學(xué)而思小升初幾何二圓與立體

1、小升初名校真題專項測試-幾何篇（二）測試時間：15分鐘 姓名_ 測試成績_1、求下圖中陰影部分的面積： （05年101中學(xué)入學(xué)測試題）【解】如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補在陰影位置。可以看出，原題圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。所以陰影面積：×4×4÷4-4×4÷2=4.56。2、從一個長為8厘米，寬為7厘米，高為6厘米的長方體中截下一個最大的正方體，剩下的幾何體的表面積是_平方厘米. （06年清華附中入學(xué)測試題）【解】最大正方體的邊長

2、為6，這樣剩下表面積就是少了兩個面積為6×6的，所以現(xiàn)在的面積為(8×7+8×6+7×6) ×2-6×6×2=220.3、有一個棱長為1米的立方體，沿長、寬、高分別切二刀、三刀、四刀后，成為60個小長方體(見左下圖).這60個小長方體的表面積總和是_平方米. （06年三帆中學(xué)考試題） 【解】原正方體表面積：1×1×66（平方米），一共切了2349（次），每切一次增加2個面：2平方米。所以表面積： 62×924（平方米）4、右上圖中每個小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長是_厘米.（3.14） （0

3、6年西城某重點中學(xué)測試題）【解】可見大圓的半徑是小圓的3倍，所以半徑為3，那么陰影部分的周長就等于7的小圓的周長加上1個大圓的周長，即7××2+×6=20。5、有四個半徑為3厘米的圓如圖擺放，求陰影的面積。 （某中學(xué)結(jié)業(yè)考試題）【解】如圖，連接四個圓心，那么有陰影部分面積為正方形面積減去4個圓的面積。則陰影部分面積為(3×2)24××32×9×(43.14)7.74平方厘米。6、一千個體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個邊長為10厘米的大正方體，大正方體表面涂油漆后再分開為原來的小正方體，這些小正方體至少有一

4、面被油漆涂過的數(shù)目是多少個？【解】：共有10×10×101000個小正方體，其中沒有涂色的為(102)×(102)×(102)512個，所以至少有一面被油漆漆過的小正方體為1000512488個。第三講 小升初專項訓(xùn)練 幾何二：圓和立體引言：立體圖形是近兩年來小生初的考察新熱點，由于立體圖形考察學(xué)生的空間想象能力，更反映學(xué)生的本身潛能，所以越來越受到學(xué)校的歡迎；而另一方面，初中很多知識點都是建立在空間問題上，所以可以說學(xué)?？疾炝Ⅲw也是為初中選拔知識鏈接性好的學(xué)生?！镜湫皖}目解析】：一、圓與扇形【例1】（） 在圖中，一個圓的圓心是O，半徑r9厘米，1215

5、º。那么陰影部分的面積是多少平方厘米？（取3.14.）方法一：思 路：要求扇形面積，只有知道圓心角的度數(shù)，所以我們退求圓心角。 解：各角標號后見下圖，因為OA=OB=OC=半徑，1215º，所以312415º 1+315º+15º =30º，56180º-30º=150°，所以7360º-150°×2=60° 所以面積=（60/360）××9×9=42.39總 結(jié)：基礎(chǔ)知識一定要牢記，象這種題就是考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識能力。方法二：運用 定

6、理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 解：圓周角定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角這樣的話，我們很快發(fā)現(xiàn)72×（1+2）2×（15º+15º）=60°，所以面積=（60/360）××9×9=42.39總 結(jié)：這種結(jié)論的運用對解題速度的提高有很大的提升，所以見過以后盡量學(xué)會運用！【例2】、（）如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個小圓和三個半圓的半徑都是1。求陰影部分的面積。方 法：面積的加減思 路：由于直接求陰影面積太麻煩,所以我們考慮用增加面積的方法來構(gòu)造新圖形. 解:由圖可見,陰影面積

7、等于1/6大圓面積減去一個小圓面積,再加上120°的小扇形面積 所以面積=×5÷6【例3】（）草場上有一個長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊（見左下圖）。問：這只羊能夠活動的范圍有多大？【解】：（此題十分經(jīng)典）如右上圖所示，羊活動的范圍可以分為A，B，C三部分，所以羊活動的范圍是二、立體幾何小學(xué)階段，我們除了學(xué)習(xí)平面圖形外，還認識了一些簡單的立體圖形，如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它們的體積、表面積的計算公式，歸納如下。見下圖。在數(shù)學(xué)競賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關(guān)鍵在于精巧的構(gòu)思和

8、恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計，把形象思維和抽象思維結(jié)合起來?！纠?】.（）用棱長是1厘米的正方塊拼成如下圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米？方法一：思 路：整體看待面積問題。解：不管疊多高，上下兩面的表面積總是3×3；再看上下左右四個面，都是2×3+1， 所以，總計9×2+7×4=18+28=46。 方法二：思 路：所有正方體表面積減去粘合的表面積解：從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，總共有14個正方體，這樣我們知道總共的表面積是：6×14=64，但總共粘合了18個面，這樣就減少了18×1=18，所以剩下的表面積是64-18=46。方法三：直接數(shù)數(shù)。思

9、 路：通過圖形，我們可以直接數(shù)出總共有46個面，每個面面積為1，這樣總共的表面積就是46。【例5】（）如圖是一個邊長為2厘米的正方體。在正方體的上面的正中向下挖一個邊長為1厘米的正方體小洞；接著在小洞的底面正中再向下挖一個邊長為1/2厘米的小洞；第三個小洞的挖法與前兩個相同，邊長為1/4厘米。那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？ 方法一：思 路：立體圖形的好處就是可以直觀視覺，雖然圖形被挖去，但6個面看過去是都還是面積不變的，特別是從上往下看是，3個正方形的下底面正好和剩下的面積等于原來的面積，這樣就只增加了3個小正方體的各自側(cè)面。解：原正方體的表面積是2×2×6

10、=24平方厘米，增加的面積1×4+(×)×4+(×)×4，所以總共面積為24+1×4+(×)×4+(×)×4=29方法二：思 路：原正方體的表面積是2×2×6=24平方厘米，在頂部挖掉一個邊長為1厘米的正方體小洞后，原大正方體的頂部表面被去掉了一個1×1的小正方形，但是內(nèi)部增加了5個1×1的面，所以總共增加了4個1×1的面，即正方形小洞的4個側(cè)面-同樣，再往下挖掉一個邊長為的正方體后，大正方體的表面積又增加4個×的小正方形的面積.最后挖

11、掉一個邊長為厘米的正方體后，大正方體的表面積又增加了4個×的小正方體的面積.所以最終大正方體的表面積=24+1×4+(×)×4+(×)×4=29 總 結(jié)：立體圖形中一定要學(xué)會想象，特別是這種面積分開時，我們?nèi)钥梢钥闯上噙B的，這就要求學(xué)生必須學(xué)會如何看待面積的變化?！纠?】（）如圖是一個邊長為4厘米的正方體，分別從前后、左右、上下各面的中心處向內(nèi)挖去一個邊長1厘米的正方體，做成一種玩具。它的表面積是多少平方厘米？ 方法一：4-1×2=2厘米，說明挖去小正方體后，大正方體的中心還是實心的。每挖去一個小正方體表面積增加1×

12、;1×4=4平方厘米。共挖去6個小正方體，表面積共增加4×6=24平方厘米。解答：原來表面積=4×4×6=96平方厘米，新增表面積=1×1×4×6=24平方厘米，現(xiàn)在表面積=96+24=120平方厘米。拓 展：如果上題中挖去的是邊長為1的正方形，但高是1.5呢？求產(chǎn)生新圖形的表面積？【例7】（）現(xiàn)有一個棱長為1cm的正方體，一個長寬為1cm高為2cm的長方體，三個長寬為1cm高為3cm的長方體。下列圖形是把這五個圖形合并成某一立體圖形時，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試利用下面三個圖形把合并成的立體圖形（如例）的樣子畫出來

13、，并求出其表面積。例：【解】：立體圖形的形狀如下圖所示。（此題十分經(jīng)典）從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共18cm2；從兩個側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2，共14cm2；從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2，共12cm2；隱藏著的面積有2cm2。一共有181612248（cm2）?！纠?】（）有大、中、小3個正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別是6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個水池的水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 方法一：思 路：等積變化問題，抓住體積不變。解答：將石子看成水，那么就相當(dāng)于大小兩桶水

14、分別倒入空的中、小池，中池水面高6厘米，小池水面高4厘米，由此得出中水池中石子的體積相當(dāng)于3×3×0.06 ，同理小池中的石子的體積相當(dāng)于2×2×0.04 ，這樣把這么多的水都倒入大水池中，這樣升高了： （3×3×0.06+2×2×0.04）÷（6×6）=7/360米=35/18厘米。方法二：思 路：解：將體積相等的碎石放入不同的水池中，水面升高的高度比是水池底面積比的反比。大正方形水池的底面積是6×6=36平方米。中正方形水池的底面積是3×3=9平方米。小正方形水池的底面積

15、是2×2=4平方米。大、中正方形水池的底面積比是36：9=4：1。將放入中水池，使中水池的水面升高6厘米的碎石放入大水池中。則大水池水面升高6×1/4=6/4厘米=3/2厘米。大、小正方形水池的底面積比是36：4=9：1。將放入小水池，使小水池的水面升高4厘米的碎石放入大水池中。則大水池水面升高4×1/9=4/9厘米。3/2+4/9=35/18厘米。將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高了35/18厘米?？?結(jié)：等積變化是很重要的知識點，要求學(xué)生必須學(xué)會運用?！纠?】（）今有一個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長方體?，F(xiàn)從它的上面盡可能大

16、的切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下一個正方體。問剩下的體積是多少立方厘米？ 思 路：切下的體積要最大，我們就看能切下的最大邊長是多少。因為21>15>12，所以第一塊切下的是12×12×12；把剩余部分看成12×15×（21-12）的長方體，15>12>(21-12),所以第二塊切下的是9×9×9；同理，第三塊切下的是6×6×6。解答：原來體積=21×15×12=3780立方厘米，切下的第一塊體積=12&#

17、215;12×12=1728立方厘米，切下的第二塊體積=9×9×9=729立方厘米，切下的第三塊體積=6×6×6=216立方厘米， 剩下的體積=3780-1728-729-216=1107立方厘米。 總 結(jié)：題目的思路與平面問題中長方形中切最大的正方形的思路相同，可以聯(lián)系看待。【例10】（）某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條如圖6-9所示在三個方向上加固。所用尼龍編織條的長分別為365厘米、405厘米、485厘米。若每個尼龍條加固時接頭處都重疊5厘米，由這個長方體包裝箱的體積是多少立方米？ 方法一：思 路：如果將三條尼龍繩

18、長各減去5厘米，則它們的長度分別等于長方體長加寬的2倍、長加高的2倍和高加寬的2倍，由此即可算出長方體郵件包裝箱的長、寬、高.解：去掉接頭處重疊的5厘米，三條尼龍條分別長360、400和480厘米.將它們都除以2，則得到的180、200和240厘米，分別是立方體長加寬、長加高和寬加高的長度.那么180+200+240=620厘米則是2倍的長加高加寬的長度. 因此該立方體長+高+寬=310厘米.那么310180、310200和310240就分別是立方體的高，寬和長，即130厘米、110厘米和70厘米. 從而該立方體的體積為 1.3×1.1×0.7=1.001立方米.方法二：思

19、 路：設(shè)方程解答：設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則： 2(x+y)=365-5，2(y+z)=405-5，2(z+x)=485-5， x+y+z=310厘米,x=110厘米=1.1米，y=70厘米=0.7米，z=130厘米=1.3米， 所以，長方體的體積=1.3×1.1×0.7=1.001立方米。【例11】、（）用大小相等的無色透明玻璃小正方體和紅色玻璃小正方體拼成一個大正方形體，如下圖；大正方體內(nèi)的對角線AC1，BD1，CA1，DB1所穿的小正方體都是紅色玻璃小正方體，其他部分都是無色透明玻璃小正方體，小紅正方體共用了401個，問：無色透明小正方體用了多少個？思

20、路：因為對角線穿過的都是紅色小正方體，所以我們從紅正方體入手，找出紅色的用了多少個，這樣我們通過總共的減去紅色的就是無色小正方體的個數(shù)。解：對角線AC1，BD1，CA1，DB1所穿的小正方體中除了正中央的那個小正方體，每條對角線都沒穿過相同的小正方體，所以每條對角線穿過的小正方形個數(shù)： （401-1）÷4+1=101這就表明大正方體的每條邊由101個小正方體組成，因此大正方體由101×101×101個小正方體組成，其中無色透明的小正方體有101×101×101-401=1029900?！纠?2】 （）右圖是由22個小正方體組成的立體圖形，其中共

21、有多少個大大小小的正方體？由兩個小正方體組成的長方體有多少個？【解】：正方體只可能有兩種：由1個小正方體構(gòu)成的正方體，有22個；由8個小正方體構(gòu)成的2×2×2的正方體，有4個。所以共有正方體 224=26（個）。由兩個小正方體組成的長方體，根據(jù)擺放的方向可分為下 圖所示的上下位、左右位、前后位三種，其中上下位有13個，左右位有13個，前后位有14個，共有131314=40（個）?！纠?3】（）左下圖是一個正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請在右下方的展開圖中畫出四邊形APQC的四條邊?！窘狻浚喊芽臻g圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個頂點

22、所在的位置這個關(guān)鍵，再進一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。（1）考慮到展開圖上有六個頂點沒有標出，可想象將展開圖折成立體形，并在頂點上標出對應(yīng)的符號，見左下圖。（2）根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點所在的點和棱，以及四條邊所在的平面：頂點：AA，CC，P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）將上面確定的位置標在展開圖上，并在對應(yīng)平面上連線。需要注意的是，立體圖上的A，C點在展開圖上有三個，B，D點在展開圖上有二個，所以在標點連線時必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如右上圖【例14】（）有甲、乙

23、、丙3種大小的正方體，棱長比是1：2：3。如果用這三種正方體拼成盡量小的一個正方體，且每種都至少用一個，則最少需要這三種正方體共多少？【解】： 設(shè)甲的棱長是1，則乙的棱長是2，丙的棱長是3。一個甲種木塊的體積是1×1×1=1；一個乙種木塊的體積是2×2×2=8；一個丙種木塊的體積是3×3×3=27。3+2=5。則這三種木塊拼成的最小正方體的棱長是5。體積是5×5×5=125。需要丙種木塊1塊，乙種木塊1+1×2+2×2=7塊。甲種木塊的體積是丙種木塊的體積是27，乙種木塊的體積是8×7

24、=56。125-27-56=42。需要甲種木塊42/1=42塊。1+7+42=50塊?！菊n外知識】剪正方體此題旨在培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力和動手能力將一個正方體（圖1）剪開可以展成一些不同的平面圖形（圖2）。圖1正方體               （1）    （2）    （3）    （4）    

25、0;                      圖2 正方體的平面展開圖其中的圖2的（1），（2）都是“帶狀圖”，好像是一條完整的削下來的蘋果皮。仔細觀察（1），（2）兩個圖可以發(fā)現(xiàn)，圖中的每個小正方形都有兩個邊與其它的正方形“共用”，除了兩頭的兩個正方形以外。再觀察圖（3）和圖（4），由于這兩個圖中每個都有一個正方形（粉色）有兩條以上的邊（圖（3）有3條，圖（4）有4條）與周

26、圍的正方形“共用”。所以圖（3）和圖（4）都不是“帶狀圖”。問題1：運用你的空間想象力或者動手將圖2的四個圖折成正方體。問題2：除了圖（1）和圖（2）以外還有兩個正方體的平面展開圖也是“帶狀圖”，你能找出來嗎？答案：小升初專項模擬測試題-幾何（二）1、（）如下圖，兩個半徑相等的圓相交，兩圓的圓心相距正好等于半徑，AB弦約等于17厘米，半徑為10厘米，求陰影部分的面積。解：陰影部分由兩個相等的弓形組成，我們只需要求出一個弓形面積，然后二倍就是要求的陰影面積了.由已知若分別連結(jié)AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如圖所示，就可以得到兩個等邊三角形（各邊長等于半徑），則AO2O1BO2O160°，即AO2B120°。這樣就可以求出以O(shè)2為圓心的扇形AO1BO2的面積，然后再減去三角形AO2B的面積，就得到弓形面積，三角形AO2B的面積就是二分之一底乘高，底是弦AB，高是O1O2的一半。2、（）有一個正方體，邊長是5.如果它的左上方截去一個