分量變化，但該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對(duì)應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。2、實(shí)數(shù)性：特征方程的三個(gè)根，就是一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力，根據(jù)三次方程根的性質(zhì)，容易證明三個(gè)根均為實(shí)根，所以一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)。3、正交性：任一點(diǎn)的應(yīng)力主方向，即三個(gè)應(yīng)力主軸是正交的。下面證明主應(yīng)力的正交性：a、若s 1s 2s 3，則特征方程無重根，因此，應(yīng)力主軸必然相互垂直；b、若s 1s 2s 3，則特征方程有兩重根，s 1 和s 2的方向必然垂直于s 3的方向。而s 1 和s 2的方向可以是垂直的，也可以不垂

31、直；c、若s 1s 2s 3，則特征方程有三重根，三個(gè)應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直。這就是說，任何方向都是應(yīng)力主軸。5、正交性證明證明應(yīng)力不變量的正交性。假設(shè)主應(yīng)力s 1s 2s 3的方向余弦分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），由于滿足齊次方程組，有 將上述公式的前三式分別乘以 l2，m2和n2 ，中間三式分別乘以-l1，-m1，-n1，然后將六式相加，可得同理根據(jù)上述關(guān)系式，如果s 1s 2s 3，有l(wèi)1l2+m1m2+n1n20， l2l3+m2m3+n2n3 0， l1l3+m1m3+n1n30上式說明如果三個(gè)主應(yīng)力均不相等，則三個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂

32、直的。如果s 1s 2s 3，有l(wèi)2l3+m2m3+n2n3 0， l1l3+m1m3+n1n3 0而l1l2+m1m2+n1n2可以等于零，也可以不等于零。 這說明s 3的方向同時(shí)與s 1和s 2的方向垂直，而s 1和s 2的方向可以垂直，也可以不垂直。因此所有與s 3垂直的方向都是s 1和s 2的應(yīng)力主方向。如果s 1s 2s 3，則 l1l2+m1m2+n1n2， l2l3+m2m3+n2n3 和 l1l3+m1m3+n1n3均可以等于零，也可以不等于零。也就是說任何方向都是應(yīng)力主方向。由此證明應(yīng)力不變量的正交性。§2.8應(yīng)力圓和最大切應(yīng)力學(xué)習(xí)思路:應(yīng)力狀態(tài)的確定，還需要討論一

33、點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力之間的變化關(guān)系。本節(jié)通過討論任意截面正應(yīng)力與切應(yīng)力的關(guān)系，建立三向應(yīng)力圓概念，并且通過應(yīng)力圓確定一點(diǎn)的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力。分析中應(yīng)用任意斜截面上的應(yīng)力矢量可以通過應(yīng)力分量的特殊形式主應(yīng)力表達(dá)，也可以分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力，建立主應(yīng)力與正應(yīng)力和切應(yīng)力的關(guān)系?？紤]斜截面法線的三個(gè)方向余弦，則可以確定一點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力與三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系。構(gòu)造一個(gè)以正應(yīng)力為橫軸，切應(yīng)力為豎軸的應(yīng)力平面，則一點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力位于應(yīng)力平面的三個(gè)由主應(yīng)力確定的應(yīng)力圓之內(nèi)。為了進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài)，最后分析八面體單元應(yīng)力。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力；2、斜截面方向余弦；3、三向應(yīng)力圓；4、最大切應(yīng)力；

34、5、八面體單元；6、八面體單元應(yīng)力。1、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通過六個(gè)應(yīng)力分量確定，主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是描述應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù)。但僅僅這些，對(duì)于應(yīng)力狀態(tài)分析還不夠，本節(jié)將進(jìn)一步討論任意斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化。以三個(gè)相互垂直的應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)三個(gè)主應(yīng)力為應(yīng)力分量為s 1，s 2, s 3，即O點(diǎn)附近有任意斜截面ABC，它的法線方向?yàn)閚（l，m，n）。斜截面上的應(yīng)力矢量pn可分解為兩部分：沿法線方向的正應(yīng)力s n 和沿切線方向的切應(yīng)力 t n，如圖所示根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系展開可得因?yàn)?根據(jù)應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式 還有2、斜截面方向余弦關(guān)于l，m，n聯(lián)立求解上述

35、公式，可以得到當(dāng)斜截面方位變更時(shí)，法線的方向余弦n 隨著改變，因此正應(yīng)力s n和切應(yīng)力t n也隨之變化。這里有正應(yīng)力s n和切應(yīng)力t n 兩個(gè)變量，如果建立一個(gè)平面坐標(biāo)系，以s n為橫軸，t n為縱軸，則斜截面上的兩個(gè)應(yīng)力分量（s n，t n）恰好是這個(gè)坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)。如圖所示設(shè)s1s 2s 3，則因?yàn)閘2 ,m2 ,n2均大于或等于零，因此根據(jù)上述公式的第一式，可以得到3、三向應(yīng)力圓上式可以改寫為 上述不等式表示在應(yīng)力平面上，圓心在橫軸，橫坐標(biāo)為（s 2+s 3）/2，半徑為（s 2-s 3）/2的圓C1圓周及其以外的區(qū)域。同理考慮公式的第二式，可得它表達(dá)了圓C2的圓周及其內(nèi)部區(qū)域。對(duì)于公

36、式的第三式，可得它表達(dá)了圓C3圓周及其外部區(qū)域。綜上所述，斜截面的方位改變時(shí)，截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力（s n ，t n ）只能位于圓C1，C2和C3的圓周所圍成的區(qū)域之內(nèi)。這三個(gè)圓C1，C2和C3是兩兩相切的，稱為應(yīng)力圓 。4、最大切應(yīng)力根據(jù)應(yīng)力圓，對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，不難得到下列結(jié)論：根據(jù)應(yīng)力圓，縱坐標(biāo)最大處即最大切應(yīng)力的值，它的橫坐標(biāo)為(s 1+s3)/2，將它們回代到公式，可得最大切應(yīng)力作用平面的方向余弦為l2 = 0.5, m2 = 0, n2 = 0.5m=0表示最大切應(yīng)力作用面的法線與應(yīng)力主軸2相互垂直，因此這一作用面必然通過應(yīng)力主軸2。l2 = 0,n2 = 0.5 說明最大切應(yīng)

37、力作用面的法線與應(yīng)力主軸1和3都成45°角。根據(jù)上述分析，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的最大正應(yīng)力為s1，最小正應(yīng)力為s 3。最大切應(yīng)力可以通過主應(yīng)力計(jì)算，最大切應(yīng)力等于(s 1s 3)/2。最大切應(yīng)力作用平面也可以通過應(yīng)力主軸得到，其作用平面通過s 2 應(yīng)力主軸，并且與s 1和s 3應(yīng)力主軸交45°角，如圖所示。5、八面體單元下面介紹正八面體單元應(yīng)力。 以主應(yīng)力s 1, s 2, s 3 對(duì)應(yīng)的應(yīng)力主軸作為x1，x2，x3坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，選取與三個(gè)應(yīng)力主軸等傾的八個(gè)微分面構(gòu)成一個(gè)單元體，如圖所示 由于單元體的每一個(gè)微分面均為等傾面，即其法線與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角相同。設(shè)微分面的法線方向余弦為l，m，n，則由于所以對(duì)于八面體單元各微分面上的應(yīng)力矢量，我們將其分為正應(yīng)力s 8和切應(yīng)力t 8兩部分分別討論。對(duì)于八面體單元的正應(yīng)力，由公式可得 由