參數分離雖巧分類討論不笨

1、參數分離雖巧，分類討論不笨一遇到對于某個變量恒成立，求參數取值范圍的問題，同學們總是想到參數分離法，即將參數移到一邊，變量移到另一邊，然后應用這樣的結論：，轉化為求函數在某個區(qū)間的最值問題。這方法雖巧，它直接明了，擊中要害，但對于復雜的函數求最值，就遇到了困難，那我們就應該轉換思路，用另一種方法分類討論法來解決，它也不笨。下面舉幾道高考題說明。例1、（2006年全國卷）設函數，若對所有的都有成立，求的取值范圍。分析：有大部分同學立刻想到分離參數，即轉化為恒成立，應用函數的導數求最小值。但遇到極值點求不出陷入困境，解不下去。如果移項轉化為恒成立，再應用導數，對進行討論就簡單了。解：，（1） 若則

2、恒成立，所以在上是增函數，即（2） 若則由，故當時不恒成立即不恒成立。綜合（1）、（2），所以的取值范圍是。例2、（2007年全國卷理）設函數（1） 求證；（2）若對所有的都有，求的取值范圍。分析：（1）略 （2）由于成立，當時，然后對求導，再求最值，這是最容易想到的方法，但解方程有困難；如果移項對進行討論，就豁然開朗了。解：（2）令則 當時 即在上為增函數，故 又 所以恒成立；當時在上有增有減，不恒成立即不成立。綜合以上可得：的取值范圍是。例3、（2010年新課標全國卷）設函數（1），求的單調區(qū)間；（2）當時，求的取值范圍。分析：（1）略 （2）時顯然成立，當時對右邊求導，求極值但遇到了困難

3、，如果應用分類討論就迎刃而解了。解：當時，令則， 當時即在上是增函數，則又即也即恒成立。 當時由也即在上有增有減，不恒成立，也就不恒成立。綜上的取值范圍是總結：在解決實際問題時，我們總喜歡找點技巧很快解決，但有時事與愿違寸步難行，由此還是規(guī)勸同學要從最基本常用的方法考慮，不能總怕煩，有時可能并不煩，還有意想不到的效果呢！下面給出兩道供大家練習：1、 已知函數（且為常數）若對所有的都有，求的取值范圍。2、 已知函數，若在內恒成立，求的取值范圍。答案：1、 2、107.（全國理21）已知函數，曲線在點處的切線方程為。（）求、的值；（）如果當，且時，求的取值范圍。解：（），由于直線的斜率為，且過點，

4、故即解得，。（）由（）知，所以?？紤]函數，則。(i)設，由知，當時，。而，故當時，可得；當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設0<k<1.由于當x（1，）時，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾。（iii）設k1.此時（x）>0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-，

5、09.(2009山東卷文)（本小題滿分12分）已知函數,其中 （1） 當滿足什么條件時,取得極值?（2） 已知,且在區(qū)間上單調遞增,試用表示出的取值范圍.解: (1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以,即, 此時方程的根為,所以 當時,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函數極大值減函數極小值增函數所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.當時, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數極小值增函數極大值減函數所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當滿足時, 取得極值. (2)要使在區(qū)間

6、上單調遞增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以設,令得或(舍去), 當時,當時,單調增函數;當時,單調減函數,所以當時,取得最大,最大值為.所以當時,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調遞增,當時最大,最大值為,所以綜上,當時, ; 當時, 【命題立意】:本題為三次函數,利用求導的方法研究函數的極值、單調性和函數的最值,函數在區(qū)間上為單調函數,則導函數在該區(qū)間上的符號確定,從而轉為不等式恒成立,再轉為函數研究最值.運用函數與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.10.設函數，其中常數a>1()討論f(x)的單調性;()若當x0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。 解析：本題

7、考查導數與函數的綜合運用能力，涉及利用導數討論函數的單調性，第一問關鍵是通過分析導函數，從而確定函數的單調性，第二問是利用導數及函數的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。解： （I） 由知，當時，故在區(qū)間是增函數； 當時，故在區(qū)間是減函數； 當時，故在區(qū)間是增函數。 綜上，當時，在區(qū)間和是增函數，在區(qū)間是減函數。 （II）由（I）知，當時，在或處取得最小值。 由假設知 即 解得 1<a<6故的取值范圍是（1，6）87.（安徽理16）設，其中為正實數（）當時，求的極值點；（）若為上的單調函數，求的取值范圍。本題考查導數的運算，極值點的判斷，導數符號與函數單調變化之間的關系

8、，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力.解：對求導得 （I）當，若綜合,可知+00+極大值極小值所以,是極小值點,是極大值點.（II）若為R上的單調函數，則在R上不變號，結合與條件a>0，知在R上恒成立，因此由此并結合，知88.（北京理18）已知函數.(1)求的單調區(qū)間；(2)若對，都有，求的取值范圍。解：(1)，令得當時，在和上遞增，在上遞減；當時，在和上遞減，在上遞增(2) 當時，；所以不可能對，都有；當時有（1）知在上的最大值為，所以對，都有即，故對，都有時，的取值范圍為。112.（陜西理21）設函數定義在上，導函數，（1）求的單調區(qū)間和最小值；（2）討論

9、與的大小關系；（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由【分析】（1）先求出原函數，再求得，然后利用導數判斷函數的單調性（單調區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構造一個新的函數，利用導數判斷函數的單調性，并由單調性判斷函數的正負；（3）存在性問題通常采用假設存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結論【解】（1），（為常數），又，所以，即，；，令，即，解得，當時，是減函數，故區(qū)間在是函數的減區(qū)間；當時，是增函數，故區(qū)間在是函數的增區(qū)間；所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值是（2），設，則，當時，即，當時，因此函數在內單調遞減，當時，=0，；當時，=0， （3）滿足條