極坐標(biāo)講義與例題

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、基礎(chǔ)知識與例題 考向一 極坐標(biāo)系與簡單曲線的極坐標(biāo)方程考向：求點(diǎn)的極坐標(biāo)、曲線的極坐標(biāo)方程，把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)系、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)例1在極坐標(biāo)系中，直線C1的極坐標(biāo)方程為sin 2，M是C1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上，且滿足|OP|·|OM|4，記點(diǎn)P的軌跡為C2.(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程；(2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線C3：cos距離的最大值解：(1)設(shè)P(，)，M(1，)，依題意有1sin 2，14.消去1，得曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin (0)(2)將C2，C3的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得C2：x2(y1)21，C3：xy2.C2是以點(diǎn)(0，1

2、)為圓心，以1為半徑的圓，圓心到直線C3的距離d，故曲線C2上的點(diǎn)到直線C3距離的最大值為1.考向二簡單曲線的參數(shù)方程考向：求曲線的參數(shù)方程，化參數(shù)方程為普通方程，參數(shù)方程的應(yīng)用例2 已知圓(x2cos )2(y2cos 22)21.(1)求圓心的軌跡C的方程；(2)若存在過點(diǎn)P(0，a)的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，且|PA|，|AB|，|PB|構(gòu)成等比數(shù)列，求a的取值范圍解：(1)圓(x2cos )2(y2cos 22)21的圓心(x，y)的坐標(biāo)為(2cos ，22cos 2)，即消去參數(shù)后可得軌跡C的方程為y4x2(2x2)(2)設(shè)直線AB的方程為(為直線AB的傾斜角，t為參數(shù))，代入y4

3、x2，得t2cos2tsin a40，顯然cos 0，即，設(shè)其兩根為t1，t2.|PA|，|AB|，|PB|構(gòu)成等比數(shù)列，即|AB|2|PA|·|PB|，又|PA|·|PB|t1t2|，|AB|2|t1t2|24，即sin24(a4)|a4|cos2，tan24(a4)|a4|.由tan20得a4，又|PA|·|PB|t1t2|0，a>4，tan25(a4)，又設(shè)軌跡上的點(diǎn)M(2，0)，N(2，0)，則tan2k，a220a800，又a>4，a102 或4<a102 .考向三極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合考向：極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程交匯考查，為坐標(biāo)系與參數(shù)

4、方程試題的基本考查方式例3 在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為2 cos 2sin ，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(，2)，把極點(diǎn)作為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸作為x軸的正半軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位(1)求圓C在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P為圓C上任意一點(diǎn)，圓心C為線段AB的中點(diǎn)，求|PA|PB|的最大值解：(1)2 cos 2sin ，22 cos 2sin .由于2x2y2，xcos ，ysin ，得x2y22 x2y0.圓C在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x)2(y1)24.(2)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(，2)，點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(cos 2，sin 2)，即(，0)圓心C(，1)為線段AB的中點(diǎn)，

5、故點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(，2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，P為圓C上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos ，12sin )，則|PA|PB|.當(dāng)sin 0時，(|PA|PB|)max2 .|PA|PB|的最大值為2 .二、教師備用例題例1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，它與曲線C：(y2)2x21交于A、B兩點(diǎn)(1)求|AB|的長；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離解：(1)把直線的參數(shù)方程對應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程，化簡得7t212t50，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，t1t2.所以|AB

6、|t1t2|5 .(2)易得點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(2，2)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為.所以由t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離為|PM|·.例2. 直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的方程為4cos ，直線l的方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C的公共點(diǎn)為T.(1)求點(diǎn)T的極坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)T作直線l，l被曲線C截得的線段長為2，求直線l的極坐標(biāo)方程解：(1)曲線C：4cos 化為直角坐標(biāo)方程為x24xy20.將代入上式并整理得t24 t120.解得t2 .所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1，)其極坐標(biāo)為.(2)設(shè)直線l的方程為yk(x

7、1)，即kxyk0.由(1)得曲線C是以(2，0)為圓心的圓，且圓心到直線l的距離為.則.解得k0或k.直線l的方程為y或yx.其極坐標(biāo)方程為sin 或(R)三、相關(guān)練習(xí)1.已知橢圓的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)為其右焦點(diǎn)，（）求曲線的普通方程； ().過點(diǎn)作傾斜角為的直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)求的取值范圍。2.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在曲線:，（為參數(shù)）上。以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：（）求曲線的普通方程（）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，若點(diǎn)都在曲線上，求的值。3.已知過點(diǎn)P（-1，1）的直線m與拋物線交于A、B兩個不同點(diǎn)，在線段AB上有動點(diǎn)Q，滿足|PA|、|PQ|、|PB|的

8、倒數(shù)成等差數(shù)列（I）若|PA|PB|=,求直線m的斜率；（II）求證：動點(diǎn)Q在定直線上，并求出直線的方程；4.已知一條封閉的曲線C由一段圓弧 和一段拋物線弧組成。（1）以軸的正半軸為極軸，原點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）若過原點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍。 5. 在極坐標(biāo)系中，已知曲線：，：在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)）設(shè)與相交于點(diǎn)P（）求點(diǎn)P的極坐標(biāo)；（）若動直線過點(diǎn)P，且與曲線相交于兩個不同的點(diǎn)，求的最大值6.已知直線的參數(shù)方程為其中是參數(shù)，是的傾斜角。直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A，B。（I）求的取值范圍；（II）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為，若線段AB上的

9、一點(diǎn)，當(dāng)變化時，求點(diǎn)的軌跡方程。7.在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心極坐標(biāo)為，半徑為1（）求圓C的極坐標(biāo)方程；（II）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系。其中定點(diǎn)P(2，2)，過P作傾斜角為的直線。設(shè)該直線與圓C交于不同兩點(diǎn)A,B，求的取值范圍.參考答案1.已知橢圓的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)為其右焦點(diǎn)，（1）求曲線的普通方程； (2).過點(diǎn)作傾斜角為的直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)求的取值范圍。（）曲線的普通方程為.4分 （II）直線L的參數(shù)方程為代入橢圓得：+6cost-9=0 , t= . 7分又-1<cos 或所求為: .10分2.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在曲線:，（為參數(shù)）上。以原點(diǎn)為極點(diǎn)

10、，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：（）求曲線的普通方程（）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，若點(diǎn)都在曲線上，求的值。解: (1)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入曲線,得:所以: 曲線(2) 曲線,將點(diǎn),代入曲線 (1) (2)由(1)(2)可得:已知過點(diǎn)P（-1，1）的直線m與拋物線交于A、B兩個不同點(diǎn)，在線段AB上有動點(diǎn)Q，滿足|PA|、|PQ|、|PB|的倒數(shù)成等差數(shù)列（I）若|PA|PB|=,求直線m的斜率；（II）求證：動點(diǎn)Q在定直線上，并求出直線的方程；解（I）設(shè)直線的參數(shù)方程為，代入拋物線方程并整理得：，A、B、對應(yīng)的參數(shù)分別為，則PA，PB|PA|PB|=|=，直線m的斜率為.5分(未舍去扣

11、1分)（II）由解（I）知A、B、對應(yīng)的參數(shù)是方程的兩個根，設(shè)Q對應(yīng)參數(shù)為，則,|PA|、|PQ|、|PB|的倒數(shù)成等差數(shù)列, ，Q在線段AB上同號，所以8分所以在定直線上, 定直線方程為:.10分3.已知一條封閉的曲線C由一段圓弧 和一段拋物線弧組成。（1）以軸的正半軸為極軸，原點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）若過原點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍。122， 4.在極坐標(biāo)系中，已知曲線：，：在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)）設(shè)與相交于點(diǎn)P（）求點(diǎn)P的極坐標(biāo)；（）若動直線過點(diǎn)P，且與曲線相交于兩個不同的點(diǎn)，求的最大值解：（）聯(lián)立得：點(diǎn)P坐標(biāo)為4分 （）曲線的普通方程為：，又點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 設(shè)直線：，（為參數(shù)，為傾斜角）代入式得： ，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)分別為 ， ， 當(dāng)，即時，的最大值為10分5.已知直線的參數(shù)方程為其中是參數(shù)，是的傾斜角。直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A，B。（I）求的取值范圍；（II）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為，若線段AB上的一點(diǎn)，當(dāng)變化時，求點(diǎn)的軌跡方程。解（1）將直線的參數(shù)方程代入橢圓方程，并化簡得。設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，則是上方程的兩個不等的實根，于是有，即有，解得。（2）由小題（1）得。設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，則由直線方程的參數(shù)的幾何意義，及條件，得，從而得點(diǎn)的軌跡參數(shù)方程為其中為參數(shù)，且滿足。消去得點(diǎn)的軌跡方程為6.在極坐標(biāo)系中，已知圓