參數(shù)分離雖巧分類討論不笨

1、參數(shù)分離雖巧，分類討論不笨一遇到對于某個變量恒成立，求參數(shù)取值范圍的問題，同學(xué)們總是想到參數(shù)分離法，即將參數(shù)移到一邊，變量移到另一邊，然后應(yīng)用這樣的結(jié)論：，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在某個區(qū)間的最值問題。這方法雖巧，它直接明了，擊中要害，但對于復(fù)雜的函數(shù)求最值，就遇到了困難，那我們就應(yīng)該轉(zhuǎn)換思路，用另一種方法分類討論法來解決，它也不笨。下面舉幾道高考題說明。例1、（2006年全國卷）設(shè)函數(shù)，若對所有的都有成立，求的取值范圍。分析：有大部分同學(xué)立刻想到分離參數(shù)，即轉(zhuǎn)化為恒成立，應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最小值。但遇到極值點求不出陷入困境，解不下去。如果移項轉(zhuǎn)化為恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，對進行討論就簡單了。解：，（1） 若則

2、恒成立，所以在上是增函數(shù)，即（2） 若則由，故當時不恒成立即不恒成立。綜合（1）、（2），所以的取值范圍是。例2、（2007年全國卷理）設(shè)函數(shù)（1） 求證；（2）若對所有的都有，求的取值范圍。分析：（1）略 （2）由于成立，當時，然后對求導(dǎo)，再求最值，這是最容易想到的方法，但解方程有困難；如果移項對進行討論，就豁然開朗了。解：（2）令則 當時 即在上為增函數(shù)，故 又 所以恒成立；當時在上有增有減，不恒成立即不成立。綜合以上可得：的取值范圍是。例3、（2010年新課標全國卷）設(shè)函數(shù)（1），求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求的取值范圍。分析：（1）略 （2）時顯然成立，當時對右邊求導(dǎo)，求極值但遇到了困難

3、，如果應(yīng)用分類討論就迎刃而解了。解：當時，令則， 當時即在上是增函數(shù)，則又即也即恒成立。 當時由也即在上有增有減，不恒成立，也就不恒成立。綜上的取值范圍是總結(jié)：在解決實際問題時，我們總喜歡找點技巧很快解決，但有時事與愿違寸步難行，由此還是規(guī)勸同學(xué)要從最基本常用的方法考慮，不能總怕煩，有時可能并不煩，還有意想不到的效果呢！下面給出兩道供大家練習：1、 已知函數(shù)（且為常數(shù)）若對所有的都有，求的取值范圍。2、 已知函數(shù)，若在內(nèi)恒成立，求的取值范圍。答案：1、 2、107.（全國理21）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（）求、的值；（）如果當，且時，求的取值范圍。解：（），由于直線的斜率為，且過點，

4、故即解得，。（）由（）知，所以。考慮函數(shù)，則。(i)設(shè)，由知，當時，。而，故當時，可得；當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設(shè)0<k<1.由于當x（1，）時，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾。（iii）設(shè)k1.此時（x）>0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-，

5、09.(2009山東卷文)（本小題滿分12分）已知函數(shù),其中 （1） 當滿足什么條件時,取得極值?（2） 已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.解: (1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以,即, 此時方程的根為,所以 當時,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.當時, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當滿足時, 取得極值. (2)要使在區(qū)間

6、上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以設(shè),令得或(舍去), 當時,當時,單調(diào)增函數(shù);當時,單調(diào)減函數(shù),所以當時,取得最大,最大值為.所以當時,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當時最大,最大值為,所以綜上,當時, ; 當時, 【命題立意】:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.10.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)a>1()討論f(x)的單調(diào)性;()若當x0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。 解析：本題

7、考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問關(guān)鍵是通過分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。解： （I） 由知，當時，故在區(qū)間是增函數(shù)； 當時，故在區(qū)間是減函數(shù)； 當時，故在區(qū)間是增函數(shù)。 綜上，當時，在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)。 （II）由（I）知，當時，在或處取得最小值。 由假設(shè)知 即 解得 1<a<6故的取值范圍是（1，6）87.（安徽理16）設(shè)，其中為正實數(shù)（）當時，求的極值點；（）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，極值點的判斷，導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系

8、，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力.解：對求導(dǎo)得 （I）當，若綜合,可知+00+極大值極小值所以,是極小值點,是極大值點.（II）若為R上的單調(diào)函數(shù)，則在R上不變號，結(jié)合與條件a>0，知在R上恒成立，因此由此并結(jié)合，知88.（北京理18）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對，都有，求的取值范圍。解：(1)，令得當時，在和上遞增，在上遞減；當時，在和上遞減，在上遞增(2) 當時，；所以不可能對，都有；當時有（1）知在上的最大值為，所以對，都有即，故對，都有時，的取值范圍為。112.（陜西理21）設(shè)函數(shù)定義在上，導(dǎo)函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論

9、與的大小關(guān)系；（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負；（3）存在性問題通常采用假設(shè)存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結(jié)論【解】（1），（為常數(shù)），又，所以，即，；，令，即，解得，當時，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間；當時，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間；所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值是（2），設(shè)，則，當時，即，當時，因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，當時，=0，；當時，=0， （3）滿足條