解一元一次方程(提高篇)

1、一元一次方程的解法（提高篇）要點梳理 】要點一、解一元一次方程的一般步驟變形名稱具體做法注意事項（1）不要漏乘不含分母的項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（2）分子是一個整體的， 去分母后應(yīng) 加上括號去括號先去小 括號，再去中括號，最后去大括號（1）不要漏乘括號里的項（2）不要弄錯符號移項把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊， 其他（1）移項要變號項都移到方程的另一邊 （記住移項要變號 ）（2）不要丟項合并同類項把方程化成 axb （a 0的） 形式字母及其指數(shù)不變在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方系數(shù)化成 1不要把分子、分母寫顛倒程的解 x b a要點詮釋：（ 1）解方程時，表中有些

2、變形步驟可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的順序，有些步驟可 以合并簡化（2） 去括號一般按由內(nèi)向外的順序進行，也可以根據(jù)方程的特點按由外向內(nèi)的順序進行（ 3）當(dāng)方程中含有小數(shù)或分數(shù)形式的分母時，一般先利用分數(shù)的性質(zhì)將分母變?yōu)檎麛?shù)后再去分母， 注意去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)，而分母化整的依據(jù)是分數(shù)的性質(zhì)，兩者不要混淆要點二、解特殊的一元一次方程1.含絕對值的一元一次方程 解此類方程關(guān)鍵要把絕對值化去，使之成為一般的一元一次方程，化去絕對值的依據(jù)是絕對值的意 義要點詮釋：此類問題一般先把方程化為 ax b c 的形式，分類討論：（1）當(dāng)c 0時，無解；（ 2）當(dāng) c 0時，原方程化為： ax

3、b 0；（3）當(dāng) c 0時，原方程可化 為： ax b c或 ax b c.2.含字母的一元一次方程 此類方程一般先化為一元一次方程的最簡形式ax b，再分三種情況分類討論：b當(dāng) a0時， x b；（2）當(dāng) a0，b0時，x 為任意有理數(shù)；（ 3）當(dāng) a0，b0時，方程無解 a【典型例題】類型一、解較簡單的一元一次方程2x(1) x 5 3 ；(2)15.4x 32 0.6x 32【答案與解析】2x 解： (1) x 53 321 移項，合并得 x 86系數(shù)化為 1，得 x 48(2)+32 移項，得 + -32 合并，得 16x -32 系數(shù)化為 1，得 x -2【 總結(jié)升華 】方法規(guī)律：解

4、較簡單的一元一次方程的一般步驟：(常數(shù)項 )放在等式的(1)移項：即通過移項把含有未知數(shù)的項放在等式的左邊，把不含未知數(shù)的項 右邊(2)合并：即通過合并將方程化為axb(a 0)ba，即得方程的解 x b a就是說將方程中右邊的 7x(3)系數(shù)化為 1：即根 據(jù)等式性質(zhì) 2：方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù) 舉一反三：【變式】下列方程的解法對不對如果不對，錯在哪里應(yīng)當(dāng)怎樣改正3x+27x+5解：移項得 3x+7x 2+5，合并得 10x 7，系數(shù)化為 1 得 x 7 10【答案】以上的解法是錯誤的，其錯誤的原因是在移項時沒有變號，也 移到方程左邊應(yīng)變?yōu)?-7x，方程左邊的 2 移到方程右邊應(yīng)變?yōu)?-2

5、 正確解法：解：移項得 3x-7x5-2， 合并得 -4x3，系數(shù)化為 1得 x類型二、去括號解一元一次方程1x 1(x 1) 2(x 1)2 2 31112答案與解析】1 1 122x x x2 2 233再去中括號得：1x11x2x2443解法 1：先去小括號得：5移項，合并得： x12系數(shù)化為 1 ，得： x115x 1(x 1)211 ，解得：643(x 1)11x5解法 2：兩邊均乘以 2，去中括號得：5 去小括號，并移項合并得： x61解法 3：原方程可化為：( x 1) 121去中括號，得 (x 1)25移項、合并，得 ( x121)14(x112(x1)1)23(x223(x

6、1)1)11解得 x5【 總結(jié)升華 】解含有括號的一元 根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點，靈活恰當(dāng)?shù)厝ダㄌ枺?含 ( x-1) ，因此將方程左邊括號內(nèi)的一項次方程時， 以使計算簡便例如本題的方法x 變?yōu)?(x-1)后，把 (x-1) 視為一個整體運算一般方法是由內(nèi)到外或由外到內(nèi)逐層去括號，但有時3：方程左、右兩邊都解方程： 12110【答案與解析】解法 1： (層層去括號去小括號12 1去中括號去大括號1x160，移項、合并同類項，得解法 2 ： (層層去分母移項，得兩邊都乘移項，得兩邊都乘移項，得移項，得 1 x22，2，21x160，158，系數(shù)化為111，1，得 x 302，113，1 7 ，兩邊都乘

7、2，得 12 x1 14 ，15 ，系數(shù)化為 1，得 x30總結(jié)升華 】此題既可以按去括號的思路做，也可以按去分母的思路做舉一反三：1111變式】解方程 x 1 6 4 12345答案】 解：方程兩邊同乘 2，得 1 1 1 x 1 6 4 2 ，345移項、合并同類項，得 1 1 1 x 1 62 ，345611兩邊同乘以 3，得x45移項、合并同類項，得 1 1 x 1 0 ，45兩邊同乘以4，0，移項，得1，系數(shù)化為 1，得 x 5類型三、解含分母的一元一次方程1.2 x0.14解方程： 4x 1.5 5x 0.80.5 0.2思路點撥】先將方程中的小數(shù)化成整數(shù)，再去分母，這樣可避免小數(shù)

8、運算帶來的 失誤 答案與解析】解法 1：將分母化為整數(shù)得：40x 15550x 8212 10x1約分，得： 8x-3-25x+4 12-10x移項，合并得： x 7解法 2：方程兩邊同乘以 1，去分母得：8x-3-25x+4 12-10x移項，合并得： x 7【 總結(jié)升華 】解此題一般是先將分母變?yōu)檎麛?shù)，再去分母，如解法 些，如解法 2 舉一反三：1；但有時直接去分母更簡便一變式】解方程 0.4y 0.9 0.3 0.2y 1 0.50.3答案】解：原方程可化為4y 9 3 2y531去分母，得 3(4y+9)-5(3+2y) 15 去括號 ，得 12y+27-15-10y 15 移項、合并

9、同類項，得 2y 33系數(shù)化為 1，得 y 2類型四、解含絕對值的方程5解方程： 3|2x|-2 0x 的值思路點撥】將絕對值里面的式子看作整體，先求出整體的值，再求答案與解析】13，解：原方程可化為：當(dāng) x 0時，得 2x當(dāng)x <0時，得所以原方程的解是 x2x 2321 ，解得： x ，3322x ，解得： x31或 x 133總結(jié)升華 】此類問題一般先把方程化為ax b c的形式，再根據(jù)( ax b )的正負分類討論，注意不要漏解舉一反三：【變式】解方程 |x-2|-1 0【答案】x-21，解得 x 3；解：原方程可化為： |x-2|=1 ，當(dāng) x-20，即 x2時，原方程可化為

10、當(dāng) x-2<0，即 x< 2 時，原方程變形為 -(x-2)=1，解得 x1 K 所以原方程的解為 x3或 x1類型五、解含字母系數(shù)的方程6. 解關(guān)于 x 的方程： mx 1 nx【答案與解析】解：原方程可化為： (m n)x 1當(dāng) m n 0，即 m n 時，方程有唯一解為： x當(dāng) m n 0 ，即 m n 時，方程無解【 總結(jié)升華 】解含字母系數(shù)的方程時，先化為最簡形式 討論1；mnax b，再根據(jù) x系數(shù) a 是否為零進行分類舉一反三：變式】若關(guān)于 x 的方程 (k-4)x=6有正整數(shù)解，求自然數(shù) k 的值. 答案】解： 原方程有解， k40原方程的解為： x6 為正整數(shù)，

11、k 4 應(yīng)為 6 的正約數(shù)，即 k 4 可為： 1， 2， 3，6k4 k 為： 5， 6， 7，10答：自然數(shù) k 的值為：5，6，7，10.一、選擇題1關(guān)于 x的方程 3x+50與 3x+3k1 4A-2 BC 2D32下列說法正確的是( )A由 7x 4x-3 移項得 7x-4x -32x 1 x 3B由1 去分母得鞏固練習(xí)題的解相同，則 k 的值為 ()432(2x-1)1+3(x-3)32C由 2(2x-1)-3(x-3) 1 去括號得 4x-2-3x-9 4D由 2(x-1)x+7 移項合并同類項得 x 52x 1 x 13將方程1去分母得到方程 6x-3-2x-2 6，其錯誤的原

12、因是 (23A分母的最小公倍數(shù)找錯B去分母時，漏乘了分母為1 的項C去分母時，分子部分的多項式未添括號，造成符號錯誤D去分母時，分子未乘相應(yīng)的數(shù)454解方程x 307 ，較簡便的是 ()54D先兩邊都乘以 45A先去分母B先去括號C先兩邊都除以 455 小明在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中一個常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是：5y ，于是小明3( ) 112y y ，怎么辦呢小明想了想，便翻看了書后的答案，此方程的解是22很快補上了這個常數(shù)，并迅速完成了作業(yè)同學(xué)們，你們能補出這個常數(shù)嗎它應(yīng)是A 1B2C3D4 6. (山東日照)某道路一側(cè)原有路燈 106 盞，相鄰兩盞燈的距離為 36 米，現(xiàn)

13、計劃全部更換為新型 的節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離變?yōu)?70 米，則需更換的新型節(jié)能燈有( )A54 盞B 55 盞C 56 盞D57 盞7.號，其意義是a b 2a b ，若 x(13) 2，則 x 等于 ( )“”表示一種運算符13A1BCD2228.關(guān)于 x的方程 (3m 8n)x 7 0無解，則 mn 是 ( )A正數(shù)B非正數(shù)C負數(shù)D非負數(shù)、填空題9.（福建泉州）已知方程| x| 2 ，那么方程的解是1x10. 當(dāng) x= 時， x 1 x的值等于 2.33 x 2 11已知關(guān)于 x 的方程的 a x3解是 4，則 （ a）2 2a 2212 若關(guān)于 x 的方程 ax+3=4x+1 的解為

14、正整數(shù)，則整數(shù) a 的值是 13已知關(guān)于 x的方程 mx 3 2（x m）的解滿足 x 2 3 0，則 m的值是 14 a、 b、 c、 d 為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運算：abad bc ，那么當(dāng)24cd1x518時，則 x 三、解答題15解下列方程1）3 5 2y 4 10 4yy22510111233xxxx2343240.3x 0.10.20.15x 0.13 30x 200.07 3017. 如圖所示，用三種大小不同的六個正方形和一個缺角的正方形拼成長方形ABCD，其中， GH=2cm， GK=2cm，設(shè) BF=xcm，（ 1）用含 x 的代數(shù)式表示 CM= cm， DM=cm（ 2）

15、若 DC=10cm，求 x 的值（ 3）求長方形 ABCD 的面積答案與解析】、選擇題1【答案】 C5 【解析】方程 3x+5 0 的解為 x ，代入方程 3x+3k1，再解方程可求出 k32 【答案】 A2x 1 x 3 【解析】由 7x 4x-3 移項得 7x-4x -3；B1 去分母得 2(2x-1)6+3(x-3)； C把322(2x-1)-3(x-3) 1 去括號得 4x-2-3x+91；D2(x-1) x+7，2x-2x+7，2x-x7+2，x 93【答案】 C2x 1 x 1【解析】把方程 1去分母，得 3(2x-1)-2(x-1) 6，6x-3-2x+2 6 與 6x-3-2x

16、-2 6 相比 23較，很顯然是符號上的錯誤4【答案】 B45【解析】 因為 與 互為倒數(shù)，所以去括號它們的積為 1.545【答案】 B1 15【 解析】設(shè) 被污染的 方程的常 數(shù)為 k， 則方程為 2y y k ，把 y 代 入方程得2 2310 1 55 1 10k ，移項得 k ，合并同類項得 -k -2，系數(shù)化為 1 得 k 2 ，故選 B2 2 66 2 36【答案】 B【解析 】設(shè)有 x 盞，則有 (x 1)個燈距，由題意可得： 36(106 1) 70(x 1) ，解得： x 557【答案】 B【解析】由題意可 得： “ ”表示 2 倍的第一個數(shù)減去第二個數(shù)，由此可得：1 3 2

17、 1 3 1，1而 x (1 3) x ( 1) 2x 1 2，解得： x28【答案】 B【解析】原方程可化為： (3m 8n)x7，將 “3m 8n”看作整體，只有 3m 8n 0時原方程才無解，由此可得m,n 均為零或一正一負，所以mn 的值應(yīng)為非正數(shù)二、填空9【答案】x12， x2210【答案】31211【答案】243解析】把 x4 代入方程，得a243，2解得 a 6，從而 (-a)2-2a 2412 【答案】 2 或 3【 解析】由題意，求出方程的解為：2ax 4x 1 3(a 4)x 2 ， xa4 ，因為解為正整數(shù)，所以 a 4 1或 2，即a2或 313【答案】 5 或 1解析

18、】由 x 2 3 0，得：x 2 3或-3，即x為5或-1。當(dāng)x 5時，代入 mx 3 2（x m）得， m 1；當(dāng) x 1 時，代入得 m514 【答案】 3【解 析】由題意， 得 2×5-4（1-x） 18，解得 x 3三、解答題15. 【解析】解：（ 1）原方程可化為：y222x 32移項，合并得： x3x解得： x223）原方程可化為：15x去分母，化簡得：13解得： x1516. 【解析】13715x 133x33x解： （1）原方程可化為：(a 4)x當(dāng)a4時，方程有唯一解：a4當(dāng)a當(dāng)a4，4，8時，方程無解；8時，原方程的解為任意有理數(shù)，即有無窮多解(2)(m1)x(m 1)(m 2)解得： y 42）原方程可化為：當(dāng) m 1 0 ，即 m 1 時，方程有唯一的解： x m 2當(dāng) m 1