本科數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文

1、 *大學(xué) 2014 屆本科畢業(yè)論文論文題目：行列式的計(jì)算及應(yīng)用學(xué)生姓名： * 所在院系： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 所學(xué)專(zhuān)業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) （金融方向） 導(dǎo)師姓名： * 完成時(shí)間： *年*月*日 行列式的計(jì)算及應(yīng)用摘要在高等代數(shù)這門(mén)課程里，行列式是最基本而又重要的內(nèi)容之一，同時(shí)也是數(shù)學(xué)研究中的重要的工具之一，在線(xiàn)性代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、解析幾何等眾多課程理論中以及實(shí)際問(wèn)題中許也發(fā)揮著重要作用，了解如何計(jì)算和應(yīng)用行列式顯得尤為重要。本文首先闡述行列式的基本理論，在此研究的基礎(chǔ)上介紹了降階法，歸納法，化三角形法等幾種常見(jiàn)的且有一定技巧的解行列式的方法,并列舉了相關(guān)的例子，更直觀地了解解行列式方法的精髓。另外，本

2、文又介紹了行列式在解析幾何、代數(shù)及其他課程當(dāng)中的應(yīng)用，進(jìn)一步加深了對(duì)行列式的理解。最后本文又列舉實(shí)例闡述行列式在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了行列式的理論與實(shí)際相結(jié)合。研究行列式的計(jì)算方法及其應(yīng)用可以提高對(duì)行列式的認(rèn)識(shí)，有利于把行列式的研究推向深入。通過(guò)這一系列的方法可以進(jìn)一步提升對(duì)行列式的認(rèn)識(shí)，為以后學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：行列式，因式分解，化三角形法, 歸納法，加邊法，Matlab軟件Determinant calculation and applicationAbstractThis course in advanced algebra, the determinant is one of th

3、e most basic and important content, while many math curriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the determinant is parti

4、cularly important. This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive und

5、erstanding of the essence of the solution determinant method. In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice t

6、o achieve a theoretical and practical determinant combined. Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen the study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this serie

7、s of methods, laid the foundation for future learning.Keywords: determinants, factorization of a triangle, induction, plus side method, Matlab software目錄1. 行列式的定義及性質(zhì)11.1 行列式的定義11.1.1 排列11.1.2 定義11.2 行列式的相關(guān)性質(zhì)12. 行列式的計(jì)算方法52.1 幾種特殊行列式的結(jié)果52.1.1 三角行列式52.1.2 對(duì)角行列式52.2 定義法52.3 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算52.4 降階法62.5 歸納法72.

8、6 遞推法82.7 拆項(xiàng)法92.8 用范德蒙德行列式計(jì)算102.9 化三角形法102.10 加邊法112.11 拉普拉斯定理的運(yùn)用122.12 行列式計(jì)算的Matlab實(shí)驗(yàn)133. 行列式的應(yīng)用153.1 行列式應(yīng)用在解析幾何中153.2 用行列式表示的三角形面積153.3 應(yīng)用行列式分解因式163.4 利用行列式解代數(shù)不等式173.5 利用行列式來(lái)證明拉格朗日中值定理173.6 行列式在實(shí)際中的應(yīng)用18總結(jié)20參考文獻(xiàn)21附錄122附錄222附錄323謝辭241. 行列式的定義及性質(zhì)1.1 行列式的定義 排列1在任意一個(gè)排列中，若前面的數(shù)大于后面的數(shù)，則它們就叫做一個(gè)逆序，在任意一個(gè)排列中，

9、逆序的總數(shù)就叫做這個(gè)排列的逆序數(shù). 定義1 階行列式就相當(dāng)于全部不同行、列的個(gè)元素的乘積 (1-1-1)的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列，每一項(xiàng)（1-1-1）都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)是偶排列時(shí)，（1-1-1）是正值，當(dāng)是奇排列時(shí)，（1-1-1）是負(fù)值.這一定義可以表述為， (1-1-2)這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.由于行列指標(biāo)的地位是對(duì)稱(chēng)的，所以為了決定每一項(xiàng)的符號(hào)，我們也可以把每一項(xiàng)按照列指標(biāo)排起來(lái)，所以定義又可以表述為. （1-1-3）1.2 行列式的相關(guān)性質(zhì)記 ,則行列式叫做行列式的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式是相等的2. 即.證明：記中的一般項(xiàng)個(gè)元素的乘積是它處于的不同行和不同列

10、，所以它也處于的不同行和不同列，在中應(yīng)是所以它也是中的一項(xiàng).反之, 的每一項(xiàng)也是的一項(xiàng)，即和有相同的項(xiàng).再由上面（1-2）和（1-3）可知這兩項(xiàng)的符號(hào)也相同，所以.性質(zhì)2 .證明： 性質(zhì)3 如果行列式的某行(列)的元素都為兩個(gè)數(shù)之和2，如，那么行列式就等于下列兩個(gè)行列式的和：可以參照性質(zhì)2的證明得出結(jié)論.性質(zhì)4 對(duì)換行列式中任意兩行的位置，行列式值相反.即若設(shè)則證明：記中的一般項(xiàng)中的個(gè)元素的乘積是它在中處于不同行、不同列，因而在中也處于不同行、不同的列，所以它也是的一項(xiàng).反之，中的每一項(xiàng)也是中的一項(xiàng)，所以和有相同的項(xiàng)，且對(duì)應(yīng)的項(xiàng)絕對(duì)值相同.現(xiàn)在看該項(xiàng)的符號(hào)：它在中的符號(hào)為由于是由交換的、兩行而

11、得到的，所以行標(biāo)的級(jí)排列變?yōu)榧?jí)排列，而列標(biāo)的級(jí)排列并沒(méi)有發(fā)生變化.因此和中每一對(duì)相應(yīng)的項(xiàng)絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，即性質(zhì)5 如果行列式中任有兩行元素完全相同，那么行列式為零.證明：設(shè)該行列式為，交換相同的那兩行，由性質(zhì)4可得,故性質(zhì)6 如若行列式中任有兩行或者兩列元素相互對(duì)應(yīng)成比例，則行列式為零.證明：設(shè)階行列式中第行的各個(gè)元素為第行的對(duì)應(yīng)元素的倍，由性質(zhì)2，可以把提到行列式外，然后相乘.則剩下的行列式的第行與第行兩行相同，再由性質(zhì)5，最后得到行列式為零.性質(zhì)7 把任意一行的倍數(shù)加到另一行，行列式的值不改變. .2. 行列式的計(jì)算方法2.1 幾種特殊行列式的結(jié)果 三角行列式（上三角行列式）.（下三

12、角行列式）. 對(duì)角行列式 .2.2 定義法例1 用定義法證明證明：行列式的一般項(xiàng)可表成列標(biāo)只能在中取不同的值，故三個(gè)下標(biāo)中至少有一個(gè)要取中的一個(gè)數(shù)，則任意一項(xiàng)里至少有一個(gè)為因子，故任一項(xiàng)必為零，即原行列式的值為零.2.3 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例2 一個(gè)階行列式的元素都滿(mǎn)足， 那么叫做反對(duì)稱(chēng)行列式,證明：奇數(shù)階的反對(duì)稱(chēng)行列式的值等于0.證明：由知，即所以行列式可寫(xiě)為，再由行列式的性質(zhì)2，得到 ， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，得，因而得到.2.4 降階法例3 計(jì)算級(jí)行列式.解：按第一列展開(kāi)得到原式.2.5 歸納法形如行列式 叫做階范德蒙（Vandermonde）行列式.下面證明，對(duì)每一個(gè)，階范德蒙行列式就等于這個(gè)

13、數(shù)的所有可能的差的乘積.用數(shù)學(xué)歸納法證明范德蒙德行列式我們對(duì)作歸納法.（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)果是對(duì)的.（2）設(shè)對(duì)于級(jí)的范德蒙行列式，結(jié)論是成立的，先來(lái)看級(jí)的情況.在中，第行減第行的倍，第行減第行的倍，即由下而上逐次地從每一行減它上一行的倍，得到.最后面這個(gè)行列式是級(jí)范德蒙德行列式，再由歸納法假設(shè)，它的值就是；而所有帶有的差即為上式最后等式行列式的前面.所以，結(jié)論對(duì)級(jí)范德蒙德行列式也是成立的.由數(shù)學(xué)歸納法，證明了結(jié)論. 用連乘號(hào)，這個(gè)結(jié)果可以簡(jiǎn)寫(xiě)為. （2-5-1）2.6 遞推法給定一個(gè)遞推關(guān)系式，再給定某一個(gè)較低階初始行列式的值，就可遞推求得所給階行列式的值，運(yùn)用這種方法計(jì)算的方法就叫做遞推法。一個(gè)典

14、型的例子是范德蒙德行列式. 分析：如果第一行全是1把第一行變出一排0其他位置將會(huì)變得不好掌握，所以通過(guò)把第一列變出一排0來(lái)降階；并且，為了使降階后的行列式仍然具有原來(lái)的形式，不能用第一行的若干倍加到其他各行的辦法，而用逐行變零的方法.解：同上題，第行減第行的倍，第行減第行的倍，即由下而上逐次地從每一行減它上一行的倍，有 原式.其中行列式仍然是同樣形式的但階數(shù)少1的范德蒙德行列式，所以可以按同樣的辦法反復(fù)降階.從上面的計(jì)算知道，這樣的辦法做一次，出現(xiàn)的因式是第一列后面的每列的字母減去第一列的字母的差之積.因此得.所以階范德蒙德行列式為.2.7 拆項(xiàng)法把給定的行列式的某一行或者某一列的元素表述為兩

15、數(shù)之和的形式，再根據(jù)行列式的性質(zhì)把原行列式表示為兩行列式的和的方法叫做拆項(xiàng)法.把一個(gè)繁瑣的行列式化簡(jiǎn)為兩個(gè)簡(jiǎn)單的行列式，把問(wèn)題簡(jiǎn)單化以便于計(jì)算.例4 計(jì)算行列式 .解：+ .2.8 用范德蒙德行列式計(jì)算例5 計(jì)算.解：中的各行元素都各自是一個(gè)數(shù)不同的方冪，方冪的次數(shù)從左到右依次遞升，次數(shù)由1遞升至.提取出每一行的公因數(shù)，那么方冪的次數(shù)就由0增至，得到上等式右端的行列式是階范德蒙德行列式，由（2-5-1）公式得.2.9 化三角形法把原有的行列式簡(jiǎn)化為上（下）三角形或者對(duì)角形或者階梯形行列式計(jì)算的方法叫做化三角形法。例6 .解：將第2、3、n列的元素都加到第一列上，提出公因式，得原式=.2.10

16、加邊法加邊法是把原來(lái)的行列式加上一行，一列然后再利用性質(zhì)簡(jiǎn)化進(jìn)行計(jì)算的方法。它的一般做法是：特殊情況取 或.讓我們以例6為例 .2.11 拉普拉斯定理的運(yùn)用拉普拉斯定理：設(shè)任意取定行列式中的個(gè)行.那么行列式就等于這行元素所構(gòu)成的所有級(jí)子式和它們的代數(shù)余子式的乘積的和.例7 計(jì)算階行列式.解：由拉普拉斯展開(kāi)定理，按照第1行和第列展開(kāi)得.階的行列式也按同樣方法展開(kāi)，得.依次類(lèi)推，得 .2.12 行列式計(jì)算的Matlab實(shí)驗(yàn)除了上述幾種常規(guī)方法，還可以借助一些數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算，它不僅簡(jiǎn)便易操作，而且計(jì)算效率高。求解方陣的行列式時(shí)可調(diào)用.例8 求矩陣的行列式.用Matlab編程>> A=1

17、 3 5;2 4 2;6 3 9>> det(A)運(yùn)行后得到結(jié)果為-78.(見(jiàn)附錄1)例9 解方程組用Matlab編程>> A=1 1 1 1;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11>> b=4 6 -7 17'>> x=inv(A)*b運(yùn)行后得到結(jié)果為（見(jiàn)附錄2）Matlab 可以進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，首先應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)式將用到的符號(hào)用語(yǔ)句syms 定義.例10 求行列式的值.用Matlab編程>> syms a b c d>> A=a b;c d>> det(A) 運(yùn)行后得到結(jié)果為a*d - b

18、*c.（見(jiàn)附錄3）3. 行列式的應(yīng)用3.1 行列式應(yīng)用在解析幾何中根據(jù)齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件這一重要結(jié)論，在中學(xué)解析幾何中直線(xiàn)方程、圓錐曲線(xiàn)方程中可以給出行列式的形式.例11 求解過(guò)點(diǎn)和，而且焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程.解：設(shè)所求的橢圓方程為，如果點(diǎn)和在橢圓上，則 把它看成是關(guān)于和的齊次線(xiàn)性方程組，由于它有非零解，故橢圓方程可寫(xiě)為 ，代值得，即 .解得 .3.2 用行列式表示的三角形面積例12 在一個(gè)平面內(nèi)以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積S，是的絕對(duì)值.證明：把平面中為三點(diǎn)擴(kuò)充到三維空間里, 設(shè)它的坐標(biāo)分別為, 是任意的常數(shù). 則： , 則面積為=3.3 應(yīng)用行列式分解因式利用行列式分解因式主要在于構(gòu)

19、造，再根據(jù)行列式的性質(zhì)來(lái)計(jì)算，以便于提取公因式.例13 解因式.解： (把第一列加到第二列)（提取公因式）.3.4 利用行列式解代數(shù)不等式例14 求證不等式，其中.證明：要證明，只需證明;(把第二行、第三行各自加到第一行)因?yàn)樗裕实米C.3.5 利用行列式來(lái)證明拉格朗日中值定理7證明拉格朗日中值定理時(shí)，一般要構(gòu)建一個(gè)輔導(dǎo)函數(shù)，讓它滿(mǎn)足羅爾定理，于是一般要構(gòu)建一個(gè)輔導(dǎo)函數(shù)，讓它滿(mǎn)足定理中的條件，從而得到結(jié)論.下面給出證明.拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足條件（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在有一點(diǎn)，使得： 構(gòu)建行列式型的輔助函數(shù)來(lái)證明證明：設(shè) 因在上是連續(xù)的，在內(nèi)是可導(dǎo)的，故

20、在上是連續(xù)的，在內(nèi)是可導(dǎo)的，且，故由羅爾定理得，至少存在有一點(diǎn)，使得=所以 .3.6 行列式在實(shí)際中的應(yīng)用行列式在許多工程上的問(wèn)題上，特別是在電子工程和控制論，能用拉普拉斯變換進(jìn)行分析，在經(jīng)濟(jì)管理和工業(yè)生產(chǎn)中也有著很普遍的應(yīng)用，可以根據(jù)行列式的性質(zhì)來(lái)解決一部分工程中的現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題.例15 現(xiàn)有三塊草地人工飼養(yǎng)羊，草地的草是一樣密集，生長(zhǎng)速度也一樣.這三塊草地的面積分別為畝、10畝和24畝，第一塊草地飼養(yǎng)12只羊可維持4周；第二塊草地飼養(yǎng)21只羊可支撐9周，問(wèn)在第三塊草地上應(yīng)豢養(yǎng)幾只羊恰巧能支撐18周？解： 設(shè)每畝草地有草kg，每周每畝生長(zhǎng)新草kg，第三片牧場(chǎng)可飼養(yǎng)只羊，每只羊每周吃草kg，由題意

21、，得即 可以得到，這是以為未知數(shù)的齊次線(xiàn)性方程組，由于它有非零解，故它的系數(shù)行列式，展開(kāi)后得，即可以在第三塊草地飼養(yǎng)36只羊維持18周.總結(jié)行列式從線(xiàn)性方程組的問(wèn)題引出來(lái)，成為線(xiàn)性代數(shù)中一個(gè)最基本的工具.在高深的高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里和現(xiàn)實(shí)生活里的實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，都有著直接或者間接的聯(lián)系.行列式一般有很多種計(jì)算方法，綜合性要求也很高，比較靈活，這就要求我們平時(shí)在學(xué)習(xí)當(dāng)中多練習(xí)多總結(jié).一般常用來(lái)計(jì)算行列式的方法主要有降階法，歸納法，化三角形法，范德蒙德行列式等.本文先從行列式的定義以及性質(zhì)出發(fā)，介紹了求解行列式比較基本的方法.隨后又介紹了幾種比較常見(jiàn)的有技巧的方法，如加邊法、降階法、化三角形法等，加深了對(duì)

22、行列式的研究.最后還列舉了用數(shù)學(xué)軟件Matlab求解行列式的方法，給求行列式帶來(lái)了極大的方便.行列式在數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域中有著普遍的應(yīng)用，本文介紹了行列式在解析幾何、代數(shù)及其他課程中的應(yīng)用.通過(guò)這一系列應(yīng)用進(jìn)一步提高對(duì)行列式的認(rèn)識(shí)，為以后的學(xué)習(xí)發(fā)揮著重大作用.最后又列舉了行列式在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，化抽象為具體，更加深入理解行列式的作用.參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研小組編.高等數(shù)學(xué)（第三版）M,2003. 1-1202 毛綱源.線(xiàn)性代數(shù)解題方法技巧歸納M.武漢：華中科技大學(xué),2000.31-483 賈蘭香、張建華.線(xiàn)性代數(shù).南開(kāi)大學(xué)出版社M2003.1-474 錢(qián)吉林. 高等代數(shù)題解精粹M. 北京: 中央民族大學(xué)出版社,2002. 58-795 呂林根、許子道.解析幾何.高等教育出版社（第四版）M,2004.23-456 楊立群. 行列式在初等代數(shù)中的應(yīng)用J. 東北師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2012.67 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第二版）M.北京：高等教育出版社，2000.59-658 賈計(jì)榮. 行列式在初等代數(shù)中的應(yīng)用J.太