柱、錐、臺(tái)的表面積與體積教案

1、.第一章空間立體幾何初步1.3 空間幾何體的表面積與體積1.3.1柱、錐、臺(tái)的表面積與體積一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)理解正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積及表面積的定義(2)了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式能夠運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的表面積與體積公式求簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積(重點(diǎn))(3)了解球的表面積與體積公式.(4)會(huì)解決球的組合體及三視圖中球的有關(guān)問(wèn)題(難點(diǎn))2過(guò)程與方法(1)讓學(xué)生經(jīng)歷幾何體的側(cè)面展開(kāi)過(guò)程，感知幾何體的形狀 (2)讓學(xué)生通過(guò)對(duì)照比較，發(fā)現(xiàn)柱體、錐體、臺(tái)體三者間體積的關(guān)系 (3)通過(guò)作軸截面，尋找旋轉(zhuǎn)體類組合體中量與量之間的關(guān)系 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀使學(xué)生通過(guò)表面積與

2、體積公式的探究過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化和類比的思想，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積計(jì)算難點(diǎn)：棱臺(tái)的表面積公式的推導(dǎo)重難點(diǎn)突破：先從學(xué)生熟悉的正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖為切入點(diǎn)，分析幾何體的展開(kāi)圖與其表面積的關(guān)系，然后通過(guò)“探究”和“思考”引導(dǎo)學(xué)生歸納棱柱、棱錐和棱臺(tái)的表面積公式，并讓學(xué)生熟悉并掌握球的表面積公式三、教學(xué)方法類比、練習(xí)、自學(xué)四、專家建議通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)的表面積與體積的學(xué)習(xí)探究，明確柱體、錐體、臺(tái)體三者間體積的關(guān)系，明確表面積與體積公式的探究過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化和類比的思想。五、教學(xué)過(guò)程新知探究知識(shí)點(diǎn)1 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積【問(wèn)題導(dǎo)思】1正方體與長(zhǎng)

3、方體的展開(kāi)圖如下圖(1)(2)所示，則相應(yīng)幾何體的表面積與其展開(kāi)圖的面積有何關(guān)系.【提示】相等2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與其展開(kāi)圖的面積是否也都相等.【提示】是棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各個(gè)面的面積的和，也就是展開(kāi)圖的面積知識(shí)點(diǎn)2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積【問(wèn)題導(dǎo)思】圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別如圖中(1)、(2)、(3)所示1上述幾何體側(cè)面展開(kāi)圖的面積與該幾何體的表面積相等嗎.【提示】不相等2如何計(jì)算上述幾何體的表面積.【提示】幾何體的表面積等于側(cè)面積與底面積之和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱(底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l)圓錐(底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l)圓臺(tái)(上、下底面半徑為r，r，母線長(zhǎng)

4、為l)底面積S底r2S底r2S底(r2r2)側(cè)面積S側(cè)2rlS側(cè)rlS側(cè)(rlrl)表面積S表2r(rl)S表r(rl)S表(r2r2rlrl)知識(shí)點(diǎn)3 柱體、錐體、臺(tái)體的體積【問(wèn)題導(dǎo)思】1正方體、長(zhǎng)方體、圓柱的體積公式如何表示.【提示】VSh，其中S為底面面積，h為高2上述體積公式對(duì)所有柱體都適用嗎.【提示】都適用1祖暅原理(1)“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即“夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”(2)作用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等. (3)說(shuō)明：祖暅原理充分體現(xiàn)了空間與平面問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化

5、思想，是推導(dǎo)柱、錐、臺(tái)體積公式的理論依據(jù)2柱、錐、臺(tái)、球的體積其中S、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑名稱體積(V)柱體棱柱Sh圓柱r2h錐體棱錐Sh圓錐r2h臺(tái)體棱臺(tái)h(SS)圓臺(tái)h(r2rrr2)典例分析類型1 求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積例1.已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，高與斜高夾角為30.求它的側(cè)面積和表面積【分析】根據(jù)多面體的側(cè)面積公式，可以先求出相應(yīng)多面體的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)面的斜高，進(jìn)而由公式求解【解析】如圖所示，設(shè)正四棱錐的高為PO，斜高為PE，底面邊心距為OE，它們組成一個(gè)直角三角形POE.OE2，OPE30，PE4.S正四棱錐側(cè)

6、ch(44)432，S表面積423248.即該正四棱錐的側(cè)面積是32，表面積是48.方法總結(jié)：1要求錐體的側(cè)面積及表面積，要利用已知條件尋求公式中所需的條件，一般用錐體的高、斜高、底面邊心距等量組成的直角三角形求解相應(yīng)的量2空間幾何體的表面積運(yùn)算，一般是轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運(yùn)算，往往通過(guò)解三角形來(lái)完成變式訓(xùn)練：(2013XX高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A180B200C220 D240【解析】由三視圖知識(shí)知該幾何體是底面為等腰梯形的直四棱柱等腰梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為8，高為4，腰長(zhǎng)為5，直四棱柱的高為10，所以S底(82)4240，S側(cè)1081022105200

7、，S表40200240，故選D.【答案】D類型2 求圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圖1164例2如圖1164所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC90，AB5 cm，BC16 cm，AD4 cm.求以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積【分析】【解析】以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓臺(tái)，其上底半徑是4 cm，下底半徑是16 cm，母線DC13 (cm)該幾何體的表面積為(416)1342162532(cm2)方法總結(jié)：1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)幾何量都集中體現(xiàn)在軸截面上，因此準(zhǔn)確把握軸截面中的相關(guān)量是求解旋轉(zhuǎn)體表面積的關(guān)鍵2棱錐及棱臺(tái)的表面積計(jì)算常借助斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高

8、、底面邊長(zhǎng)等構(gòu)成的直角三角形(或梯形)求解變式訓(xùn)練：在題設(shè)條件不變的情況下，求以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積【解】以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓柱和圓錐的組合體，如圖所示：其中圓錐的高為16412(cm)，圓柱的母線長(zhǎng)為AD4 cm，故該幾何體的表面積為：25452513130(cm2)類型三求柱體的體積例3(2014XX高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A72 cm3B90 cm3C108 cm3D138 cm3【分析】【解析】該幾何體為一個(gè)組合體，左側(cè)為三棱柱，右側(cè)為長(zhǎng)方體，如圖所示VV三棱柱V長(zhǎng)方體433436187290(cm3

9、)【答案】B方法總結(jié)：1解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是先由三視圖還原作出直觀圖，然后根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)在直觀圖中求出計(jì)算體積所需要的數(shù)據(jù)2若由三視圖還原的幾何體的直觀圖由幾部分組成，求幾何體的體積時(shí)，依據(jù)需要先將幾何體分割分別求解，最后求和變式訓(xùn)練：一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是()A164B124C8 D4【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平放的直三棱柱，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以該幾何體的體積為2224，選D.【答案】D類型4 求錐體的體積例4.如圖三棱臺(tái)ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱錐A1ABC，三棱錐BA1B1C，三棱錐CA1B1C1的體積之比

10、【分析】【解析】設(shè)棱臺(tái)的高為h，SABCS，則SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V臺(tái)h(S4S2S)Sh，VBA1B1CV臺(tái)VA1ABCVCA1B1C1ShSh，體積比為124.方法總結(jié)：三棱柱、三棱臺(tái)可以分割成三個(gè)三棱錐，分割后可求錐體的體積和柱體或臺(tái)體的體積關(guān)系，割補(bǔ)法在立體幾何中是一種重要的方法變式訓(xùn)練：在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去8個(gè)三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是()A.B.C.D.【解析】如圖，去掉的一個(gè)棱錐的體積是，剩余幾何體的體積是18.【答案】D類型5 求臺(tái)體的體積例5.已知正四

11、棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為20 cm和10 cm，側(cè)面積是780 cm2.求正四棱臺(tái)的體積【分析】可以嘗試借助四棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形求出棱臺(tái)底面積和高，從而求出體積【解析】如圖所示，正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，則E1E是側(cè)面ABB1A1的高設(shè)O1、O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形由S側(cè)4(1020)E1E780，得EE113，在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15，OEAB10，O1O12，V正四棱臺(tái)12(1022021020)2 800 (cm3)故正四棱臺(tái)的體積為2 800 cm3.方法總結(jié)

12、：求臺(tái)體的體積關(guān)鍵是求出上、下底面的面積和臺(tái)體的高要注意充分運(yùn)用棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形或圓臺(tái)的軸截面尋求相關(guān)量之間的關(guān)系變式訓(xùn)練：本例若改為“正四棱臺(tái)的上、下兩底的底面邊長(zhǎng)分別為2 cm和4 cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2 cm，求該棱臺(tái)的體積”【解】如圖，正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，上、下底面邊長(zhǎng)分別為2 cm和4 cm，則O1B1 cm，OB2 cm，過(guò)點(diǎn)B1作B1MOB于點(diǎn)M，那么B1M為正四棱臺(tái)的高，在RtBMB1中，BB12 cm，MB(2) (cm)根據(jù)勾股定理MB1(cm)S上224 (cm2)，S下4216(cm2)，V正四棱臺(tái)(416)28 (cm3)六、課堂總結(jié)一、柱、錐、臺(tái)的表面積1

13、如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，那么它的表面積S表2(abbcac)；如果正方體的棱長(zhǎng)為a，那么它的表面積為S表6a2.2求棱錐的表面積，可以先求側(cè)面積，再求底面積求側(cè)面積，要清楚各側(cè)面三角形的形狀，并找出求其面積的條件求底面積，要清楚底面多邊形的形狀及求其面積的條件3求棱臺(tái)的側(cè)面積時(shí)要注意利用公式及正棱臺(tái)中的直角梯形，它是架起求側(cè)面積關(guān)系式中的未知量與滿足題目條件中幾何圖形元素間關(guān)系的橋梁二、柱、錐、臺(tái)的體積1計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題旋轉(zhuǎn)體的軸截面是用過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面去截旋轉(zhuǎn)

14、體而得到的截面例如，圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是三角形，圓臺(tái)的軸截面是梯形2在求不規(guī)則的幾何體的體積時(shí)，可利用分割幾何體或補(bǔ)全幾何體的方法轉(zhuǎn)化為柱、錐、臺(tái)的體積計(jì)算問(wèn)題七、板書(shū)設(shè)計(jì)柱、錐、臺(tái)的表面積與體積小結(jié)：作業(yè)當(dāng)堂檢測(cè)反饋典例分析例1例2例3例4學(xué)生練習(xí)知識(shí)點(diǎn)解析1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積3. 柱體、錐體、臺(tái)體的體積注意事項(xiàng)：123.學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)理解正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積及表面積的定義(2)了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式能夠運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的表面積與體積公式求簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積(重點(diǎn))(3)了解球的表面積與體積公式.(4)會(huì)解

15、決球的組合體及三視圖中球的有關(guān)問(wèn)題(難點(diǎn))八、當(dāng)堂檢測(cè)1底面為正方形的直棱柱，它的底面對(duì)角線長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是()A2 B4C6 D8【解析】由已知得底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2.S側(cè)1248.【答案】D2長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1，2，3，則長(zhǎng)方體的體積與表面積分別為()A6，22B3，22C6，11D3，11【解析】V1236，S2(12)2(13)2(23)22.【答案】A3圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是3和4，母線長(zhǎng)為6，則其表面積等于()A72 B42C67 D72【解析】S圓臺(tái)表S圓臺(tái)側(cè)S上底S下底(34)6324267.【答案】C4側(cè)面是直角三角形的正三棱錐

16、，底面邊長(zhǎng)為a，該三棱錐的表面積為()A.a2 B.a2C.a2 D.a2【解析】底面邊長(zhǎng)為a，則斜高為，故S側(cè)3aaa2.而S底a2，故S表a2.【答案】A5如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐D1ACD的體積是()A. B. C. D1【解析】三棱錐D1ADC的體積VSADCD1DADDCD1D.【答案】A6根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，求各幾何體的體積【解】(1)該幾何體是圓錐，高h(yuǎn)10，底面半徑r3，所以底面積Sr29，則VSh91030.(2)該幾何體是正四棱臺(tái)，兩底面中心連線就是高h(yuǎn)6，上底面面積S上64，下底面面積S下144，則V(S上S下)h(64144)6608

17、.九、課后延伸1.如圖所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD2 cm，下底BC10 cm，底角ABC60，現(xiàn)繞腰AB旋轉(zhuǎn)一周，求所得的旋轉(zhuǎn)體的體積【分析】【解析】過(guò)D作DEAB于E，過(guò)C作CFAB于F，RtBCF繞AB旋轉(zhuǎn)一周形成以CF為底面半徑，BC為母線長(zhǎng)的圓錐；直角梯形CFED繞AB旋轉(zhuǎn)一周形成圓臺(tái)；直角三角形ADE繞AB旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐，那么梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是以CF為底面半徑的圓錐和圓臺(tái)，挖去以A為頂點(diǎn)、以DE為底面半徑的圓錐的組合體AD2，BC10，ABC60，在RtBCF中，BF5，F(xiàn)C5.ADBC，DAEABC60，在RtADE中，DE，AE1.又在等腰梯形A

18、BCD中可求AB8，AFABBF853，EFAEAF4，旋轉(zhuǎn)后所得幾何體的體積為VBFFC2EF(DE2FC2DEFC)AEDE25(5)24()2(5)251()2248(cm3)故所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為248 cm3.方法總結(jié)：求組合體的體積時(shí)，常根據(jù)相應(yīng)情況把它分解成柱、錐、臺(tái)體等后分別求體積，然后求代數(shù)和變式訓(xùn)練：y|x|和y3圍成的封閉平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積與繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積之比是()A41B14C(1)(42) D以上都不對(duì)【解析】如圖封閉平面圖形為AOB，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積V13239，AOB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為V2326232336，V1V293614.【答案】B2.