相似三角形與圓綜合題

1、.1、已知：如圖，AB是O的直徑，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)E作O的切線ED，切點(diǎn)為C，ADED交ED于點(diǎn)D，交O于點(diǎn)F，CGAB交AB于點(diǎn)G求證：BGAG=DFDA2、已知：如圖，AB為O的直徑，ABAC，BC交O于D，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F(1)求證：DE為O的切線(2)求證：AB：AC=BF：DF3、(南通)已知：如圖，AB是O的直徑，AB=AC，BC交O于點(diǎn)D，DEAC，E為垂足(1)求證：ADE=B；(2)過(guò)點(diǎn)O作OFAD，與ED的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，求證：FDDA=FODE4、如圖，AB為O的直徑，BF切O于點(diǎn)B，AF交O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在DF上，BC交O于點(diǎn)E，且B

2、AF=2CBF，CGBF于點(diǎn)G，連接AE(1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證：BCGACE；(3)若F=60°，GF=1，求O的半徑長(zhǎng)5、如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEAB分別交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF(1)求證：PC是O的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD2=DEDF，為什么？(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長(zhǎng)6、如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEAB分別交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF(1)求證：PC

3、是O的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD2=DEDF，為什么？(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長(zhǎng)7、如是O的直徑，CB、CD分別切O于B、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，且CE=AE+BC；(1)求證：AE是O的切線；(2)過(guò)點(diǎn)D作DFAB于點(diǎn)F，連接BE交DF于點(diǎn)M，求證：DM=MF8、已知：如圖，AB是O的直徑，D是O上一點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)，使CD=BD，連結(jié)AC。過(guò)點(diǎn)D作DEAC，垂足是點(diǎn)E過(guò)點(diǎn)B作BEAB，交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)OF。求證：(1)EF是O的切線；   (2)OBFDEC。9、如圖，已知AB是O的直徑，C

4、是O上一點(diǎn)，ODBC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作O切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE(1)求證：BE與O相切；(2)連結(jié)AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，若OB6，且sinABC，求BF的長(zhǎng)10、如圖，AB是O的直徑，AC是弦，BAC的平分線AD交O于點(diǎn)D，DEAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn) F。(1)求證：DE是O的切線； (2)若，求的值；(3)在(2)的條件下，若O直徑為10，求EFD的面積11、已知：如圖，在RtABC中，A=90°，以AB為直徑作O，BC交O于點(diǎn)D，E是邊AC的中點(diǎn)，ED、AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F求證：(1)DE為O的切線(2)ABDF=ACBF12

5、、如圖，以ABC的邊AB為直徑的O與邊BC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DEAC，垂足為E，延長(zhǎng)AB、ED交于點(diǎn)F，AD平分BAC(1)求證：EF是O的切線；(2)若AE=3，AB=4，求圖中陰影部分的面積13、知AB是O的直徑，直線l與O相切于點(diǎn)C且，弦CD交AB于E，BFl，垂足為F，BF交O于G。(1)求證：CE2=FG·FB；(2)若tanCBF=，AE=3，求O的直徑。14.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC平分BCD，BD交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作圓的切線AE交CB的延長(zhǎng)線于E.求證：AEBD； AD 2 = DF·AE15、已知：ABCD，過(guò)點(diǎn)D作直線交AC于E，交BC于

6、F，交AB的延長(zhǎng)線于G，經(jīng)過(guò)B、G、F三點(diǎn)作O，過(guò)E作O的切線ET，T為切點(diǎn).求證：ET = ED16、如圖，ABC中，AB = AC，O是BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C作CDBA，垂足為D.求證：（1） DAC = 2B； （2） CA 2 = CD·CO 相似三角形與圓的綜合考題（教師版）1、已知：如圖，AB是O的直徑，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)E作O的切線ED，切點(diǎn)為C，ADED交ED于點(diǎn)D，交O于點(diǎn)F，CGAB交AB于點(diǎn)G求證：BGAG=DFDA證明：連接BC，F(xiàn)C，CO，過(guò)E作O的切線ED，DCF=CAD，D=D，CDFADC，=，CD2=A

7、D×DF，CGAB，AB為直徑，BCA=AGC=BGC=90°，GBC+BCG=90°，BCG+GCA=90°，GBC=ACG，BGCCGA，=， CG2=BG×AG，過(guò)E作O的切線ED，OCDE，ADDE，COAD，OCA=CAD，AO=CO，OAC=OCA，OAC=CAD，在AGC和ADC中，AGCADC（AAS），CG=CD，BG×AG=AD×DF  2、已知：如圖，AB為O的直徑，ABAC，BC交O于D，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F(1)求證：DE為O的切線(2)求證：AB：AC=

8、BF：DF3、(南通)已知：如圖，AB是O的直徑，AB=AC，BC交O于點(diǎn)D，DEAC，E為垂足(1)求證：ADE=B；(2)過(guò)點(diǎn)O作OFAD，與ED的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，求證：FDDA=FODE解：（1）方法一：證明：連接OD，OA=OD，OAD=ODAAB是O的直徑，ADB=90°，即ADBC又AB=AC，AD平分BAC，即OAD=CADODA=DAE=OADADE+DAE=90°，ADE+ODA=90°，即ODE=90°，ODDEOD是O的半徑，EF是O的切線ADE=B方法二：AB是O的直徑，ADB=90°，又DEAC，DEA=90

9、6;，ADB=DEA，ABC中，AB=AC，ADBC，AD平分BAC，即DAE=BADDAEBADADE=B（2）證明：OFAD，F(xiàn)=ADE又DEA=FDO（已證），F(xiàn)DODEAFD：DE=FO：DA，即FDDA=FODE點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；（2）題乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)得以證明   4、如圖，AB為O的直徑，BF切O于點(diǎn)B，AF交O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在DF上，BC交O于點(diǎn)E，且BAF=2CBF，CGBF于點(diǎn)G，連接AE(1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證：BCGACE；(3)

10、若F=60°，GF=1，求O的半徑長(zhǎng)解：（1）如圖1，AB是O的直徑，AEB=90°AEBC（2）如圖1，BF與O相切，ABF=90°CBF=90°-ABE=BAEBAF=2CBFBAF=2BAEBAE=CAECBF=CAECGBF，AEBC，CGB=AEC=90°CBF=CAE，CGB=AEC，BCGACE（3）連接BD，如圖2所示DAE=DBE，DAE=CBF，DBE=CBFAB是O的直徑，ADB=90°BDAFDBC=CBF，BDAF，CGBF，CD=CGF=60°，GF=1，CGF=90°，tanF=CG=

11、tan60°=CG=，CD=AFB=60°，ABF=90°，BAF=30°ADB=90°，BAF=30°，AB=2BDBAE=CAE，AEB=AEC，ABE=ACEAB=AC設(shè)O的半徑為r，則AC=AB=2r，BD=rADB=90°，AD=rDC=AC-AD=2r-r=（2-）r=r=2+3O的半徑長(zhǎng)為2+3  解析：（1）由AB為O的直徑即可得到AE與BC垂直（2）易證CBF=BAE，再結(jié)合條件BAF=2CBF就可證到CBF=CAE，易證CGB=AEC，從而證到BCGACE（3）由F=60°，

12、GF=1可求出CG=；連接BD，容易證到DBC=CBF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=CG=；設(shè)圓O的半徑為r，易證AC=AB，BAD=30°，從而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC-AD=可求出O的半徑長(zhǎng)5、如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEAB分別交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF(1)求證：PC是O的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD2=DEDF，為什么？(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長(zhǎng)分析：（1）連接OC，證明OCP=90°即可（2）乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形

13、式，通過(guò)證明三角形相似得出（3）可以先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過(guò)證明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長(zhǎng)解答：（1）證明：連接OCPC=PF，OA=OC，PCA=PFC，OCA=OAC，PFC=AFH，DEAB，AHF=90°，PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90°，PC是O的切線（2）解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使AD2=DEDF，理由如下：連接AE點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，DAF=DEA，ADE=ADE，DAFDEA，AD：ED=FD：AD，AD2=DEDF（3）解：連接OD交AC于GOH=1，AH=2，OA=3，即可得OD=3，DH=2

14、點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，ACDO，OGA=OHD=90°，在OGA和OHD中，OGAOHD（AAS），AG=DH，AC=4點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可同時(shí)考查了相似三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)   6、如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEAB分別交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF(1)求證：PC是O的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD2=DEDF，為什么？(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長(zhǎng)（

15、1）證明：連接OCPC=PF，OA=OC，PCA=PFC，OCA=OAC，PFC=AFH，DEAB，AHF=90°，PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90°，PC是O的切線（2）解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使AD2=DEDF，理由如下：連接AE點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，DAF=DEA，ADE=ADE，DAFDEA，AD：ED=FD：AD，AD2=DEDF（3）解：連接OD交AC于GOH=1，AH=2，OA=3，即可得OD=3，DH=2點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，ACDO，OGA=OHD=90°，在OGA和OHD中，OGAOHD（AAS），AG=DH，AC=4

16、  解析：（1）連接OC，證明OCP=90°即可（2）乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過(guò)證明三角形相似得出（3）可以先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過(guò)證明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長(zhǎng)。7、如圖，AB是O的直徑，CB、CD分別切O于B、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，且CE=AE+BC；(1)求證：AE是O的切線；(2)過(guò)點(diǎn)D作DFAB于點(diǎn)F，連接BE交DF于點(diǎn)M，求證：DM=MF證明：（1）連接OD，OE，CB、CD分別切O于B、D兩點(diǎn)，ODE=90°，CD=CE，CE=AE+BC，CE=CD+DE，AE=DE，OD=OA，OE

17、=OE，ODEOAE（SSS），OAE=ODE=90°，OAAE，AE是O的切線；（2）DFAB，AEAB，BCAB，AEDFBC，BMFBEA，EDMECB，DM=MF  解析：（1）首先連接OD，OE，由CB、CD分別切O于B、D兩點(diǎn)，即可得ODE=90°，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可證得AE=DE，則可得ODEOAE，即可證得AE是O的切線；（2）首先易證得AEDFBC，然后由平行線分線段成比例定理，求得比例線段，將比例線段變形，即可求得DM=MF8、已知：如圖，AB是O的直徑，D是O上一點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)，使CD=BD

18、，連結(jié)AC。過(guò)點(diǎn)D作DEAC，垂足是點(diǎn)E過(guò)點(diǎn)B作BEAB，交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)OF。求證：(1)EF是O的切線；   (2)OBFDEC。證明：（1）連結(jié)OD，   AB是O的直徑，   OA=OB，   又CD=BD，   ODAC，   DEAC，   DEC=90°，ODE=90°，  點(diǎn)D是O上一點(diǎn)，  EF是O的切線。（2）BFAB，

19、AB是O的直徑，   BF是O的切線，   EF是O的切線，   BFO=DFO，F(xiàn)B=FD，   OFBD，  FDB=CDE，  OFD=C，  C=OFB，   又CED=FBO=90°，   OBFDEC。  9、如圖，已知AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，ODBC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作O切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE(1)求證：BE與O相切；(2)連結(jié)

20、AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，若OB6，且sinABC，求BF的長(zhǎng)解：（1）連結(jié)CO，ODBC，12，再由COOB，OE公共，OCEOBE（SAS ）OCEOBE，又CE是切線，OCE90°，OBE90°BE與O相切（2）備用圖中，作DHOB于H，H為垂足，在RtODB中，OB6，且sinABC，OD4，同理RtODHRtODB，DH，OH 又RtABFRtAHD，F(xiàn)BDHABAH，F(xiàn)B考點(diǎn)：切線定義，全等三角形判定，相似三角形性質(zhì)及判定。點(diǎn)評(píng)：熟知以上定義性質(zhì)，根據(jù)已知可求之，本題有一定的難度，需要做輔助線。但解法不唯一，屬于中檔題。10、如圖，AB是O的直徑，AC是

21、弦，BAC的平分線AD交O于點(diǎn)D，DEAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn) F。 (1)求證：DE是O的切線； (2)若，求的值；(3)在(2)的條件下，若O直徑為10，求EFD的面積試題分析：（1）連接OD，根據(jù)角平分線定義和等腰三角形的性質(zhì)可得CAD=ODA，推出ODAC，根據(jù)平行線性質(zhì)和切線的判定推出即可；（2）先由（1）得ODAE，再結(jié)合平行線分線段成比例定理即可得到答案；（3）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合圓的基本性質(zhì)求解即可.（1）連接OD因?yàn)镺A =" OD" 所以O(shè)AD = ODA 又已知OAD = DAE&#

22、160;可得ODA = DAE ，所以O(shè)DAC ，又已知DEAC可得DEOD 所以DE是O的切線；（2）由（1）得ODAE，（3）考點(diǎn)：圓的綜合題點(diǎn)評(píng)：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.11、已知：如圖，在RtABC中，A=90°，以AB為直徑作O，BC交O于點(diǎn)D，E是邊AC的中點(diǎn)，ED、AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F求證：(1)DE為O的切線(2)ABDF=ACBF證明：（1）如圖，連接OD、ADOD=OA，2=3，AB是O的直徑，BDA=90°，CDA=90°又E是邊AC的中點(diǎn)，DE=AE=AC，1=4，4+3

23、=1+2=90°，即°又AB是O的直徑，DE為O的切線；（2）如圖，ABAC，ADBC，3=C（同角的余角相等）又ADB=CDA=90°，ABDCAD，易證FADFDB，ABDF=ACBF  解析：（1）連接OD、AD，求出CDA=BDA=90°，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，求出1=4，2=3，推出4+3=1+2=90°，根據(jù)切線的判定即可；（2）證ABDCAD，推出，再證FADFDB，推出，得，即可得出ABDF=ACBF12、如圖，以ABC的邊AB為直徑的O與邊BC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DEAC，垂足為E，延長(zhǎng)AB、ED交于點(diǎn)F，AD平分

24、BAC(1)求證：EF是O的切線；(2)若AE=3，AB=4，求圖中陰影部分的面積解：（1）連接ODOA=OD，OAD=ODA，AD平分BAC，OAD=CAD，ODA=CAD，ODAC，DEAC，DEA=90°，ODF=DEA=90°，OD是半徑，EF是O的切線（2）AB為O的直徑，DEAC，BDA=DEA=90°，BAD=CAD，BADDAE，即，AD=2，cosBAD=， BAD=30°，BOD=2BAD=60°，BD=AB=2，SBOD=SABD=××2×2=，S陰影=S扇形BOD-SBOD= 解析

25、：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得出OAD=ODA=DAE，推出ODAC，推出ODEF，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）證BADDAE，求出AD長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BAD=30°，求出BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和BOD的面積，相減即可13、知AB是O的直徑，直線l與O相切于點(diǎn)C且，弦CD交AB于E，BFl，垂足為F，BF交O于G。(1)求證：CE2=FG·FB；(2)若tanCBF=，AE=3，求O的直徑。解：（1）證明：連結(jié)AC，AB為直徑，ACB=90°，且AB是直徑，ABCD即CE是RtABC的高，A=ECB，ACE=EBC，CE是O的切線，F(xiàn)CB=A，CF2=FG·FB，F(xiàn)CB=ECB，BFC=CEB=90°，CB=CB，BCFBCE，CE=CF，F(xiàn)BC=CBE，CE2=FG·FB；（2）CBF=CBE，CBE=ACE，ACE=CBF，tanCBF=tanACE