4二次函數(shù)的應(yīng)用

1、第二章 二次函數(shù)題型一題型一 利用二次函數(shù)解決最大面積問題利用二次函數(shù)解決最大面積問題例題例題1 1 安徽中考安徽中考 為節(jié)省材料為節(jié)省材料, , 某水產(chǎn)養(yǎng)某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤殖戶利用水庫的岸堤( (岸堤足夠長岸堤足夠長) )為一邊為一邊, , 用總長為用總長為80 m80 m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖2-2-4-84-8所示的三塊矩形區(qū)域所示的三塊矩形區(qū)域, , 而且這三而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等塊矩形區(qū)域的面積相等. .設(shè)設(shè)BCBC的長度為的長度為x m, x m, 矩形區(qū)域矩形區(qū)域ABCDABCD的面積為的面積為y my m2 2. .第二章 二次函數(shù)(1)

2、(1)求求y y與與x x之間的函數(shù)表達(dá)式之間的函數(shù)表達(dá)式, , 并注明自變量并注明自變量x x的取值范圍；的取值范圍；(2)(2)當(dāng)當(dāng)x x為何值時為何值時, y, y有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？第二章 二次函數(shù)第二章 二次函數(shù)解解 (1)(1)三塊矩形區(qū)域的面積相等三塊矩形區(qū)域的面積相等, ,矩形矩形AEFDAEFD的面積是矩形的面積是矩形BCFEBCFE面積的面積的2 2倍倍,AE=2BE.,AE=2BE.設(shè)設(shè)BE=CF=a, BE=CF=a, 則則AE=HG=DF=2a.AE=HG=DF=2a.DF+CF+HG+AE+BE+EF+BC=80,8a+2x=80,DF+

3、CF+HG+AE+BE+EF+BC=80,8a+2x=80,a=- x+10, 3a=- x+30,y=(- x+30)x=- xa=- x+10, 3a=- x+30,y=(- x+30)x=- x2 2+30 x.+30 x.- x+10- x+100,x0,x40,40,故故y=- xy=- x2 2+30 x(0+30 x(0 x x40).40).(2)y=- x(2)y=- x2 2+30 x=- (x-20)+30 x=- (x-20)2 2+300, +300, 且且- - 0,0,當(dāng)當(dāng)x=20 x=20時時, y, y有最大值有最大值, , 最大值是最大值是300.300.錦

4、囊妙計錦囊妙計應(yīng)用二次函數(shù)解決面積最大問題的步驟應(yīng)用二次函數(shù)解決面積最大問題的步驟(1)(1)分析題中的變量與常量分析題中的變量與常量, , 設(shè)自變量設(shè)自變量, , 并用自變量表示其他并用自變量表示其他未知量；未知量；(2)(2)根據(jù)幾何圖形的面積公式建立函數(shù)模型；根據(jù)幾何圖形的面積公式建立函數(shù)模型；(3)(3)結(jié)合函數(shù)圖像及性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖像及性質(zhì), , 考慮實際問題中自變量的取值范圍考慮實際問題中自變量的取值范圍, , 求出面積的最大值求出面積的最大值. .第二章 二次函數(shù)題型二題型二 利用二次函數(shù)解決最大利潤問題利用二次函數(shù)解決最大利潤問題例題例題2 2 某賓館客房部有某賓館客房部有606

5、0個房間供游客居住個房間供游客居住, , 當(dāng)每個房間每天當(dāng)每個房間每天的定價為的定價為200200元時元時, , 房間可以住滿；當(dāng)每個房間每天的定價每增房間可以住滿；當(dāng)每個房間每天的定價每增加加1010元時元時, , 就會有就會有1 1個房間空閑個房間空閑. . 對有游客入住的房間對有游客入住的房間, , 賓館需賓館需對每個房間每天支出對每個房間每天支出2020元的各種費(fèi)用元的各種費(fèi)用. . 設(shè)每個房間每天的定價設(shè)每個房間每天的定價增加增加x x元元. .(1)(1)求房間每天的入住量求房間每天的入住量y(y(間間) )關(guān)于關(guān)于x(x(元元) )的函數(shù)表達(dá)式；的函數(shù)表達(dá)式；第二章 二次函數(shù)(2

6、)(2)求該賓館每天的房間收費(fèi)求該賓館每天的房間收費(fèi)z(z(元元) )關(guān)于關(guān)于x(x(元元) )的函數(shù)表達(dá)式；的函數(shù)表達(dá)式；(3)(3)求該賓館客房部每天的利潤求該賓館客房部每天的利潤w(w(元元) )關(guān)于關(guān)于x(x(元元) )的函數(shù)表達(dá)式的函數(shù)表達(dá)式, , 并求當(dāng)每個房間的定價為每天多少元時并求當(dāng)每個房間的定價為每天多少元時, w, w有最大值有最大值, , 最大利潤最大利潤是多少是多少. .第二章 二次函數(shù)第二章 二次函數(shù)解解 (1)y=60- (0(1)y=60- (0 x x600, 600, 且且x x是是1010的整數(shù)倍的整數(shù)倍).).(2)z=(200+x)(60- (2)z=(

7、200+x)(60- )=- )=- x x2 2 +40 x+12 000. +40 x+12 000.(0(0 x x600, 600, 且且x x是是1010的整數(shù)倍的整數(shù)倍).).(3)w=(200+x)(60- )- 20(60- )(3)w=(200+x)(60- )- 20(60- )第二章 二次函數(shù)=- x=- x2 2+42x+10 800=- (x-210)+42x+10 800=- (x-210)2 2+15 210+15 210(0(0 x x600, 600, 且且x x是是1010的整數(shù)倍的整數(shù)倍).).當(dāng)當(dāng)x=210 x=210時時, w, w有最大值有最大值.

8、.此時此時, 200+x=410, , 200+x=410, 故當(dāng)每個房間每天的定價為故當(dāng)每個房間每天的定價為410410元時元時, w, w有最大值有最大值, , 最大利潤是最大利潤是15 21015 210元元. .錦囊妙計錦囊妙計二次函數(shù)與價格調(diào)整、利潤最大問題二次函數(shù)與價格調(diào)整、利潤最大問題(1)(1)價格調(diào)整分漲價和降價價格調(diào)整分漲價和降價. .(2)(2)利潤利潤= =每件利潤每件利潤銷售量銷售量. .(3)(3)商品價格上漲商品價格上漲, , 銷售量會隨之下降；商品價格下降銷售量會隨之下降；商品價格下降, , 銷售量銷售量會隨之增加會隨之增加. . 兩種情況都會導(dǎo)致利潤的變化兩種

9、情況都會導(dǎo)致利潤的變化第二章 二次函數(shù)題型三題型三 利用二次函數(shù)解決拱橋類問題利用二次函數(shù)解決拱橋類問題例題例題3 3 徒駭河大橋橋體造型新穎徒駭河大橋橋體造型新穎, ,氣勢恢宏氣勢恢宏, ,兩條拱肋如長虹臥兩條拱肋如長虹臥波波, , 極具時代氣息極具時代氣息. . 大橋為中承式懸索拱橋大橋為中承式懸索拱橋, ,大橋的主拱肋大橋的主拱肋ACBACB是拋物線的一部分是拋物線的一部分( (如圖如圖2-4-9), 2-4-9), 跨徑跨徑ABAB為為100 m,100 m,拱高拱高OCOC為為25 m, 25 m, 拋物線頂點拋物線頂點C C到橋面的距離為到橋面的距離為17 m.17 m.(1)(1

10、)請建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系請建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系, , 求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式. .第二章 二次函數(shù)(2)(2)七月份汛期來臨七月份汛期來臨, , 河水水位上漲河水水位上漲. . 假設(shè)水位比假設(shè)水位比ABAB所在直線高所在直線高出出1.96 m, 1.96 m, 這時位于水面上的拱肋的跨徑是多少？在不計橋面這時位于水面上的拱肋的跨徑是多少？在不計橋面厚度的情況下厚度的情況下, , 一條高出水面一條高出水面4.6 m4.6 m的游船能否順利通過大橋的游船能否順利通過大橋( (忽略船寬的影響忽略船寬的影響) )？第二章 二次函數(shù)第二章 二次函數(shù)解解 (1)(1)以以AB

11、AB所在直線為所在直線為x x軸軸, , 直線直線OCOC為為y y軸軸, ,建立平面直角坐標(biāo)系建立平面直角坐標(biāo)系, , 如圖如圖2-4-102-4-10所示所示. .設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=axy=ax2 2+c.+c.由題意由題意, , 得得B(50, 0), C(0, 25)B(50, 0), C(0, 25)兩點在拋物線上兩點在拋物線上, ,該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=- xy=- x2 2+25(+25(建立的平面直角坐標(biāo)系不同建立的平面直角坐標(biāo)系不同, , 得得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式就不同到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式就不同).).第二章 二次函

12、數(shù)(2)(2)當(dāng)水位比當(dāng)水位比ABAB所在直線高出所在直線高出1.96 m1.96 m時時, ,將將y=1.96y=1.96代入函數(shù)表達(dá)式代入函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=- xy=- x2 2+25, +25, 得得解得解得x=x=48, 4848, 482=96(m).2=96(m).故位于水面上的拱肋的跨徑是故位于水面上的拱肋的跨徑是96 m.96 m.根據(jù)題意根據(jù)題意, , 游船的最高點到橋面的距離為游船的最高點到橋面的距離為(25-17)-(1.96+4.6)=1.44(m),(25-17)-(1.96+4.6)=1.44(m),該游船能順利通過大橋該游船能順利通過大橋. .錦囊妙計錦囊妙計用二次函

13、數(shù)解決拱橋類問題的一般步驟用二次函數(shù)解決拱橋類問題的一般步驟(1)(1)恰當(dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系；恰當(dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；(3)(3)合理地設(shè)出函數(shù)表達(dá)式；合理地設(shè)出函數(shù)表達(dá)式；(4)(4)代入已知條件或點的坐標(biāo)代入已知條件或點的坐標(biāo), , 求出函數(shù)表達(dá)式；求出函數(shù)表達(dá)式；(5)(5)利用函數(shù)表達(dá)式求解利用函數(shù)表達(dá)式求解. .第二章 二次函數(shù)題型四題型四 利用二次函數(shù)解決最佳方案問題利用二次函數(shù)解決最佳方案問題第二章 二次函數(shù)例題例題4 4 某小區(qū)計劃將一塊長某小區(qū)計劃將一塊長100 m100 m、寬、寬80 m80 m的的空地

14、建成花園廣場空地建成花園廣場, , 設(shè)計圖案如圖設(shè)計圖案如圖2-4-112-4-11所示所示. . 在這個圖案中在這個圖案中, , 陰影區(qū)域為綠化區(qū)陰影區(qū)域為綠化區(qū)( (四塊綠化四塊綠化區(qū)是全等的矩形區(qū)是全等的矩形), ), 空白區(qū)域為活動區(qū)空白區(qū)域為活動區(qū), , 且四且四周出口一樣寬周出口一樣寬, , 寬度不小于寬度不小于50 m, 50 m, 不大于不大于60 m, 60 m, 預(yù)計活動區(qū)每平方米的造價為預(yù)計活動區(qū)每平方米的造價為6060元元, , 綠化區(qū)每綠化區(qū)每平方米的造價為平方米的造價為5050元元. .第二章 二次函數(shù)(1)(1)設(shè)其中一塊綠化區(qū)的長為設(shè)其中一塊綠化區(qū)的長為x(x(

15、單位：單位：m), m), 寫出工程總造價寫出工程總造價y(y(單位：單位：元元) )與與x(x(單位：單位：m)m)之間的函數(shù)表達(dá)式之間的函數(shù)表達(dá)式( (寫出寫出x x的取值范圍的取值范圍).).(2)(2)如果小區(qū)投資如果小區(qū)投資46.946.9萬元萬元, , 那么能否完成這項工程任務(wù)？若能那么能否完成這項工程任務(wù)？若能, , 請寫出請寫出x x為整數(shù)的所有工程方案；若不能為整數(shù)的所有工程方案；若不能, , 請說明理由請說明理由( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： 1.732).1.732).第二章 二次函數(shù)解解 (1)(1)已知其中一塊綠化區(qū)的長為已知其中一塊綠化區(qū)的長為x m, x m, 則出口

16、的寬為則出口的寬為(100-2x)m,(100-2x)m,一塊綠化區(qū)的寬為一塊綠化區(qū)的寬為 80-(100-2x)=(x-10)m,80-(100-2x)=(x-10)m,y=50y=504x(x-10)+604x(x-10)+6010010080-4x(x-10)80-4x(x-10)=200 x=200 x2 2-2000 x+480 000-240 x-2000 x+480 000-240 x2 2+2400 x+2400 x=-40 x=-40 x2 2+400 x+480 000,+400 x+480 000,即即y=-40 xy=-40 x2 2+400 x+480 000(20

17、x25).+400 x+480 000(20 x25).第二章 二次函數(shù)(2)(2)能完成這項工程任務(wù)能完成這項工程任務(wù). .當(dāng)當(dāng)y=469 000y=469 000時時, -40 x, -40 x2 2+400 x+480 000=469 000,+400 x+480 000=469 000,即即x x2 2-10 x-275=0,-10 x-275=0,解這個方程解這個方程, , 得得x= =5x= =5 . .負(fù)值不符合題意負(fù)值不符合題意, , 舍去舍去. .取正值得取正值得x=5+ 22.32.x=5+ 22.32.當(dāng)當(dāng)y y469 000469 000時時, , 滿足條件的滿足條件的

18、x x的正整數(shù)值為的正整數(shù)值為23, 24, 25,23, 24, 25,投資投資46.946.9萬元能完成這項工程任務(wù)萬元能完成這項工程任務(wù), , 有以下三種工程方案：有以下三種工程方案：工程方案一：一塊矩形綠化區(qū)的長為工程方案一：一塊矩形綠化區(qū)的長為23 m, 23 m, 寬為寬為13 m13 m；工程方案二：一塊矩形綠化區(qū)的長為工程方案二：一塊矩形綠化區(qū)的長為24 m, 24 m, 寬為寬為14 m14 m；工程方案三：一塊矩形綠化區(qū)的長為工程方案三：一塊矩形綠化區(qū)的長為25 m, 25 m, 寬為寬為15 m.15 m.錦囊妙計錦囊妙計最佳方案問題最佳方案問題解決方案設(shè)計問題的關(guān)鍵是根

19、據(jù)方案要求解決方案設(shè)計問題的關(guān)鍵是根據(jù)方案要求, ,求出方案劃分的關(guān)鍵數(shù)求出方案劃分的關(guān)鍵數(shù)據(jù)據(jù), , 從這一數(shù)據(jù)出發(fā)分類設(shè)計從這一數(shù)據(jù)出發(fā)分類設(shè)計. .第二章 二次函數(shù)題型五題型五 二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題第二章 二次函數(shù)例題例題5 5 張經(jīng)理到老王的果園里一次性采購一種水果張經(jīng)理到老王的果園里一次性采購一種水果, , 他倆商定：他倆商定： 張經(jīng)理的采購價張經(jīng)理的采購價y(y(單位：元單位：元 / / 噸噸) )與采購量與采購量x(x(單位：噸單位：噸) )之間的函之間的函數(shù)關(guān)系如圖數(shù)關(guān)系如圖2-4-122-4-12中的折線中的折線ABCABC所示所示(

20、(不包含端點不包含端點A, A, 但包含端點但包含端點C).C).(1)(1)求求y y與與x x之間的函數(shù)表達(dá)式；之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)(2)已知老王種植水果的成本是已知老王種植水果的成本是28002800元元/ /噸噸, ,那么張經(jīng)理的采購量為多少時那么張經(jīng)理的采購量為多少時, , 老王在這老王在這次買賣中所獲得的利潤次買賣中所獲得的利潤w w最大？最大利潤最大？最大利潤是多少？是多少？第二章 二次函數(shù)解解 (1)(1)當(dāng)當(dāng)0 x0 x2020時時, y=8000., y=8000.當(dāng)當(dāng)20 x20 x4040時時, , 設(shè)線段設(shè)線段BCBC滿足的函數(shù)表達(dá)式為滿足的函數(shù)表達(dá)式為y=y=k

21、x+bkx+b, ,由函數(shù)圖像可知由函數(shù)圖像可知, , 點點B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(20, 8000), (20, 8000), 點點C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(40, 4000),(40, 4000),將這兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式將這兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式, , 得得所以所以y=-200 x+12 000.y=-200 x+12 000.第二章 二次函數(shù)(2)(2)當(dāng)當(dāng)0 x0 x2020時時, , 老王獲得的利潤老王獲得的利潤w=(8000-2800)x=5200 x.w=(8000-2800)x=5200 x.因為因為k=5200k=52000,0,所以所以w w隨隨x x的增大而增大的增

22、大而增大, ,所以當(dāng)所以當(dāng)x=20 x=20時時, w, w最大值最大值=104 000.=104 000.此時老王獲得的最大利潤為此時老王獲得的最大利潤為104 000104 000元元. .當(dāng)當(dāng)20 x20104 000, 105 800104 000, 所以當(dāng)張所以當(dāng)張經(jīng)理的采購量為經(jīng)理的采購量為2323噸時噸時, , 老王在這次買賣中所獲得的利潤老王在這次買賣中所獲得的利潤w w最最大大, , 最大利潤是最大利潤是105 800105 800元元. .第二章 二次函數(shù)例題例題6 6 隨著地鐵和共享單車的發(fā)展隨著地鐵和共享單車的發(fā)展, , “地鐵地鐵+ +單車單車”已成為很多已成為很多市

23、民出行的選擇市民出行的選擇, , 小李從文化宮站出發(fā)小李從文化宮站出發(fā), , 先乘坐地鐵先乘坐地鐵, , 準(zhǔn)備在離準(zhǔn)備在離家較近的家較近的A, B, C, D,EA, B, C, D,E中的某一站出地鐵中的某一站出地鐵, , 再騎共享單車回家再騎共享單車回家, , 設(shè)他出地鐵的站點與文化宮的距離為設(shè)他出地鐵的站點與文化宮的距離為x(x(單位：千米單位：千米), ), 乘坐地鐵乘坐地鐵的時間的時間y y1 1( (單位：分單位：分) )是關(guān)于是關(guān)于x x的一次函數(shù)的一次函數(shù), , 其關(guān)系如下表：其關(guān)系如下表：(1)(1)求求y y1 1關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)表達(dá)式；的函數(shù)表達(dá)式；(2)(2)若小李

24、騎單車的時間若小李騎單車的時間y y2 2( (單位：分單位：分) )與與x x滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式y(tǒng) y2 2=ax=ax2 2+bx+78, +bx+78, 且此函數(shù)圖像的對稱軸為直線且此函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=11, x=11, 當(dāng)小李選擇在當(dāng)小李選擇在C C站出地鐵時站出地鐵時, , 還需騎共享單車還需騎共享單車1818分鐘才能到家分鐘才能到家, , 試求試求y y2 2與與x x的函數(shù)表達(dá)式；的函數(shù)表達(dá)式；(3)(3)試求小李應(yīng)選擇在哪一站出地鐵試求小李應(yīng)選擇在哪一站出地鐵, , 才能使他從文化宮回到家所才能使他從文化宮回到家所需的總時間最短？并求出最短時間需的總時間最短？并求出最短時間( (其他環(huán)節(jié)時間忽略不計其他環(huán)節(jié)時間忽略不計).).第二章 二次函數(shù)第二章 二次函數(shù)解解 (1)(1)設(shè)設(shè)