必修四 三角恒等變換

1、【必修四】第三章 三角恒等變換一、選擇題1 （2012年高考（重慶文）（）ABCD2 （2012年高考（重慶理）設(shè)是方程的兩個根,則的值為（）ABC1D33 （2012年高考（陜西文）設(shè)向量=(1.)與=(-1, 2)垂直,則等于 A B C0D-14 （2012年高考（遼寧文）已知,(0,),則=（）A1BCD15 （2012年高考（遼寧理）已知,(0,),則=（）A1BCD16（2012年高考（江西文）若,則tan2=（）A-BC-D7（2012年高考（江西理）若tan+ =4,則sin2=（）ABCD8（2012年高考（大綱文）已知為第二象限角,則（）ABCD9 （2012年高考（山東理

2、）若,則（）ABCD10（2012年高考（湖南理）函數(shù)f(x)=sinx-cos(x+)的值域為（）A -2 ,2B-,C-1,1 D- , 11（2012年高考（大綱理）已知為第二象限角,則（）ABCD二、填空題1（2012年高考（大綱文）當(dāng)函數(shù)取最大值時,_.2（ 2012年高考（江蘇）設(shè)為銳角,若,則的值為_.3（2012年高考（大綱理）當(dāng)函數(shù)取得最大值時,_.三、解答題1（2012年高考（四川文）已知函數(shù).()求函數(shù)的最小正周期和值域;()若,求的值.2（2012年高考（湖南文）已知函數(shù)的部分圖像如圖5所示.()求函數(shù)f(x)的解析式;()求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.3（2012年高考（湖北

3、文）設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,其中為常數(shù),且(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)若的圖像經(jīng)過點,求函數(shù)的值域.4（2012年高考（福建文）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).(1)(2)(3)(4)(5) 試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù) 根據(jù)()的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.5（2012年高考（北京文）已知函數(shù).(1)求的定義域及最小正周期;(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間. 6（2012年高考（天津理）已知函數(shù),.()求函數(shù)的最小正周期;()求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.7（2012年高考（重慶理）(本小題滿分13分()小問8分()小問

4、5分)設(shè),其中()求函數(shù) 的值域()若在區(qū)間上為增函數(shù),求 的最大值.8（2012年高考（四川理）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,為圖象的最高點,、為圖象與軸的交點,且為正三角形.()求的值及函數(shù)的值域;()若,且,求的值.9（2012年高考（山東理）已知向量,函數(shù)的最大值為6.()求;()將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象.求在上的值域. 10（2012年高考（湖北理）已知向量,設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,其中,為常數(shù),且. ()求函數(shù)的最小正周期; ()若的圖象經(jīng)過點,求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.11（2012年高考（廣東理）(三角

5、函數(shù))已知函數(shù)(其中)的最小正周期為.()求的值;()設(shè)、,求的值.12（2012年高考（福建理）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).(1)(2)(3)(4)(5) 試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù) 根據(jù)()的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式,并證明你的結(jié)論.13（2012年高考（北京理）已知函數(shù).(1)求的定義域及最小正周期;(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間. 14（2012年高考（安徽理）設(shè)函數(shù)(I)求函數(shù)的最小正周期;(II)設(shè)函數(shù)對任意,有,且當(dāng)時, ,求函數(shù)在上的解析式.參考答案一、選擇題1. 【答案】:C 【解析】: 【考點定位】本題考查三角恒等變化

6、,其關(guān)鍵是利用 2. 【答案】A 【解析】 【考點定位】此題考查學(xué)生靈活運用韋達定理及兩角和的正切公式化簡求值. 3. 解析:,故選C. 4. 【答案】A 【解析】故選A 【點評】本題主要考查三角函數(shù)中的倍角公式以及轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力,屬于容易題. 5. 【答案】A 【解析一】 ,故選A 【解析二】 ,故選A 【點評】本題主要考查三角函數(shù)中的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力,難度適中. 6. 【答案】B 【解析】主要考查三角函數(shù)的運算,分子分母同時除以可得,帶入所求式可得結(jié)果. 7. D【解析】本題考查三角恒等變形式以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 因為,所以. 【點

7、評】本題需求解正弦值,顯然必須切化弦,因此需利用公式轉(zhuǎn)化;另外,在轉(zhuǎn)化過程中常與“1”互相代換,從而達到化簡的目的;關(guān)于正弦、余弦的齊次分式,常將正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切,即弦化切,達到求解正切值的目的. 體現(xiàn)考綱中要求理解三角函數(shù)的基本關(guān)系式,二倍角公式.來年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.8.答案A 【命題意圖】本試題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的運用以及正弦二倍角公式的運用. 【解析】因為為第二象限角,故,而,故,所以,故選答案A. 9. 【解析】因為,所以,所以,又,所以,選D. 10. 【答案】B 【解析】f(x)=sinx-cos(x+),值域為-,. 【點評】利用三角恒等變換把化成

8、的形式,利用,求得的值域. 11. 答案A 【命題意圖】本試題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的公式以及二倍角公式的運用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,將所求的轉(zhuǎn)化為單角的正弦值和余弦值的問題. 【解析】,兩邊平方可得 是第二象限角,因此, 所以 法二:單位圓中函數(shù)線+估算,因為是第二象限的角,又 所以“正弦線”要比“余弦線”長一半多點,如圖,故的“余弦線”應(yīng)選. 二、填空題1.答案: 【命題意圖】本試題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)的運用,求解值域的問題.首先化為單一三角函數(shù),然后利用定義域求解角的范圍,從而結(jié)合三角函數(shù)圖像得到最值點. 【解析】由 由可知 當(dāng)且僅當(dāng)即時

9、取得最小值,時即取得最大值. 2. 【答案】. 【考點】同角三角函數(shù),倍角三角函數(shù),和角三角函數(shù). 【解析】為銳角,即,. ,. . . 3.答案: 【命題意圖】本試題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)的運用,求解值域的問題.首先化為單一三角函數(shù),然后利用定義域求解角的范圍,從而結(jié)合三角函數(shù)圖像得到最值點. 【解析】由 由可知 當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最小值,時即取得最大值. 三、解答題1. 解析(1)由已知,f(x)= 所以f(x)的最小正周期為2,值域為 (2)由(1)知,f()= 所以cos(). 所以 , 點評本小題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)、兩角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識,考查運算能力,考查化

10、歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 2. 【解析】()由題設(shè)圖像知,周期. 因為點在函數(shù)圖像上,所以. 又即. 又點在函數(shù)圖像上,所以,故函數(shù)f(x)的解析式為 () 由得 的單調(diào)遞增區(qū)間是 【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).第一問結(jié)合圖形求得周期從而求得.再利用特殊點在圖像上求出,從而求出f(x)的解析式;第二問運用第一問結(jié)論和三角恒等變換及的單調(diào)性求得. 3. 【解析】(1)因為 由直線是圖像的一條對稱軸,可得 所以,即 又,所以時,故的最小正周期是. (2)由的圖象過點,得 即,即 故,函數(shù)的值域為. 【點評】本題考查三角函數(shù)的最小正周期,三角恒等變形;考查轉(zhuǎn)化與劃歸,運算求解的能力.二倍角公

11、式,輔助角公式在三角恒等變形中應(yīng)用廣泛,它在三角恒等變形中占有重要的地位,可謂是百考不厭. 求三角函數(shù)的最小正周期,一般運用公式來求解;求三角函數(shù)的值域,一般先根據(jù)自變量的范圍確定函數(shù)的范圍.來年需注意三角函數(shù)的單調(diào)性,圖象變換,解三角形等考查. 4. 【考點定位】本題主要考查同角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式,考查運算能力、特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想. 解:(1)選擇(2)式計算如下 (2)證明: 5. 【考點定位】本題考查三角函數(shù),三角函數(shù)難度較低,此類型題平時的練習(xí)中練習(xí)得較多,考生應(yīng)該覺得非常容易入手. 解:(1)由得,故的定義域為. 因為=, 所以的最小正周期.

12、 (2)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 由得 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為6. 【命題意圖】本題考查兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函數(shù)的最小周期,單調(diào)性等知識. 所以,的最小正周期. (2)因為在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又,故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為. 【點評】該試題關(guān)鍵在于將已知的函數(shù)表達式化為的數(shù)學(xué)模型,再根據(jù)此三角模型的圖像與性質(zhì)進行解題即可. 7. 【考點定位】本題以三角函數(shù)的化簡求值為主線,三角函數(shù)的性質(zhì)為考查目的的一道綜合題,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可列,從而解得的取值范圍,即可得的最在值. 解:(1) 因,所以函數(shù)的值域為 (2)

13、因在每個閉區(qū)間上為增函數(shù),故在每個閉區(qū)間上為增函數(shù). 依題意知對某個成立,此時必有,于是 ,解得,故的最大值為. 8. 解析()由已知可得: =3cosx+又由于正三角形ABC的高為2,則BC=4 所以,函數(shù) 所以,函數(shù) ()因為()有 由x0 所以, 故 點評本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)同三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識,考查運算能力,考查樹形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 9.解析:(), 則; ()函數(shù)y=f(x)的圖象像左平移個單位得到函數(shù)的圖象, 再將所得圖象各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù). 當(dāng)時,. 故函數(shù)在上的值域為. 另解:由可得,令, 則,而,則, 于是, 故,即函數(shù)在上的值域為. 10.考點分析:本題考察三角恒等變化,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 解析:()因為 . 由直線是圖象的一條對稱軸,可得, 所以,即. 又,所以,故. 所以的最小正周期是. ()由的圖象過點,得, 即,即. 故, 由,有, 所以,得, 故函數(shù)在上的取值范圍為. 11.解析:(),所以. (),所以.,所以.因為、,所以,所以. 12. 【考點定位】本題主要考查