定價(jià)理論期權(quán)定價(jià)理論

1、第5章 期權(quán)定價(jià)理論期權(quán)定價(jià)理論是繼資產(chǎn)組合理論、資本資產(chǎn)定價(jià)模型之后金融領(lǐng)域又一個(gè)獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的重要理論1973年，Black和Scholes發(fā)表了期權(quán)和公司債務(wù)的定價(jià)(The pricing of options and corporate liabilities)一文，提出了著名的期權(quán)定價(jià)理論同年，Merton給出了以支付連續(xù)紅利率股票為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式，并把Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式推廣到無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變異性不是常數(shù)的重要情況在本章，我們將以B1ack-Scholes期權(quán)定價(jià)公式為主線介紹與期權(quán)相關(guān)的一些知識(shí)、股票價(jià)格的行為模型、Black-Scho

2、les偏微分方程、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式、B1ack-Schotes期權(quán)定價(jià)公式的拓展模型(支付已知紅利的股票歐式期權(quán)定價(jià)和美式看漲期權(quán)定價(jià))等§5.1 期權(quán)概述5.1.1 期權(quán)的概念期權(quán)是賦予了其擁有者在未來的某時(shí)間以事先預(yù)定好的價(jià)格買賣某種金融資產(chǎn)的權(quán)利的合約從廣義上講，期權(quán)也可以指金融資產(chǎn)中含有的任何選擇權(quán)一般稱期權(quán)中規(guī)定的金融資產(chǎn)為期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)，并稱對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的商定價(jià)格為行權(quán)價(jià)格根據(jù)交易的買賣類型，可以將期權(quán)分為看漲期權(quán)和看躍期權(quán)看漲期權(quán)是指在指定日期以行權(quán)價(jià)格買入一定量的金融資產(chǎn)的合約看跌期權(quán)是指可以在指定日期以行權(quán)價(jià)格賣出一定量的金融資產(chǎn)的合約期權(quán)中指定

3、的日期稱為到期日當(dāng)投資者認(rèn)為某種金融資產(chǎn)的價(jià)格將要上漲時(shí)，就可以購(gòu)買這種金融資產(chǎn)的看漲期權(quán)，或者出售這種金融資產(chǎn)的看跌期權(quán)相反，如果認(rèn)為某種金融資產(chǎn)的價(jià)格將要下跌，則可以采取相反的操作按期權(quán)允許的行權(quán)時(shí)間劃分，期權(quán)可分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)歐式期權(quán)是指期權(quán)的行權(quán)日期是事先指定的期權(quán)；美式期權(quán)是指可以在到期日之前的任何日期行權(quán)的朗權(quán)在交易所交易的大部分期權(quán)是美式期權(quán)但是，歐式期權(quán)通常比美式期權(quán)更容易分析，并且美式期權(quán)的一些性質(zhì)總是可以從歐式期權(quán)的性質(zhì)推導(dǎo)出來根據(jù)行權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格的關(guān)系，可將期權(quán)分為實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)和平價(jià)期權(quán)三種類型對(duì)看漲期權(quán)而言，若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格高于行權(quán)價(jià)格，期權(quán)的買方執(zhí)

4、行期權(quán)特有利可圖，此時(shí)為實(shí)值期權(quán)若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格低于行權(quán)價(jià)格，期權(quán)的買方格放棄執(zhí)行期權(quán)，此時(shí)為虛值期權(quán)對(duì)看跌期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格低于行權(quán)價(jià)格為實(shí)值期權(quán)；標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格高于行權(quán)價(jià)格為虛值期權(quán)若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格等于行權(quán)價(jià)格，則看漲期權(quán)和看躍期權(quán)均為平價(jià)期權(quán)從理論上說，實(shí)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為正，虛值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為負(fù)，平價(jià)期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為零但實(shí)際上，無論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，也無論期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格處于什么水平，期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值都必然大于零或等于零，而不可能為一負(fù)值這是因?yàn)槠跈?quán)賦予買方執(zhí)行期權(quán)與否的選擇權(quán)，而沒有規(guī)定相應(yīng)的義務(wù)，當(dāng)期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為負(fù)時(shí)，買方可以選擇放棄期權(quán)期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值定義為期權(quán)本身所具

5、有的價(jià)值，也就是期權(quán)的買方如果立即執(zhí)行該期權(quán)所能獲得的收益一種期權(quán)有無內(nèi)在價(jià)值以及內(nèi)在價(jià)值的大小，取決于該期權(quán)的行權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格之間的關(guān)系期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是指期權(quán)的買方購(gòu)買期權(quán)而實(shí)際支付的價(jià)格超過該期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的那部分，一般以期權(quán)的實(shí)際價(jià)格減去內(nèi)在價(jià)值求得在現(xiàn)實(shí)的期權(quán)交易中，各種期權(quán)通常是以高于內(nèi)在價(jià)值的價(jià)格買賣的，即使是平價(jià)期權(quán)或虛值期權(quán)，也會(huì)以大于零的價(jià)格成交期權(quán)的買方之所以愿意支付額外的費(fèi)用，是因?yàn)橄ＭS著時(shí)間的推移和標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格的變動(dòng)，該期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值得以增加，使虛值期權(quán)或平價(jià)期權(quán)變?yōu)閷?shí)值期權(quán)，或使實(shí)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值進(jìn)一步提高買賣期權(quán)一般情況下有兩種動(dòng)機(jī)：一種是出于投機(jī)賺取

6、最大利潤(rùn)的想法，因?yàn)槠跈?quán)價(jià)格的波動(dòng)將導(dǎo)致獲得更大收益的機(jī)會(huì)當(dāng)然，同時(shí)也面臨產(chǎn)生更大損失的風(fēng)險(xiǎn)另一種情況是出于對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)的考慮因?yàn)槠跈?quán)的行使不是必須的(期權(quán)賦予了其投資者做某事的權(quán)利，但持有者不一定必須行使該權(quán)利這一特點(diǎn)使得朋權(quán)不同于遠(yuǎn)期、期貨等金融資產(chǎn)投資者簽署遠(yuǎn)期和期貨合約時(shí)的成本為零，但投資者購(gòu)買一張期權(quán)合約必須支付期權(quán)費(fèi))，所以期權(quán)作為投資策略的一個(gè)部分，在對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)方面有更大的選擇余地期權(quán)定價(jià)就是對(duì)這種選擇權(quán)本身進(jìn)行定價(jià)如果這種選擇權(quán)是可以獨(dú)立交易的，那么這個(gè)價(jià)格是非常有現(xiàn)實(shí)意義的如果這種選擇權(quán)不是單獨(dú)交易的(可能是含在產(chǎn)品中的，如可轉(zhuǎn)換債券中的轉(zhuǎn)換權(quán)力)，通過定價(jià)也可以對(duì)這部分的價(jià)值有一

7、定的了解，以便更好地掌握金融資產(chǎn)價(jià)值變化的情況最早的場(chǎng)內(nèi)期權(quán)是股票期權(quán)芝加哥期貨交易所于1973年設(shè)立了一個(gè)新的交易所期權(quán)交易所，從而拉開了期權(quán)交易的序幕隨著國(guó)際金融市場(chǎng)的迅速發(fā)展，期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)逐漸拓展到股票指數(shù)、利率和外匯等領(lǐng)域目前，股票期權(quán)和股票指數(shù)期權(quán)在期權(quán)市場(chǎng)中所占的比例最大但是，并不是所有的期權(quán)都是在交易所中交易的，在金融機(jī)構(gòu)與大公司之間直接進(jìn)行的期權(quán)交易也非常普遍，這種期權(quán)交易稱為場(chǎng)外期權(quán)交易場(chǎng)外期權(quán)交易的主要特點(diǎn)是金融機(jī)構(gòu)可以根據(jù)客戶的需要訂立期權(quán)合約 5.1.2 影響期權(quán)價(jià)格的因素期權(quán)價(jià)格由內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值構(gòu)成，因而凡是影響內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值的因素，就是影響期權(quán)價(jià)格的因素大致

8、包括以下幾種：(1)行權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格行權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最主要因素這兩種價(jià)格的關(guān)系不僅決定了期權(quán)有無內(nèi)在價(jià)值及內(nèi)在價(jià)值的大小，而且還決定了有無時(shí)間價(jià)值和時(shí)間價(jià)值的大小一般而言，行權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格之間的差距越大，時(shí)間價(jià)值越?。环粗?，則時(shí)間價(jià)值越大這是因?yàn)闀r(shí)間價(jià)值是市場(chǎng)參與者因預(yù)期標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)引起其內(nèi)在價(jià)值變動(dòng)而愿意付出的代價(jià)當(dāng)一種期權(quán)處于極度實(shí)值或極度虛值時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)的空間已很小只有在行權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格非常接近或?yàn)槠絻r(jià)期權(quán)時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格的變動(dòng)才有可能增加期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值，從們使時(shí)間價(jià)值隨之增大(2)權(quán)利期間權(quán)利期間是指期權(quán)剩余的有效時(shí)間，即期權(quán)成交日至期權(quán)到期

9、日的時(shí)間在其他條件不變的情況下，權(quán)力期間越長(zhǎng)，期權(quán)價(jià)格越高；反之，期權(quán)價(jià)格越低這主要是因?yàn)闄?quán)利期間越長(zhǎng)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值越大；隨著權(quán)利期間縮短，時(shí)間價(jià)值也逐漸減少；在期權(quán)的到期日，權(quán)利期間為零，時(shí)間價(jià)值也為零通常權(quán)利期間與時(shí)間價(jià)值存在同方向但非線性的關(guān)系。(3)利率利率，尤其是短期利率的變動(dòng)會(huì)影響期權(quán)的價(jià)格利率變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響是復(fù)雜的：一方面，利率變化會(huì)引起期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化，從而引起期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的變化；另一方面，利率變化會(huì)使期權(quán)價(jià)格的機(jī)會(huì)成本變化；同時(shí)，利率變化還會(huì)引起對(duì)期權(quán)交易的供求關(guān)系變化，因而從不同角度對(duì)期權(quán)價(jià)格產(chǎn)生影響例如，利率提高，期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)如股票、債券的市場(chǎng)價(jià)格將下降，從而

10、使看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值下降，看躍期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值提高；利率提高，又會(huì)使期權(quán)價(jià)格的機(jī)會(huì)成本提高，有可能使資金從期權(quán)市場(chǎng)流向價(jià)格已下降的股票、債券等現(xiàn)貨市場(chǎng)，減少對(duì)期權(quán)交易的需求，進(jìn)而又會(huì)使期權(quán)價(jià)格下降總之，利率對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響是復(fù)雜的，應(yīng)根據(jù)具體情況作具體分析(4)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性越大，期權(quán)價(jià)格越高；波動(dòng)性越小，期權(quán)價(jià)格越低這是因?yàn)?，?biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性越大，在期權(quán)到期時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格漲至行權(quán)價(jià)格之上或躍至行權(quán)價(jià)格之下的可能性越大因此，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值，乃至期權(quán)價(jià)格，都將隨標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的增大而提高，隨標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的縮小而降低(5)標(biāo)的資產(chǎn)的收益標(biāo)的資產(chǎn)的收益將影響標(biāo)的

11、資產(chǎn)的價(jià)格在行權(quán)價(jià)格一定時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格又必然影響期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值，從而影響期權(quán)的價(jià)格由于標(biāo)的資產(chǎn)分紅派息等將使標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降，而行權(quán)價(jià)格并不進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，因此，在期權(quán)有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)價(jià)格下降，使看跌期權(quán)價(jià)格上升為了便于今后各章節(jié)的討論，我們做出如下假設(shè)(1)市場(chǎng)是無套利的市場(chǎng)；(2)市場(chǎng)中沒有交易費(fèi)用；(3)所有交易利潤(rùn)具有相同的稅率同時(shí)我們定義以下各字母的含義：股票現(xiàn)價(jià)；X：期權(quán)的行權(quán)價(jià)格；：期權(quán)的到期日；t：現(xiàn)在時(shí)刻；：在T時(shí)刻股票的價(jià)格；r：在T時(shí)刻到期的投資的無風(fēng)險(xiǎn)利率；c：購(gòu)買一股股票的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格；p: 出售一股股票的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格；C：購(gòu)買一股股

12、票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格；P：出售一股股票的美式看跌期權(quán)的價(jià)格：股票價(jià)格的波動(dòng)率 5.1.4期權(quán)價(jià)格的止下限 1期權(quán)價(jià)格的上限 歐式看漲期權(quán)或者美式看漲期權(quán)持有者有權(quán)按照某一確定的價(jià)格購(gòu)買一股股票在任何情況下，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過股票的價(jià)格所以，股票的價(jià)格應(yīng)該是期權(quán)價(jià)格的上限： （5.1.1)如果這一關(guān)系不成立，將存在著套利機(jī)會(huì)，套利者將通過購(gòu)買股票并賣出看漲期權(quán)獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益歐式看跌期權(quán)或者美式看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以行權(quán)價(jià)格X出售一股股票無論股票價(jià)格多低，期權(quán)的價(jià)格都不會(huì)超過，所以有 （5.1.2）由于歐式看跌期權(quán)在T時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過X，所以現(xiàn)在期權(quán)的價(jià)格不會(huì)超過X的現(xiàn)值 （5.1.3）

13、如果上式不成立，將出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，套利者可出售期權(quán)并將收入所得以無風(fēng)險(xiǎn)利率再投資，獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。2不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)下限不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)的下限為 （5.1.4）為了討論這個(gè)問題，我們考慮以下兩個(gè)組合： 組合A：一個(gè)價(jià)格為c的歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金； 組合B：一股標(biāo)的價(jià)格為的股票如果將組合A中的現(xiàn)金按照無風(fēng)險(xiǎn)利率投資，在T時(shí)刻將變?yōu)閄。在T時(shí)刻，如果，投資者就會(huì)行使期權(quán)，組合A的價(jià)值為；如果，期權(quán)到期值為0，組合A的價(jià)值是所以，在時(shí)刻組合A的價(jià)值為 在T時(shí)刻組合B的價(jià)值是，所以在T時(shí)刻組合A的價(jià)值通常不會(huì)低于組合B的價(jià)值。因此，在無套利條件下，我們有 或?qū)τ谝粋€(gè)看漲期

14、權(quán)來說，最壞的情況是在期權(quán)到期時(shí)價(jià)值為0，所以期權(quán)價(jià)值不能為負(fù)，即，從而有 （5.1.5）3不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)下限 不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的下限為為了討論這個(gè)問題，考慮如下兩個(gè)組合： 組合A：一個(gè)價(jià)格為p的歐式看躍期權(quán)加上一股標(biāo)的價(jià)格為的股票； 組合B：金額為的現(xiàn)金 如果，則在時(shí)刻組合A的期權(quán)將會(huì)被行權(quán)，組合價(jià)值為；如果，在期權(quán)到期時(shí)刻，其價(jià)值為0，組合A的價(jià)值是。所以，在T時(shí)刻組合A的價(jià)值是假設(shè)現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為。所以在時(shí)刻組合A的價(jià)值總不會(huì)低于組合B的價(jià)值在無套利條件下，組合A的價(jià)值不會(huì)低于組合B的現(xiàn)值，即 或 對(duì)一個(gè)看跌期權(quán)來說，可能發(fā)生的最壞

15、的情況是期權(quán)在到期時(shí)期權(quán)價(jià)格為0，所以期權(quán)的價(jià)格必須為正值，即，這意味著 （5.1.7）515 看跌期權(quán)-看漲期權(quán)的平價(jià)關(guān)系 我們現(xiàn)在推導(dǎo)歐式看跌期權(quán)價(jià)格與歐式看漲期權(quán)價(jià)格c之間的關(guān)系考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一個(gè)價(jià)格為的歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金；組合B：一個(gè)價(jià)格為的歐式看跌期權(quán)加上一股標(biāo)的價(jià)格為的股票。 這兩個(gè)組合在到期時(shí)價(jià)值均為。由于組合A和組合B中的期權(quán)均為歐式期權(quán)，在到期日之前不能行權(quán)，因此兩組合在任意時(shí)刻必須有同等的價(jià)值，就是說 （5.1.8）這一關(guān)系就是歐式看跌期權(quán)-歐式看漲期權(quán)的平價(jià)關(guān)系(Put-ca11 parity)該公式表明，歐式看漲期權(quán)的價(jià)值可以由一個(gè)具有相同行權(quán)價(jià)格

16、和到期日的看跌期權(quán)價(jià)值推導(dǎo)得來，反之亦然如果該式不成立的話，將存在著套利機(jī)會(huì)看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系僅適用于歐式朗權(quán)，但是也可以推導(dǎo)出不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)價(jià)格與美式看跌期權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系在這里，我們直接給出不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)與美式看跌期權(quán)之間的關(guān)系為 （5.1.9）516紅利對(duì)于期極的影響1對(duì)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)下限的影響 為了討論紅利對(duì)于看漲期權(quán)的影響，我們構(gòu)造如下組合： 組合A：一個(gè)價(jià)格為c的歐式看漲期權(quán)加上數(shù)額為的現(xiàn)金（D表示在期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值)； 組合B：一般價(jià)格是的股票 經(jīng)過類似式(514)的推導(dǎo)，我們有 （5.1.10）為了討論紅利對(duì)于歐式看跌期權(quán)的影

17、響，我們構(gòu)造如下組合：組合A：一個(gè)價(jià)格為c的歐式看漲期權(quán)加上一股價(jià)格是的股票；組合B：數(shù)額為的現(xiàn)金經(jīng)過類似式(516)的推導(dǎo)，我們有 （5.1.11）2.對(duì)看漲期權(quán)-看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系的影響在這里，我們直接給出以后各章將要用到的結(jié)果當(dāng)存在紅利時(shí)，歐式看漲期權(quán)-看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系修正為 （5.1.12）對(duì)于美式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)來說，紅利將使得，從而看漲期權(quán)與看躍期權(quán)的平價(jià)關(guān)系修正為 （5.1.13）5.1.7 提前行權(quán)在這里，我們直接給出在下面幾章經(jīng)常用到的結(jié)論：結(jié)論511 在期權(quán)到期日之前，不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)提前行權(quán)不是最優(yōu)的選擇。結(jié)論512 當(dāng)預(yù)期有紅利派發(fā)時(shí)，在除息日前立即執(zhí)

18、行美式看漲期權(quán)是明智的選擇結(jié)論513 在期權(quán)到期日之前，不支付紅利股票的美式看跌期權(quán)提前行權(quán)可能是明智的選擇§5.2 股票價(jià)格的行為模型股票價(jià)格的變化是不確定的，適合用隨機(jī)過程來描述如果某變量以不確定的方式隨時(shí)間變化，則稱該變量遵循隨機(jī)過程隨機(jī)過程分為離散時(shí)間隨機(jī)過程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程兩種一個(gè)離散時(shí)間隨機(jī)過程是指標(biāo)的變量只能在確定的時(shí)間點(diǎn)上變化，而一個(gè)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程是指標(biāo)的變量可以在任何時(shí)刻發(fā)生變化隨機(jī)過程還可分為連續(xù)變量隨機(jī)過程和離散變量隨機(jī)過程在連續(xù)變量隨機(jī)過程中，該變量在某一范圍內(nèi)可以取任何值，而在離散變量隨機(jī)過程中，變量只能取某些離散值。在本節(jié)，我們將介紹與B1ack-Sc

19、ho1es期權(quán)定價(jià)理論有關(guān)的一些預(yù)備知識(shí)這些知識(shí)主要是圍繞著股票價(jià)格的變化過程而展開的，內(nèi)容大致包括：維納過程、伊藤過程、伊藤定理、幾何布朗運(yùn)動(dòng)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等這些內(nèi)容是理解期權(quán)定價(jià)和更加復(fù)雜的衍生證券定價(jià)的基礎(chǔ)在介紹維納過程之前，先簡(jiǎn)單介紹一下馬爾可夫過程馬爾可夫過程是一種特殊的隨機(jī)過程，在該過程中，變量的變化僅依賴于該變量前一瞬間的狀態(tài)當(dāng)變量遵從馬爾可夫過程時(shí)，變量在相鄰時(shí)間內(nèi)變化的方差具有可加性，但標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性馬爾可夫過程的重要特征是，變量的隨機(jī)變化是獨(dú)立同分布的。維納過程是馬爾可夫過程的特殊形式如果變量服從維納過程，則該變量的期望值為0，方差為1股票價(jià)格模型通常用維納過程表達(dá)在物

20、理學(xué)中，這種過程也稱為布朗運(yùn)動(dòng)如果變量服從維納過程，則其增量必須滿足如下兩個(gè)基本性質(zhì)：性質(zhì)5.2.1 與之間滿足關(guān)系 (5.2.1)其中為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)值性質(zhì)522 對(duì)任何兩個(gè)不同的時(shí)間間隔的值相互獨(dú)立由性質(zhì)521，我們得出服從期望值為0，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布.性質(zhì)522意味著變量服從馬爾可夫過程再由性質(zhì)521，當(dāng)時(shí)，的微分形式為 （5.2.2）522一般維納過程變量服從一般維納過程的定義如下： （5.2.3）其中為常數(shù)，是一般維納過程的預(yù)期漂移率，是波動(dòng)率式(523)由兩項(xiàng)組成，如果不考慮，則有 或 其中為在0時(shí)刻的值，經(jīng)過時(shí)刻后，的增加值為如果僅考慮，則，可以看做是附

21、加在變量軌跡上的噪聲或者波動(dòng)，這些噪聲或波動(dòng)是維納過程的倍。將和一并來考慮，則有經(jīng)過時(shí)間增量之后，的增量值為將式(521)代入上式，有 （5.2.4）如前所述，是取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中的隨機(jī)抽樣值，因此服從正態(tài)分布，其均值是，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。類似以上討論，我們可得出任意時(shí)間后，值的變化也服從均值是，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布523 伊藤過程和伊藤引理如果上面隨機(jī)過程中的與是x和的函數(shù)，則可得到伊藤過程 （5.2.5）伊藤過程中的預(yù)期漂移率和波動(dòng)率隨時(shí)間變化定理521(伊藤引理) 假設(shè)變量服從伊藤過程其中是維納過程設(shè)是的二次連續(xù)可微函數(shù)，則遵從如下過程： （5.2.4')證明: 由二元函數(shù)

22、的泰勒展開公式有 （5.2.5')因?yàn)?（5.2.6）由此得到 （5.2.7） (5.2.8)將（5.2.6）,(5.2.7)和（5.2.8）代入式(5.2.5')，得 令得 （5.2.9）再將代入式（5.2.9）得證畢” 由伊藤定理可知，如果服從伊藤過程，則的函數(shù)也遵從伊藤過程，不過飄逸率和波動(dòng)率分別為524 不支付紅利股票價(jià)格的行為過程如果假設(shè)股票價(jià)格服從一般維納過程，則有不變的期望漂移率和波動(dòng)率，這不符合實(shí)際。所以，一般假設(shè)股票價(jià)格變化的比例服從一般維納過程，即因此，股票價(jià)格可用漂移率和波動(dòng)率的伊藤過程來描述，即其離散形式為 （5.2.10）其離散形式為 （5.2.11）

23、如果和為常數(shù)，則稱式(5.2.10)為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，幾何布朗運(yùn)動(dòng)是最廣泛的描繪股票價(jià)格行為的模型如果服從伊藤過程，則和的函數(shù)也服從伊藤過程： (5.2.12)注意，和都受得影響我們定義，因?yàn)?，則式中（5.2.12）簡(jiǎn)化為 （5.2.13）因?yàn)楹蜑槌?shù)，故式(5213)也是維納過程，其漂移率是，波動(dòng)率是。因此，在與時(shí)刻之間的變化服從正態(tài)分布，其期望值為，方差為，這意味著或者 （5.2.14）式中表示期望值為m，方差為的正態(tài)分布 式(5214)顯示，服從正態(tài)分布如果一個(gè)變量的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則該變量稱為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。§5.3 BlackScholes期權(quán)定價(jià)理論 5.3.1 B1a

24、ck-Scholes偏微分方程 B1ack-Scholes微分方程是不支付紅利股票的衍生證券價(jià)格必須滿足的方程，它是建立在如下假設(shè)基礎(chǔ)上的： (1）股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)； (2)允許賣空衍生證券； (3)沒有交易典用或稅收，且所有證券都是高度可分的； (4)在衍生證券有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)(股票)沒有紅利支付； (5)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； (6)證券交易是連續(xù)的； (7)無風(fēng)險(xiǎn)利率r是常數(shù)且對(duì)所有到期日都相同 根據(jù)假設(shè)(1)，有結(jié)果： （5.3.1）式中是一個(gè)維納過程,為股票價(jià)格的預(yù)期收益率,為股票價(jià)格的波動(dòng)率。 假設(shè)衍生證券價(jià)格依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，則一定是和時(shí)間的某個(gè)函數(shù)。由伊藤引理得 （

25、5.3.2）式(5.3.1)和(5.3.2)的離散形式分別為 (5.3.3.) （5.3.4）式中和分別是和在短時(shí)間間隔后的變化量由于和遵循相同的維納過程，所以兩式中的應(yīng)該相同這樣適當(dāng)?shù)剡x擇股票和衍生證券組合就可以消除不確定項(xiàng) 為了消除，我們構(gòu)建了一個(gè)包括1單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合，令代表該資產(chǎn)組合的價(jià)值，則有結(jié)果：在時(shí)間后，該資產(chǎn)組合的價(jià)值變化為 （5.3.5）將和代入式(535)，得由于式(536)中不包含，所以在時(shí)間間隔后該組合的價(jià)值必定無風(fēng)險(xiǎn)，其在后的瞬時(shí)收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)利率否則，套利者就可以通過套利獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益率，所以結(jié)果應(yīng)該是 （5.3.7）將式(537)代入

26、式(536)得整理得到 （5.3.8）式(538)就是著名的B1ack-Scho1es偏微分方程這個(gè)方程適用于價(jià)格取決于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的所有衍生證券定價(jià) 532 邊界條件 方程(538)對(duì)應(yīng)于所有標(biāo)的變量為的衍生證券，該方程有很多解為了保證它有唯一的解，我們需要給出衍生證券所滿足的邊界條件 對(duì)于歐式看漲期權(quán)來說，關(guān)鍵的邊界條件為， (5.3.9)當(dāng)時(shí)，期權(quán)沒有價(jià)值，所以邊界條件為； （5.3.10）當(dāng)時(shí)，期權(quán)的價(jià)值變成了股票的價(jià)值，即 （5.3.11）根據(jù)邊界條件式(539)，式(5310)和式(5311)，可以求解方程(5.3.8) 533 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式 歐式看漲期權(quán)

27、價(jià)格滿足偏微分方程(538)，于是有 (5.3.12)方程(5312)類似擴(kuò)散方程，但它有更多的項(xiàng) 為了便于求解，令方程（5.3.12）變?yōu)?（5.3.13）其中。此時(shí)，終止條件轉(zhuǎn)化為初始條件注意到方程(5313)中僅包含一個(gè)參數(shù)令其中和是待定的常數(shù)代入式(5313)有結(jié)果現(xiàn)在選擇和使其滿足求解得到這樣得到式中滿足由偏微分方程知識(shí)有作變換得到這里其中是正態(tài)分布的累積分布函數(shù)；將代換為，得到將和代入式（5.3.15），再利用整理后得到其中總結(jié)上述結(jié)論，我們有如下定理： 定理531(B1ack-Scholes歐式期權(quán)定價(jià)公式) 到期時(shí)刻為，行權(quán)價(jià)格為，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的股票歐式看漲期權(quán)

28、的價(jià)格為 (5.3.16)根據(jù)歐式看漲朗權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系，容易得出不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式： (5.3.17) 在使用式(5316)和式(5317)之前首先要解決的計(jì)算問題)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，可以由下面公式近似求得： (5.3.18)其中§5.4 紅利的影響 在本節(jié)，我們將討論在權(quán)利期間內(nèi)股票支付已知紅利的情況，內(nèi)容包括支付已知紅利股票的歐式期權(quán)定價(jià)和美式看漲期權(quán)定價(jià)第一個(gè)問題比較簡(jiǎn)單，只要將Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式稍加修改即可；第二個(gè)較為麻煩，我們將介紹Roll,Geske和Whaley提出的一個(gè)近似的計(jì)算方法541 歐式期權(quán)定價(jià)

29、在將有紅利支付的條件下，股票價(jià)格由支付己知紅利現(xiàn)值和股票價(jià)格兩部分決定紅利的發(fā)生將使股票價(jià)格在除息日下降，下降幅度為所支付紅利的現(xiàn)值在有紅利將要發(fā)生時(shí)，只要用股票價(jià)格減去在期權(quán)有效期間所有紅利按照無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值，B1ack-Scho1es期權(quán)定價(jià)公式仍然適用 定理541(支付已知紅利股票的B1ack-Scho1es歐式期權(quán)定價(jià)公式) 設(shè)到期時(shí)刻為,行權(quán)價(jià)格為，已知紅利的現(xiàn)值是，則標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)的股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為 (5.4.1)其中根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系，容易得出相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式： （5.4.2）其中的定義與式(541)中的相同 分析：式

30、(541)和式(54.2)分別用來計(jì)算支付已知紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價(jià)格該兩式與(5316)和式(5317)的不同之處是多了一項(xiàng)支付已知紅利現(xiàn)值542美式期權(quán)定價(jià) 美式看漲期權(quán)存在著提前行權(quán)問題，由討論512知，當(dāng)預(yù)期有紅利派發(fā)時(shí)，在除息日前立即執(zhí)行美式看漲期權(quán)是明智的選擇 在預(yù)期有紅利派發(fā)且存在提前行權(quán)的情況下，Roll，Geske和Whaley提出了一種美式看漲期權(quán)定價(jià)公式，即 (5.4.3)式中其他字母的含義是： ：二維正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，這個(gè)二維正態(tài)分布的第一個(gè)變量小于，第二個(gè)變量小于，兩變量之間的相關(guān)系數(shù)為； ：最后支付的紅利；：最后的除息日； ：可通過解方程得出，其中

31、是當(dāng)且時(shí)，由B1ack-Scholes期權(quán)定價(jià)公式給出的期權(quán)價(jià)格。 當(dāng)存在多期紅利時(shí)，只有在最后一個(gè)除息日前執(zhí)行權(quán)才是明智的因此，可以運(yùn)用公式（543)，其中要減去除最后紅利之外所有紅利的現(xiàn)值，變量應(yīng)等于最后的紅利，為最后的除息日期 分析：式(543)用來近似計(jì)算美式看漲期權(quán)的價(jià)格該式計(jì)算有兩個(gè)難點(diǎn)：一是求解,二是求解值求解的程序我們事先編譯好放在一個(gè)文件夾中，當(dāng)使用的時(shí)候，在程序的開頭部分用指令“include”嵌入頭文件“normdist.h，在計(jì)算美式看漲期權(quán)的函數(shù)主體中直接調(diào)用即可求解值可調(diào)用函數(shù)option_price_call_black_scholes( .) 上述兩個(gè)問題得到解

32、決之后，式(543)就是一個(gè)包含C+基本運(yùn)算的簡(jiǎn)單問題，實(shí)現(xiàn)起來就容易了例542 考慮一美式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是$100，行權(quán)價(jià)格是$100，年無風(fēng)險(xiǎn)利率是10，年波動(dòng)率是25，權(quán)利期間還有1年，距離除息日有6個(gè)月的時(shí)間，預(yù)計(jì)派發(fā)的紅利是$10試求該期權(quán)的價(jià)格§55 風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖 風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖是指通過投資或購(gòu)買與標(biāo)的資產(chǎn)收益波動(dòng)負(fù)相關(guān)的某種資產(chǎn)或衍生證券，來沖銷標(biāo)的資產(chǎn)潛在損失的一種策略在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖時(shí)經(jīng)常用到的定量參數(shù)有：Delt，Gamma，vega，Theta和Rho這些參數(shù)一般是某些變量變化對(duì)另外一些變量變化的比率，反映了一些變量對(duì)另外一些變量的相對(duì)變化根據(jù)這些參數(shù)的變化適時(shí)

33、調(diào)整頭寸，可在一定程度上達(dá)到風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的目的在本章，我們不去討論對(duì)沖策略的實(shí)施，而僅介紹上述對(duì)沖參數(shù)的概念和計(jì)算程序。 551 Delta對(duì)沖 Delta定義為在其他變量不變的條件下期權(quán)價(jià)格變化與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率，即 （5.5.1）Delta隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化和時(shí)間的推移而不斷變化，因此在運(yùn)用Delta對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，需要定期調(diào)整對(duì)沖頭寸，否則就要承擔(dān)頭寸風(fēng)險(xiǎn)暴露的風(fēng)險(xiǎn) 不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的Delta為 (552)根據(jù)該式,在對(duì)一個(gè)歐式看漲期權(quán)的空頭進(jìn)行Delta對(duì)沖時(shí)，在任何時(shí)候需要同時(shí)持有數(shù)量為的標(biāo)的資產(chǎn)多頭類似地，對(duì)一個(gè)歐式看漲期權(quán)的多頭進(jìn)行Delta對(duì)沖，在任何時(shí)候需要同

34、時(shí)持有數(shù)量為的標(biāo)的資產(chǎn)空頭 不支付紅利的股票歐式看跌期權(quán)的為. （553)由該式為負(fù)值這意味著看跌期權(quán)的多頭應(yīng)該利用標(biāo)的資產(chǎn)的多頭頭寸來對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)，看跌期權(quán)的空頭應(yīng)該利用標(biāo)的資產(chǎn)的空頭頭寸來對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)552 對(duì)沖 定義為在其他變量不變時(shí)期權(quán)價(jià)格的變化相對(duì)于權(quán)力期間變化的比率，即 T (554) Theta一般是負(fù)值，它反映了期權(quán)價(jià)格隨著權(quán)力期間的減少而逐漸衰減的程度因此，我們不可能用對(duì)沖的方法消除時(shí)間變化對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響 不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的為 （5.5.5）式中，不支付紅利的股票歐式看跌期權(quán)的為553 Gamma對(duì)沖 Gamma反映了期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)對(duì)期權(quán)Delta變動(dòng)的影響程度,

35、即 （5.5.6） Gnmma大小反映了為保持Delta中性而需要調(diào)整的頭寸（當(dāng)價(jià)格變動(dòng)時(shí)），Delta中性是指Delta等于零的狀態(tài)(組合中性即組合沒有風(fēng)險(xiǎn)）由于標(biāo)的資產(chǎn)和衍生證券可以是多頭和空頭，所以Delta可大于零，也可小于零如果組合內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)和衍生證券數(shù)量匹配適當(dāng)，整個(gè)組合的Delta等于零然而Delta并非固定不變，隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格或者權(quán)利區(qū)間的變化，Delta也在變化因此，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖時(shí)就必須不斷隨著Delta的變化來調(diào)整頭寸，以保持Delta中性在這種調(diào)整中，Gamma就是一個(gè)有用的指標(biāo)，因?yàn)镚amma的大小正好反映了為保持Del飽中性而需要調(diào)整的頭寸 不支付紅利股票的歐式看漲

36、期權(quán)和看跌期權(quán)的Gamma均為 (5.5.7)5.5.4 Vega vega定義為在其他變量保持不變的條件下期權(quán)價(jià)格變化對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率變化的比率，即 (5.5.8) 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格有著重大影響在其他條件一定的條件下，波動(dòng)率越大期權(quán)價(jià)格越高；波動(dòng)率越小，期權(quán)價(jià)格越低在對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)過程中，Vega是一個(gè)重要指標(biāo)B1ackScholes期權(quán)定價(jià)公式假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率為已知常數(shù)，這一假定是不符合實(shí)際的所以，在實(shí)際交易過程中，投資者要面臨著波動(dòng)率變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，為了規(guī)避這種風(fēng)險(xiǎn)，必須縮小期權(quán)的Vega，把波動(dòng)率變化可能造成的損失降低到最小 不支付紅利股票的歐式看漲和看跌期權(quán)的Vega為 （5.

37、5.9）5.5.5 d對(duì)沖 Rho定義為在其他變量不變時(shí)期權(quán)價(jià)格c變化與利率f變化之間的比率，即 （5.5.10） Rho反映了利率變化對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響程度，因此在利率變動(dòng)比較頻繁的時(shí)期，Rho將是一個(gè)重要的敏感指標(biāo)由于利率變動(dòng)對(duì)看漲期權(quán)的價(jià)格有正的影響，對(duì)看跌期權(quán)的價(jià)格有負(fù)的影響，所以看漲期權(quán)的Rho值一般大于零，而看跌期權(quán)的Rho值一般小于零 不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)的Rho為 （5.5.11） 支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的Rho為 （5.5.12） 分析：對(duì)沖參數(shù)的公式中包含和這兩個(gè)問題前面已經(jīng)解決，故上述對(duì)沖參數(shù)的程序?qū)崿F(xiàn)起來并不難例551 考慮一個(gè)不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，其

38、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是$50，行權(quán)價(jià)格是$50，無風(fēng)險(xiǎn)年利率是l0，年波動(dòng)率是30，權(quán)力期間還有6個(gè)月試求其相應(yīng)的對(duì)沖參數(shù).至此，我們介紹了不支付紅利股票的歐式期權(quán)的對(duì)沖參數(shù)，并給出了其中的歐式看漲期權(quán)的對(duì)沖參數(shù)計(jì)算程序參考這些程序讀者可給出相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的對(duì)沖參數(shù)及支付紅利股票的歐式期權(quán)對(duì)沖參數(shù)的計(jì)算程序§5.6 隱含波動(dòng)率 隱含波動(dòng)率是一個(gè)在市場(chǎng)上無法觀察到的波動(dòng)率，是通過Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出來的波動(dòng)率由于我們無法給出它的解析式，因此只能借助于數(shù)值計(jì)算給出近似解本節(jié)介紹兩種計(jì)算隱含波動(dòng)率的數(shù)值方法；二分法和牛頓迭代法 二分法的設(shè)計(jì)思想相當(dāng)簡(jiǎn)單：如果某函數(shù)在一區(qū)

39、間內(nèi)符號(hào)有變化，則在此區(qū)間內(nèi)該函數(shù)必有零點(diǎn)根據(jù)這個(gè)思想，我們先計(jì)算該函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)中點(diǎn)的值，并考查其符號(hào)變化，然后再用中點(diǎn)值替代與其有相同符號(hào)的端點(diǎn)這樣，每經(jīng)過一次迭代，包含零點(diǎn)的區(qū)間就縮小一半假設(shè)經(jīng)過n次迭代后，零點(diǎn)位于長(zhǎng)度為的區(qū)間內(nèi)，則在下一輪迭代結(jié)束后，這個(gè)零點(diǎn)將被劃界在長(zhǎng)度恰好是的區(qū)間內(nèi)經(jīng)過n次這樣的迭代后，包含零點(diǎn)的區(qū)間兩端就會(huì)逼近真值。注意：在使用二分法時(shí)，需要事先計(jì)算出達(dá)到給定精度的解所需要的迭代次數(shù)，其中為初始區(qū)間的長(zhǎng)度，為迭代結(jié)束后所期望達(dá)到的精度，這給計(jì)算帶來很大的方便 分析：根據(jù)上述二分法的基本思想，我們給出如下求解隱含波動(dòng)率的步驟：(1）設(shè)定隱含波動(dòng)率的上下限；(2)計(jì)算隱含波動(dòng)率上、下限的平均值并代入Black-Scho1es期權(quán)定價(jià)公式；(3)計(jì)算該期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)觀察到的期權(quán)價(jià)格之差，直到達(dá)到給定精度為止 程序561 隱含波動(dòng)率(二分法)例561 假設(shè)當(dāng)前觀察到的期權(quán)價(jià)格是$1.875，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是$21，期權(quán)的行權(quán)價(jià)格是$20，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10，權(quán)利期間還有3個(gè)月，試求隱含波動(dòng)率 解 在本例中，c=1.875，S21，X20，r0.1，T-t0.25根據(jù)二分法功率