帶電球體電場與電勢地分布

1、帶電球體電場與電勢的分布時間2021.03.10創(chuàng)作：歐陽治王峰（南通市啟秀中學物理學科江蘇南通226006）在高三物理復習教學中，遇到帶電體的內(nèi)、外 部場強、電勢的分布特點問題時，我們一般以帶電 金屬導體為例，指出其內(nèi)部場強處處為零，在電勢 上金屬體是一個等勢體，帶電體上的電勢處處相 等；但對帶電金屬導體的內(nèi)、外部場強、電勢的大 小的分布特點及帶電絕緣介質(zhì)球的內(nèi)、外部電場、 電勢的大小分布很少有詳細說明；而在電場一章的 復習中，常常會遇到此類問題，高三學生已初步學 習了簡單的微積分，筆者在此處利用微積分的數(shù)學 方法，來推導出上述問題的答案，并給出相應的 “Et”和“0一廣”的關系曲線圖，供大

2、家參考。本文中對電場、電勢的分布推導過程均是指在 真空環(huán)境中，即相對介電常數(shù)旬=1；對電勢的推導 豹取充勞遠處為電勢零參考點的，即4"。1、帶電的導體球：因為帶電導體球處于穩(wěn)定狀態(tài) 時，其所帶電荷全部分布在金屬球體的表面，所以 此模型與帶電球殼模型的電場、電勢分布的情況是 一致的。1.1電場分布：1.1.1內(nèi)部（尺人）：如圖（1）所示，在均勻帶 電金屬球（殼）內(nèi)的任意點P處，均有通過直徑相 似對稱的兩個帶電球冠面S和S2 ,當兩條線夾角&很 小時，S和S2可以近似看作兩個帶電圓面，且S和 S2兩個面的尺寸相對它們距離P點距離很小，這樣 S和S2兩個帶電面就可以近似處理為點電荷

3、，它們 在p點各自產(chǎn)生電場強度dp與勺卩，計算如下所示：設球體帶電總量為0, 表面上且均勻分別在導體球外： EP=K41或球殼）內(nèi)_Qin S2且EP與I9Ep = 0 ,艮N'、 部的電場強度處處為篆1.1.2外部（AR）:女遷 所示，要計算帶 電金屬球（殼）的外部P點朗雖場強度，可以把帶 電導體球的表面分割成許多的單元面將每個單元面上電荷在P點產(chǎn)生的電場dE進行疊加，求出P 點的合場強S o由于球面上單元面力的對稱性特點，可知P點的電場強度勵的方向最終應該沿”連 線的方向。上述求電場盛度S的理論方注、是淺顯易憧的, / / 、但數(shù)學處理王比第/R雜,法；即先要:對“S 0 2”的環(huán)

4、秧分,'QE+dE 圓扮匙行 “ Z 矗塚輸進萍沿直徑/方向的Otjt的祗分,最終求出帶屜球體在P點的合 一場強勵。積分過程如下：如圖（2）所示，設圖（2）OA = R, OP = r9 AP = x ,球表面電荷的面密度為=KGils門-cosO取球面極坐標，則ds = Rd(pRZ(pdy/，其中0為沿直徑方向的從Ot/t積分角，0為帶電圓環(huán)的從由OAP 可知：x = J/+/?2-2,/?cos0又COS& =r-Rcos(p 一r- Rcos(pJr2 +R2 - 2iRcqs(p門2r2 -2/7? cos 0r-/? cos (p =2rr2 - Q +r2 + R

5、2 -2rRcos(p27由此可以看出，帶電金屬球體或金屬球殼在外 部空間某點產(chǎn)生的電場強度E,與其上電荷全部集 中在球心時產(chǎn)生的電場強度相等。當廣=/?時，有e = k2 ,所以帶電金屬球或帶R-電球殼的內(nèi)、外電場強度的分布在廣=尺處電場強度 的值有突變的情況。1.1.3圖景：如圖(3)所示，是帶電金屬球或帶電球殼（導體或絕緣體殼均相同）的電場強度E1.2電勢分布:的大小隨P點到圓心O的距離，的關系圖線。121內(nèi)內(nèi)部某點X曹電竝P白呂關I小可以由電場力做功 I丿 I和電勢差關系來確定:由電勢的物理意義肯得，當!以無窮遠點為零勢點I電場強渡從該點到無窮遠的時，該點的電勢等府卜 定積分。即：由上

6、述答案可知，°均勻帶轎金屬球在穩(wěn)定時，舅 圖（3）球外任一點的電勢等于抱冬部電荷看作集中于球心 的一個點電荷在該點的電勢相同；在球體內(nèi)任一點 的電勢應與球面上的電勢相等，故均勻帶電金屬球 面及其內(nèi)部是一個等勢體。1.2.2外部（Q«）:由上述電勢理論同樣可得：當r = R時，有0 = «纟，所以帶電金屬球的內(nèi)、外R電勢的分布是連續(xù)不間斷的。1.2.3圖景：如圖（4）所示，是帶電金屬球或帶電球殼（導體或絕纟殼同）的電勢卩的大小隨P點到圓心0附距離廠的關系圖戰(zhàn)。歐陽治創(chuàng)編2021.0X10OfOO2、帶電的絕緣體球：這種帶電體的電荷是均勻分 布在整個球體的各個部位，即

7、電荷的體密度處處相 同。2.1電場的分布：2.1.1內(nèi)部（/<人）:如圖（5）所示，在此帶 電球體內(nèi)部距離圓心廠處的電場強度6等于以（） 為圓心、r為半徑的帶電球體在此處產(chǎn)生的電場 Q和以（）為圓心從廠到R的帶電球殼在此處產(chǎn)生 的電場昂的疊加；又已知帶電球殼在內(nèi)部產(chǎn)生的 電場強度處處為零（即£2=0）,所以卩點處的電 場強度就等于以廠為半徑的帶電球體產(chǎn)生電場2.1.2外部（/>«）:和帶電導體球（或球殼） 一樣，仍可視為集中在球心處的點電荷在該處產(chǎn)生 的電場。 丘外=« £（ r > /?）當r = R時，有電場強度的最大值Emax =

8、 K £ ,所 R2以，帶電絕緣體球的內(nèi)、外部的電場強度是連續(xù)分 布的；在廠=/?處，電場強度最大。2.1.3圖景：如圖（6）所示，是帶電絕緣體球的 內(nèi)、外部的電場強度£的大小隨P點到圓心（）的距 離r的關系圖線。22電勢的分箱2.2.1內(nèi)部眾由電'勢事物理意義可得，警 以無窮遠點為專如皂時二戈點備電勢等于對電場場2.2.2外部（QZ?）:住士述電容理論同樣可得:z->I當/-=/?,即在此球殼處處電勢為0防器所以帶電絕緣體球的內(nèi)、外電勢的分布曲線是 連續(xù)的。2.2.3圖景：如圖（7）所示，是帶電絕緣體球的 內(nèi)、外部的今疝5知命弋 點到圓心（）的距離r 的關系

9、圖線（-P Q本文運用誨叟積彰珂電場、電勢的分布進歐陽治創(chuàng)編2021.0? “歐陽治創(chuàng)編2021.03.10歐陽治創(chuàng)編 2021.03.10行推導，引導高三復習的同學從數(shù)學角度認識物理 過程，加強了數(shù)學和物理知識的聯(lián)系，深化了學生 的物理形象思維和抽象思維。但高三學生復習本節(jié) 知識點時，對于積分的推導過程不必太關注，但對 電場、電勢推導的結論、圖景要作為高考必備知識 點給予特別記憶和儲存，以達到在高考時節(jié)省用在 選擇題中時間的目的。參考書目：1、趙凱華、陳熙謀電磁學1985年6 月第二版高等教育出版社2、普通高中課程標準實驗教材物理31 2004年5月第一版人民教育出版社 聯(lián)系方式：單位：南通市啟秀中學物理學科 王峰Post:226001Tele宅）（0） mail:nwang