數(shù)學(xué)解題能力展示迎春杯高年級組復(fù)賽試題及詳細(xì)解析

1、2009年迎春杯高年級組復(fù)賽試題1. 計算：= 2. 在方框中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得除法豎式成立已知商為奇數(shù)，那么除數(shù)為 3. 用數(shù)字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9組成五個四位數(shù)，要求這5個數(shù)的和的各位數(shù)字都是奇數(shù)，那么這個和數(shù)最大是 4. 在新年聯(lián)歡會上，某班組織了一場飛鏢比賽如右圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對應(yīng)17分、11分和4分每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)若恰好投在兩塊(或三塊)區(qū)域的交界線上，則得兩塊(或三塊)區(qū)域中分?jǐn)?shù)最高區(qū)域的分?jǐn)?shù)如果比賽規(guī)定恰好投中120分才能獲獎，要想獲獎至少需要投中 次飛鏢41

2、1175. 在一個奇怪的動物村莊里住著貓、狗和其他一些動物有20%的狗認(rèn)為它們是貓；有20%的貓認(rèn)為它們是狗其余動物都是正常的一天，動物村的村長小猴子發(fā)現(xiàn)：所有的貓和狗中，有32%認(rèn)為自己是貓如果這個奇怪的動物村莊里有狗比貓多180只那么狗的數(shù)目是 只6. 太平洋某島國的一個部落里只有兩種人：一種是永遠(yuǎn)說真話的老實人，一種是永遠(yuǎn)說假話的騙子一天，這個部落的2009個人舉行了一次圓桌會議，每個人都聲稱：“我左右的兩個人都是騙子”第二天，會議繼續(xù)進(jìn)行，但一人因病未能到會，因此只有2008個人參加第二天的會議大家按照新的順序坐了下來，此時，每個人都聲稱：“我左右的兩個人都和我不是同一種人”參加第一天

3、圓桌會議的人之中共有 位老實人7. A、B兩地位于同一條河上，B地在A地下游100千米處甲船從A地、乙船從B地同時出發(fā)，相向而行，甲船到達(dá)B地、乙船到達(dá)A地后，都立即按原來路線返航水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同如果兩船兩次相遇的地點相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是 米/秒8. 一個電子表用5個兩位數(shù)(包括首位為0的兩位數(shù))表示時間，如15:23:45/06/18表示6月18日15點23分45秒有一些時刻這個電子表上十個數(shù)字都不同，在這些時刻中，表示時間的5個兩位數(shù)之和最大是9. 從1999中選出連續(xù)6個自然數(shù)，使得它們的乘積的末尾恰有4個0，一共有 種選法10. 請將1，2，3

4、，10這10個自然數(shù)填入圖中的10個小圓圈內(nèi)，使得圖中的10條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等那么乘積 11. 三個兩兩不同的正整數(shù)，和為126，則它們兩兩最大公約數(shù)之和的最大值為 12. 如圖，ABCD是一個四邊形，M、N分別是AB、CD的中點如果ASM、MTB與DSN的面積分別是6、7和8，且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形ABCD的面積為 13. 一條路上有東、西兩鎮(zhèn)一天，甲、乙、丙三人同時出發(fā)，甲、乙從東鎮(zhèn)向西而行，丙從西鎮(zhèn)向東而行，當(dāng)甲與丙相遇時，乙距他們20千米，當(dāng)乙與丙相遇時，甲距他們30千米當(dāng)甲到達(dá)西鎮(zhèn)時，丙距東鎮(zhèn)還有20千米，那么當(dāng)丙到達(dá)東鎮(zhèn)時，乙距西鎮(zhèn) 千米14. 右圖中的

5、是同樣的小等邊三角形，也是等邊三角形且邊長為的2倍，是同樣的等腰直角三角形，是正方形那么，以為平面展開圖的立體圖形的體積是以為平面展開圖的立體圖形體積的 倍15. 老師給前來參加“迎春晚會”的31位同學(xué)發(fā)放編號：1，2，31如果有兩位同學(xué)的編號的乘積是他們編號和的倍數(shù)，則稱這兩位同學(xué)是“好朋友”從這31位同學(xué)中至少需要選出 人，才能保證在選出的人中一定可以找到兩位同學(xué)是“好朋友”2009年迎春杯高年級組復(fù)試解析1. 計算：= 【分析】 分析：對于這種分?jǐn)?shù)計算題，應(yīng)當(dāng)先將其化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行約分原式到了這一步，由于15827，4199，2829都較大，不容易直接進(jìn)行判斷，但是對于287，2530，

6、286，可以看出它們有因子7，41，11，23，13等，可以進(jìn)行約分，再看看15827，4199，2829等較大的數(shù)中是否有因子7，41，23，13，如果有，相應(yīng)地進(jìn)行約分，最后可得結(jié)果為5具體的式子如下：原式(其中323還可以分解成，但是由于分子、分母中的323可以直接約掉，所以計算過程中不需要對它進(jìn)行分解)2. 在方框中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得除法豎式成立已知商為奇數(shù)，那么除數(shù)為 【分析】 首先看除式的第二、三行，一個三位數(shù)減去一個兩位數(shù)，得到一個一位數(shù)，可得這個三位數(shù)的前兩位為1、0，這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為9，個位不能為0除數(shù)是一個三位數(shù)，它與商的百位和個位相乘，所得的兩個三位數(shù)的百位都是9

7、，那么可得商的百位和個位相同先將已得出的信息填入方框中，并用字母來表示一些方框中的數(shù)，如右圖所示由于商為奇數(shù)，所以是奇數(shù)，可能為1、3、7、9(不可能為5)若為1，則，而為三位數(shù)，于是，又這個乘積的十位數(shù)字為0，而不能為0，矛盾所以不為1；若為3，則，可能為1、4、7， 相應(yīng)的為304、314、324當(dāng)為314和324時所的結(jié)果的十位數(shù)字不可能為0，不合題意；若為304，則可能為1或2，經(jīng)檢驗為1和2時都與豎式不符，所以也不能為3；若為7，則，只有時滿足，此時，那么經(jīng)檢驗滿足題意；若為9，則，只能為7，此時，則只能為1經(jīng)檢驗也不合題意所以只有除數(shù)為136時豎式成立，所以所求的除數(shù)即為1363.

8、 用數(shù)字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9組成五個四位數(shù)，要求這5個數(shù)的和的各位數(shù)字都是奇數(shù)，那么這個和數(shù)最大是 【分析】 由于一個數(shù)除以9的余數(shù)等于這個數(shù)的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)，那么這五個四位數(shù)的和除以9的余數(shù)，就等于這五個四位數(shù)的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)，而這五個四位數(shù)的各位數(shù)字之和為，除以9的余數(shù)為0，所以這五個四位數(shù)的和除以9的余數(shù)也是0，也就是說這五個四位數(shù)的和是9的倍數(shù)由于每個四位數(shù)都小于10000，所以這五個四位數(shù)的和小于50000，那么這個和的首位不超過4，由于各位數(shù)字都是奇數(shù)，所以首位最大為3，千位和百位最大為9當(dāng)前三位分別為3

9、、9、9時，要使這個和是9的倍數(shù)，后兩位數(shù)字的和除以9應(yīng)余6，可能為6和15；然而這兩個數(shù)都是奇數(shù)，它們的和為偶數(shù)，所以只能是6，那么這兩個數(shù)應(yīng)分別為5和1才能使和最大，此時最大和為39951而當(dāng)這五個四位數(shù)分別為9348，9247，8236，7115，6005時，它們的和恰好為39951，因此所求的最大值為399514. 在新年聯(lián)歡會上，某班組織了一場飛鏢比賽如右圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對應(yīng)17分、11分和4分每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)若恰好投在兩塊(或三塊)區(qū)域的交界線上，則得兩塊(或三塊)區(qū)域中分?jǐn)?shù)最高區(qū)域的分?jǐn)?shù)如果比賽規(guī)定恰好投中120分才能

10、獲獎，要想獲獎至少需要投中 次飛鏢41117【分析】 假設(shè)投中17分、11分、4分的次數(shù)分別為次、次和次，那么投中飛鏢的總次數(shù)為次，而總得分為分，要想獲獎，必須由于，得到當(dāng)?shù)闹狄欢ê螅棺钚?，必須使盡可能大若，得到，此時無整數(shù)解；若，得到，此時，；若，得到，此時最大為4，當(dāng)時，這種情況下；若，得到，此時，；若，得到，此時最大為6，當(dāng)時，這種情況下；若，得到，此時最大為9，當(dāng)時，這種情況下；若，得到，此時最大為8，當(dāng)時，這種情況下經(jīng)過比較可知的值最小為10，所以至少需要投中10次飛鏢才能獲獎5. 在一個奇怪的動物村莊里住著貓、狗和其他一些動物有20%的狗認(rèn)為它們是貓；有20%的貓認(rèn)為它們是狗其

11、余動物都是正常的一天，動物村的村長小猴子發(fā)現(xiàn)：所有的貓和狗中，有32%認(rèn)為自己是貓如果這個奇怪的動物村莊里有狗比貓多180只那么狗的數(shù)目是 只【分析】 仔細(xì)分析題目，發(fā)現(xiàn)本題其實是一個簡單的濃度問題：有20%的狗認(rèn)為自己是貓，有80%的貓認(rèn)為自己是貓；而將貓和狗混合在一起，所有的貓和狗中，有32%的認(rèn)為自己是貓那么根據(jù)濃度三角，狗和貓的數(shù)量之比為：而狗比貓多180只，所以狗的數(shù)目為只6. 太平洋某島國的一個部落里只有兩種人：一種是永遠(yuǎn)說真話的老實人，一種是永遠(yuǎn)說假話的騙子一天，這個部落的2009個人舉行了一次圓桌會議，每個人都聲稱：“我左右的兩個人都是騙子”第二天，會議繼續(xù)進(jìn)行，但一人因病未能

12、到會，因此只有2008個人參加第二天的會議大家按照新的順序坐了下來，此時，每個人都聲稱：“我左右的兩個人都和我不是同一種人”參加第一天圓桌會議的人之中共有 位老實人【分析】 第一天的時候，考慮相鄰的三個人，中間的人如果是老實人，那么他左右的兩個人都是騙子；中間的人如果是騙子，那么他左右的兩個人中至少有1個是老實人可見每相鄰的三個人中至少有1個老實人由于，可以先選取兩個人，其中至少有1個是老實人(即任意選取1個老實人，再選取一個與他相鄰的人)，再將剩下的2007個人每相鄰的三人分為一組，共分成669組，那么每組中至少有1個老實人，所以第一天至少有個老實人第二天的時候，還是考慮相鄰的三個人，中間的

13、人如果是老實人，那么他左右的兩個人都是騙子；中間的人如果是騙子，那么他左右的兩個人中至少有一個和他是同一種人，也就是說至少有一個是騙子，至多有一個是老實人可見每相鄰的三個人中至多有1個老實人由于，可以先任意選取1個騙子，再將剩下的2007個人每相鄰的三人分為一組，共分成669組，那么每組中至多有1個老實人，所以第二天至多有669個老實人由于第二天有一個人沒來，所以第一天比第二天至多多1個老實人，那么第一天至多有個老實人，而根據(jù)前面的分析，第一天至少有670個老實人，所以第一天恰好有670個老實人7. A、B兩地位于同一條河上，B地在A地下游100千米處甲船從A地、乙船從B地同時出發(fā)，相向而行，

14、甲船到達(dá)B地、乙船到達(dá)A地后，都立即按原來路線返航水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同如果兩船兩次相遇的地點相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是 米/秒【分析】 本題采用折線圖來分析較為簡便如圖，箭頭表示水流方向，表示甲船的路線，表示乙船的路線，兩個交點、就是兩次相遇的地點由于兩船在靜水中的速度相同，所以兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣榷挤謩e相同，那么兩船順?biāo)写湍嫠写玫臅r間都分別相同，表現(xiàn)在圖中，就是和的長度相同，和的長度相同那么根據(jù)對稱性可以知道，點距的距離與點距的距離相等，也就是說兩次相遇地點與、兩地的距離是相等的而這兩次相遇的地點相距20千米，所以第一次相遇時，兩船分別走了千米和

15、千米，可得兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣戎葹槎標(biāo)俣扰c逆水速度的差為水速的2倍，即為4米/秒，可得順?biāo)俣葹槊?秒，那么兩船在靜水中的速度為米/秒8. 一個電子表用5個兩位數(shù)(包括首位為0的兩位數(shù))表示時間，如15:23:45/06/18表示6月18日15點23分45秒有一些時刻這個電子表上十個數(shù)字都不同，在這些時刻中，表示時間的5個兩位數(shù)之和最大是【分析】 假設(shè)五個兩位數(shù)的十位數(shù)上的數(shù)字之和為，那么個位數(shù)上的數(shù)字之和為，則五個兩位數(shù)上的數(shù)字之和為，所以十位數(shù)上的數(shù)字之和越大，則五個兩位數(shù)之和越大顯然，五個兩位數(shù)的十位數(shù)字都不超過，只能是這五個數(shù)字中的五個如果五個數(shù)字是，那么只能在“分”、“秒”

16、兩個兩位數(shù)的十位，而只能在“日期”的十位上，只能在“時”的十位上，只能在“月份”的十位上，此時“日期”的個位、“月份”的個位、“時”的個位不能同時滿足實際情況如果五個數(shù)字是，那么只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，而只能在“日期”的十位上，只能在“時”的十位上，此時“日期”的個位、“時”的個位不能同時滿足實際情況如果五個數(shù)字是，那么只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，而只能在“日期”的十位上，則“日期”的個位無法滿足情況如果五個數(shù)字是，那么只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，依次在“日期”的十位上、“時”的十位上、“月份”的十位上容易滿足條件所以最大值為9. 從1999中選出連續(xù)6個自然

17、數(shù)，使得它們的乘積的末尾恰有4個0，一共有 種選法【分析】 連續(xù)的6個自然數(shù)中，必有3個偶數(shù)，這3個偶數(shù)是3個連續(xù)偶數(shù)，其中至少有1個是4的倍數(shù)，那么這3個偶數(shù)的積肯定是的倍數(shù)，所以任意的連續(xù)6個自然數(shù)的積都是的倍數(shù)另外，連續(xù)的6個自然數(shù)中，至少有一個5的倍數(shù)，至多有兩個5的倍數(shù)：如果其中只有1個5的倍數(shù)，由于末尾要有4個0，那么這個5的倍數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)，即是625的倍數(shù)，又小于1000，只能是625，那么這6個數(shù)可以是621626，622627，623628，624629，共4種；如果其中有2個5的倍數(shù)，那么只能是這連續(xù)6個自然數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)都是5的倍數(shù)由于這兩個5的倍數(shù)不可能同時是25

18、的倍數(shù)，所以其中必有一個是的倍數(shù)，可能為125，250，375，500，625，750，900對于其中除625外的6個數(shù)，每個數(shù)都可以是這連續(xù)6個自然數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)，所以對這6個數(shù)，每個數(shù)都有2種取法，共有種取法；而對于625來說，與另一個5的倍數(shù)相乘，將會是的倍數(shù)，要想使末尾恰有4個0，則這連續(xù)6個自然數(shù)的乘積要是的倍數(shù)但又不是的倍數(shù)檢驗620625和625630這兩組的連續(xù)6個自然數(shù)，后者滿足題意，前者則不合題意所以有2個5的倍數(shù)的情況下共有種選法根據(jù)加法原理，共有種選法小結(jié)：本題容易出錯的地方在于容易忽略掉625630這一組數(shù)，因為在平常做題中面對此類問題基本上都是2比5多的情況，

19、所以學(xué)生可能對于2比5少的可能性根本不予考慮10. 請將1，2，3，10這10個自然數(shù)填入圖中的10個小圓圈內(nèi)，使得圖中的10條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等那么乘積 【分析】 對于本題，可以通過“10條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等”(實際上是11條)這一等量關(guān)系，將每一個小圓圈中的數(shù)表示出來由于每一條直線上的數(shù)之和都為，可得圖中每一個小圓圈中的數(shù)如下圖：可以得到，可得，代入得，即，只能是，則11. 三個兩兩不同的正整數(shù)，和為126，則它們兩兩最大公約數(shù)之和的最大值為 【分析】 假設(shè)這三個數(shù)分別為，且，則，要求的是的最大值由于是和的最大公約數(shù)，根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過程，可以知道也是和的最大公

20、約數(shù)，而一個數(shù)的約數(shù)不可能比這個數(shù)大，所以，同理可得，；，由，得到；由，得到；由，得到；三式相加可得，故也就是說的最大值為72要使等號成立，必須使五個不等式，中的等號都成立，即，得到，即時等號成立在本題中就是，分別為18，36，72時它們兩兩最大公約數(shù)之和取得最大值72小結(jié)：本題的結(jié)論較容易猜到，但證明起來較困難另外可能會有人猜到時取到最大值，這是錯誤的12. 如圖，ABCD是一個四邊形，M、N分別是AB、CD的中點如果ASM、MTB與DSN的面積分別是6、7和8，且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形ABCD的面積為 【分析】 連接、由于是的中點，所以與的面積相等，而比的面積大1，所以比的

21、面積大1；又由于是的中點，所以的面積與的面積相等，那么的面積比的面積大1，所以的面積為9假設(shè)的面積為，則的面積為根據(jù)幾何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面積為，的面積為要使這兩個三角形的面積為整數(shù)，可以為1，3或7由于的面積為面積的一半，的面積為面積的一半，所以與的面積之和為四邊形面積的一半，所以與的面積之和等于四邊形的面積，即：，得將、3、7分別代入檢驗，只有時等式成立，所以的面積為7，、的面積分別為8、6、9四邊形ABCD的面積為小結(jié)：本題中“且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)”這個條件是多余的13. 一條路上有東、西兩鎮(zhèn)一天，甲、乙、丙三人同時出發(fā)，甲、乙從東鎮(zhèn)向西而行，丙從西鎮(zhèn)向東而行，當(dāng)甲與

22、丙相遇時，乙距他們20千米，當(dāng)乙與丙相遇時，甲距他們30千米當(dāng)甲到達(dá)西鎮(zhèn)時，丙距東鎮(zhèn)還有20千米，那么當(dāng)丙到達(dá)東鎮(zhèn)時，乙距西鎮(zhèn) 千米【分析】 如圖，甲、乙兩人從地出發(fā)，丙從地出發(fā)，甲、丙相遇在處，此時乙到達(dá)處，、相聚20千米；三人繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)丙和乙在處相遇時，甲到達(dá)處，、相聚30千米當(dāng)甲、丙相遇時，甲、丙兩人合走了一個全程，且此時甲比乙多走了20千米；當(dāng)丙和乙分別從、出發(fā)走到處相遇時，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲比乙多走了10千米由于，可見丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程為60千米當(dāng)甲到達(dá)西鎮(zhèn)時，丙距東鎮(zhèn)還有20千米，所以甲、丙的速度之比為，那么兩人相遇時丙走了千

23、米，甲走了千米，乙走了千米，丙和乙的速度比為，那么當(dāng)丙到達(dá)東鎮(zhèn)時，乙距西鎮(zhèn)千米14. 右圖中的是同樣的小等邊三角形，也是等邊三角形且邊長為的2倍，是同樣的等腰直角三角形，是正方形那么，以為平面展開圖的立體圖形的體積是以為平面展開圖的立體圖形體積的 倍【分析】 本題中的兩個圖都是立體圖形的平面展開圖，將它們還原成立體圖形，可得到如下兩圖：其中左圖是以為平面展開圖的立體圖形，是一個四個面都是正三角形的正四面體，右圖以為平面展開圖的立體圖形，是一個不規(guī)則圖形，底面是，四個側(cè)面是，兩個斜面是對于這兩個立體圖形的體積，可以采用套模法來求，也就是對于這種我們不熟悉的立體圖形，用一些我們熟悉的基本立體圖形來套，看看它