微分中值定理的證明及應(yīng)用

1、微分中值定理的證明及應(yīng)用黃敏（井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江西吉安 343009）指導(dǎo)老師：顏昌元摘要 本文從不同的方面對(duì)此定理加以證明,使得抽象的定理靈活化,從而更易理解,并在此基礎(chǔ)上去解決關(guān)于“微分中值定理”的應(yīng)用的問(wèn)題.關(guān)鍵詞 輔助函數(shù) 中值定理 介值定理引言微分中值定理不僅是微分學(xué)的基本定理，而且它也是微分學(xué)的理論核心.又因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的許多重要應(yīng)用都是建立在中值定理基礎(chǔ)上的，所以微分中值定理是微分學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ).微分中值定理通常指:羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.在常見教材中,以羅爾中值定理為基礎(chǔ),通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)后兩個(gè)定理的證明.證明的關(guān)鍵是做出輔助函數(shù).現(xiàn)行教材中傳統(tǒng)形式的輔

2、助函數(shù),表達(dá)式冗長(zhǎng).以下通過(guò):1、分析推理法2、“K”值法3、積分法三種方法構(gòu)造出形式簡(jiǎn)單的輔助函數(shù),而且構(gòu)造的過(guò)程是水到渠成,自然而有邏輯.并提出一種新穎地“逆序統(tǒng)一證明”法證明這三個(gè)定理.最后通過(guò)一類證明題和一些巧用來(lái)說(shuō)明“微分中值定理”的應(yīng)用.1微分中值定理的證明 定理1 羅爾（Rolle）中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得成立.定理2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 成立.定理3 柯西(Cauchy)中值定理 如果函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，在開

3、區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立.1.1 證明中建立輔助函數(shù)的方法 這類微分中值定理證明的方法,一般是在羅爾定理的基礎(chǔ)上引出輔助函數(shù)來(lái)完成.因此根據(jù)問(wèn)題分析并構(gòu)造出一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的輔助函數(shù),是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.1.1.1 分析推理法分析一下定理3,定理3的結(jié)論是:至少存在一點(diǎn),使得即 ,即,因?yàn)?所以只要 （*）由（*）式可以試著構(gòu)造函數(shù) 只要它滿足羅爾中值定理的條件，便知存在一點(diǎn)，使得.即（*）式成立,定理3便可得證.不難驗(yàn)證,確實(shí)滿足羅爾中值定理的條件,因此在證明定理3時(shí),輔助函數(shù)設(shè)為即可,同理,由定理2與定理3的關(guān)系易知,在證明定理2時(shí),可令輔助函數(shù)這種方法主

4、要是針對(duì)現(xiàn)行教材中傳統(tǒng)形式的輔助函數(shù)的表達(dá)式冗長(zhǎng),而通過(guò)分析推理,遵循嚴(yán)密的邏輯關(guān)系,構(gòu)造出形式簡(jiǎn)單的輔助函數(shù),從而解決定理的證明.1.1.2 “K”值法拉格朗日中值定理中,令 ,則有,即有,不難發(fā)現(xiàn),在上均滿足羅爾中值定理的條件,其中,因此可以作為所需要的輔助函數(shù).而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣,因此,只需將上述方法推而廣之,即可證得柯西中值定理.令,由已知,對(duì)中任意，,可推得（根據(jù)羅爾中值定理可證得）.此時(shí)有即 不難發(fā)現(xiàn),可以取作為輔助函數(shù),它在上均滿足羅爾中值定理的條件,故有,又,所以即此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的過(guò)程相當(dāng)巧妙，而且所得輔助函數(shù)簡(jiǎn)單明朗，但邏輯關(guān)系并非十分嚴(yán)密，帶有一定的

5、偶然性，不易理解,沒(méi)有上種“分析推理法”邏輯性強(qiáng).1.1.3 積分法定理2 拉格朗日中值定理的證明把需證之式變?yōu)閷?duì)應(yīng)改寫成（把換成）,證明上述方程在內(nèi)存在根，將上式左邊對(duì)積分，有故取 .則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)，使,即 .同理，可以知道定理3柯西中值定理的證明.把需證之式變成對(duì)應(yīng)改寫成 （把換成）證明上述方程在內(nèi)存在根，將上式左邊對(duì)積分，有故取則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使得即.通過(guò)以上證明可知,“積分法”的關(guān)鍵步驟也是構(gòu)造輔助函數(shù)，其基礎(chǔ)方法是：（1）將需證之式整理，使等式右邊為0，左邊的改寫成；（2）對(duì)等式左邊關(guān)于積分；（3）對(duì)應(yīng)積分值

6、寫出，這種方法最大的優(yōu)點(diǎn)在于其規(guī)律性，不需要過(guò)多的考慮步驟,而只需根據(jù)規(guī)律就可步步得出證明.易掌握和運(yùn)用.1.2 逆序統(tǒng)一證明法這種方法顛覆了傳統(tǒng)的證明順序.按Cauchy中值定理、Lagrange中值定理、Rolle中值定理的順序給出證明。10 先證Cauchy中值定理證 令,則滿足：（1）在上連續(xù);(2)在內(nèi)可導(dǎo);(3) 若（常數(shù)）,取內(nèi)任一點(diǎn)為都有，即若存在某個(gè)屬于，,因?yàn)樵谏线B續(xù),所以必在某點(diǎn)在處取得最大值或最小值，則亦稱為極值點(diǎn)，又在可導(dǎo),所以.即20 Lagrange中值定理的證明證 只要令定理中的，立即有本定理的結(jié)論.30 Rolle中值定理證明證 把該定理中的條件用于Lagra

7、nge中值定理的結(jié)論即證.從上述整個(gè)證明過(guò)程不難看出,實(shí)際上只對(duì)定理1給出了詳細(xì)的證明,且難易程度與繁簡(jiǎn)程度不大,而后兩個(gè)定理是立即得到的推論,與上述構(gòu)造輔助函數(shù)相比,而有更簡(jiǎn)捷、更新穎、更快捷的具大優(yōu)勢(shì).2 微分中值定理的應(yīng)用要熟練的應(yīng)用中值定理確實(shí)是一件不易的事，尤其是輔助函數(shù)的引入，更是變化多樣.下面給出微分中值定理在數(shù)學(xué)分析的一些證明題中的巧用.2.1 插入一個(gè)分點(diǎn)使?jié)M足中值定理的條件.分點(diǎn)c的選取,要根據(jù)具體情況而定,有時(shí)需要結(jié)合閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)推斷符合要求的點(diǎn)c的存在性,以保證函數(shù)在該點(diǎn)處的值滿足特殊要求,進(jìn)而完成證明.例 1設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), ，證明:(1) 存在內(nèi)兩個(gè)

8、不同的點(diǎn),使得,(2) 存在內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn),，使得,(3) 存在內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn),使得,(4) 存在內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn),及大于零的常數(shù),使得,(5) 對(duì)于任意的正整數(shù)，存在內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn),及常數(shù),使得 ,(6) 對(duì)于任意常數(shù)屬于，存在內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn),及c屬于使得 .分析 要證明存在內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn),，使得題中等式成立，關(guān)鍵是在內(nèi)插入一個(gè)分點(diǎn)c，將閉區(qū)間分成兩個(gè)子區(qū)間及，然后分別在這兩個(gè)閉區(qū)間上應(yīng)用中值定理即可.證 (1)顯然,分別在及上滿足Lagrange中值定理的條件，故存在屬于，屬于，使得，.從而 .（2）因?yàn)樵谏线B續(xù)，,，故根據(jù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在c屬于上滿足，顯然，分別在及上滿足

9、Lagrange中值定理的條件，故存在屬于，屬于使得：，從而 .（3）構(gòu)造輔助函數(shù)顯然，其在上連續(xù)，且，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理，存在c屬于，滿足即又分別在及上滿足Lagrange中值定理的條件，故存在屬于，屬于使得：，從而 .（4）因?yàn)樵谏线B續(xù)，,，故根據(jù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在c屬于上滿足，顯然，分別在及上滿足Lagrange中值定理的條件，故存在屬于，屬于，,使得：，從而.（5）因?yàn)樵谏线B續(xù)，,，則對(duì)于任意的正整數(shù)，故根據(jù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在c屬于，滿足，且顯然 分別在及上滿足Lagrange中值定理的條件，故存在屬于，屬于，,使得：，從而.（6）因?yàn)樵谏?/p>

10、連續(xù)，,，且對(duì)于任意常數(shù)屬于，故根據(jù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在c屬于滿足又顯然在及上滿足中值定理的條件，故存在屬于，屬于，屬于，使，從而.2.2 若在所證明的等式中同時(shí)出現(xiàn)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)時(shí),應(yīng)考慮使用這個(gè)輔助函數(shù),因?yàn)樗膶?dǎo)數(shù)等于它本身,在使用Rolle定理時(shí)可以消去.例2 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可微,且,則存在屬于,使.證 令，因?yàn)?所以.再由Rolle定理得,存在屬于,使.即,所以成立.例3 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可微,且,則存在屬于,使.證 令，因?yàn)?所以.由Rolle定理得：存在屬于,使，即.所以有成立.例4 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可微,且,則對(duì)于任

11、意自然數(shù),存在屬于,使證 同理只需令,再應(yīng)用Rolle定理即可.2.3 已知在一個(gè)區(qū)間的某一端點(diǎn)處的值為0,且在所證明的式子中有自然數(shù)出現(xiàn),則可考慮的方冪.例 5 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可微,且,其中,則對(duì)任意正整數(shù)，存在屬于,使成立.證明:因?yàn)樵谝C明的式子中,有及,還有自然數(shù),故聯(lián)想到及.令,則.由Rolle定理得:存在屬于,使即.2.4 經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形,一端可寫成或形式的不等式,或要證明的不等式是區(qū)間內(nèi)“至少”一點(diǎn)使命題成立.例6設(shè),證明成立.分析 原不等式等價(jià)于由不等式左端的形式,可知Cauchy定理可能解決此題.證 令由題設(shè)條件,可知,在上滿足Cauchy定理的條件,于是有:

12、即: 故即成立.參考文獻(xiàn)1劉玉璉，付沛仁.數(shù)學(xué)分析講義M.高等教育出版社，20012裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法M.高等教育出版社，20033張素霞，徐文雄.一類微分中值定理證明題淺析J.高等數(shù)學(xué)研究Vol.10 No5 Sep.20074同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué)M.高等教育出版社，19965王新芳.微分中值定理的多種證明方法J.山西財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào),1998Proof of Differential Mean-Value Theorem and Its ApplicationAuthor: Huang Min (Institute of Mathematics and Physics,Jinggangshan University, Jian,Jiangxi 343009)Tutor: Yan changyuanAbstract In this paper, we prove the differential mean-value theorem form different aspects. These proof make abstract theorem fl