有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算分類講解

1、 精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)：七年級(jí) 課 時(shí) 數(shù)：學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：授課主題有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算授課日期時(shí)段教學(xué)內(nèi)容 一、同步知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：有理數(shù)的加法:把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫做有理數(shù)的加法。要點(diǎn)詮釋： 相加的兩個(gè)有理數(shù)有以下幾種情況：（1）兩數(shù)都是正數(shù)；（2）兩數(shù)都是負(fù)數(shù)；（3）兩數(shù)異號(hào)，即一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)；（4）一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是0；（5）一個(gè)是負(fù)數(shù)，一個(gè)是0；（6）兩個(gè)都是0。知識(shí)點(diǎn)二：有理數(shù)加法法則根據(jù)有理數(shù)的加法法則，兩數(shù)相加，先弄清這兩個(gè)加數(shù)是同號(hào)還是異號(hào)，根據(jù)法則確定和的符號(hào)，然后根據(jù)法則求出和的絕對(duì)值。要點(diǎn)詮釋：（1）同

2、號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)三：有理數(shù)加法的運(yùn)算定律要點(diǎn)詮釋： （1）加法交換律：。 （2）加法結(jié)合律：。知識(shí)點(diǎn)四：有理數(shù)減法的意義要點(diǎn)詮釋： 有理數(shù)減法的意義與小學(xué)學(xué)過的減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法。減法是加法的逆運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)五：有理數(shù)減法法則要點(diǎn)詮釋： 減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即知識(shí)點(diǎn)六：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義要點(diǎn)詮釋： 對(duì)于有理數(shù)的加減混合運(yùn)算中的

3、減法，可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法。這樣一來(lái)，就將原來(lái)的混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法運(yùn)算。統(tǒng)一成加法以后的式子是幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式，有時(shí)，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。知識(shí)點(diǎn)七：有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法要點(diǎn)詮釋：（1）運(yùn)用減法法則將有理數(shù)混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。 （2）運(yùn)用加法法則、加法交換律、加法結(jié)合律簡(jiǎn)便運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)八：有理數(shù)乘法法則要點(diǎn)詮釋： 兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。知識(shí)點(diǎn)九：有理數(shù)乘法法則的推廣要點(diǎn)詮釋： （1）幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。（2）幾個(gè)數(shù)相乘

4、，只要有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0。知識(shí)點(diǎn)十：有理數(shù)乘法的運(yùn)算定律要點(diǎn)詮釋：（1）乘法交換律： （2）乘法結(jié)合律： （3）分配律：知識(shí)點(diǎn)十一：倒數(shù)的概念要點(diǎn)詮釋： 乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。由于，所以當(dāng)a是不為0的有理數(shù)時(shí)，a的倒數(shù)是。若a、b互為倒數(shù)，則ab1。知識(shí)點(diǎn)十二：有理數(shù)除法法則要點(diǎn)詮釋：（1）除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即。（2）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。 二、同步題型分析類型一：有理數(shù)的運(yùn)算問題例1、計(jì)算 思路點(diǎn)撥：由于上題中有互為相反數(shù)的和+，同分母的4和3.2（3.2=3）， 可以利用加法的交換律和結(jié)合律先分別計(jì)算出它們

5、的值，使運(yùn)算簡(jiǎn)便?？偨Y(jié)升華：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0。絕對(duì)值較大的加數(shù)是正數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于正數(shù)。絕對(duì)值較大的加數(shù)是負(fù)數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于負(fù)數(shù)。舉一反三：【變式】計(jì)算思路點(diǎn)撥：先根據(jù)減法法則去掉括號(hào)，寫成省略加號(hào)的代數(shù)和。再利用加法交換律把同分母的項(xiàng)結(jié)合到一起進(jìn)行計(jì)算。一定要注意交換加數(shù)的位置時(shí)要連同前面的符號(hào)一起交換?？偨Y(jié)升華：0減去一個(gè)有理數(shù)所得的差是這個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)。要善于在有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用減法法則把減法轉(zhuǎn)化為加法。此外對(duì)于運(yùn)算過程中性質(zhì)符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)可以互相轉(zhuǎn)化。例2、計(jì)算 思路點(diǎn)撥：小題先確定符號(hào)，有三個(gè)負(fù)因數(shù)相乘積為負(fù)。再利用乘法交換律先計(jì)算的值。小題利用分配律進(jìn)行計(jì)算

6、。小題把化為再利用分配律進(jìn)行計(jì)算?？偨Y(jié)升華：在進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先考慮計(jì)算結(jié)果的符號(hào)，再進(jìn)行計(jì)算。在進(jìn)行乘法和加減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算。舉一反三：【變式】計(jì)算 思路點(diǎn)撥：小題要注意運(yùn)算順序，先算乘除，再算加減，而不能從左到右依次計(jì)算。小題可以直接計(jì)算，也可以把寫成24+后利用分配律進(jìn)行計(jì)算。類型二：有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際問題例3、超市新進(jìn)了10箱橙子，每箱標(biāo)準(zhǔn)重量為50kg，到貨后超市復(fù)秤結(jié)果如下（超過標(biāo)準(zhǔn)重量的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市購(gòu)進(jìn)的橙子共多少千克？

7、 思路點(diǎn)撥：本題運(yùn)用了正負(fù)數(shù)的意義表示每箱橙子的重量，比如：+0.5表示這箱橙子的重量超過標(biāo)準(zhǔn)重量0.5千克，為（50+0.5）千克。因此，計(jì)算總的重量就是求所有箱重量的和。 總結(jié)升華：注意湊整進(jìn)行運(yùn)算比較簡(jiǎn)便舉一反三：【變式1】出租車司機(jī)小李某天下午的營(yíng)運(yùn)全都是在東西方向的人民大街上進(jìn)行的,如果規(guī)定向東為正, 向西為負(fù),他這天下午行車?yán)锍瘫硎救缦拢▎挝唬呵祝?+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6 , （1）將最后一名乘客送到目的地時(shí),小李距離下午出車時(shí)的出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)?（2）如果汽車耗油量為0.8升/千米,這天下午小李共耗油多少升?【變式2】某人用410元購(gòu)買

8、了8套兒童服裝，準(zhǔn)備以一定價(jià)格出售，如果每套兒童服裝以55元的價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)，超出的記作正數(shù)，不足的記作負(fù)數(shù)，記錄如下：+2，3，+2，+1，2，1，0，2，當(dāng)它賣完8套兒童服裝后是盈利還是虧損？盈利（或虧損）多少錢？【變式3】某教具廠加工正方體模型，在圖紙上注明邊長(zhǎng)為（5±0.1）cm，表示這種正方體的邊長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是多少？要求邊長(zhǎng)最大不超過標(biāo)準(zhǔn)尺寸多少厘米？符合要求的正方體邊長(zhǎng)最小是多少厘米？類型三：代數(shù)式求值問題例4、已知：a的相反數(shù)是，b的倒數(shù)是，求算式的值思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意，可求出字母a和b所表示的數(shù)，然后再帶入需要計(jì)算的代數(shù)式。在計(jì)算的過程中還要注意運(yùn)算法則和順序。總結(jié)升華：

9、互為相反數(shù)的兩數(shù)的和恒為0，互為倒數(shù)的兩個(gè)非零數(shù)的積是常數(shù)1.舉一反三：【變式1】已知x的負(fù)倒數(shù)是5, y的相反數(shù)是-6,求算式的值【變式2】已知：a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)。求代數(shù)式的值。類型四：綜合提高例5、計(jì)算：思路點(diǎn)撥：本題可直接計(jì)算，觀察， ，,將原式進(jìn)行約分即可。總結(jié)升華：本題是一類典型問題，解決此類題目的關(guān)鍵是找到分子、分母的規(guī)律。舉一反三：【變式1】【變式2】已知：,則【變式3】計(jì)算：三、課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題： 1、計(jì)算：-6+3=（ ）A、-9 B、9 C、-3 D、32、下列各組數(shù)中，互為倒數(shù)的是（ ）A、-1與-1 B、0.1與1 C、-2與12 D、-43與43

10、3、月球表面白天的溫度可達(dá)123°C，夜晚可降到-233°C，那么月球表面晝夜的溫差為（ ）A、110°C B、-110°C C、356°C D、-356°C4、兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩旁，那么這兩個(gè)數(shù)的商是（ ）A、正數(shù) B、負(fù)數(shù) C、零 D、以上情況都有可能5、如果兩個(gè)有理數(shù)的和是正數(shù)，那么這兩個(gè)加數(shù)（ ）A、一定都是正數(shù)或零B、一定都是負(fù)數(shù)或零C、一定都是非負(fù)數(shù) D、至少有一個(gè)是正數(shù)6、某天 A 種股票的開盤價(jià)為 18 元，上午 11：30 下跌了 1.5 元，下午收盤時(shí)又上漲 了 0.3 元，則 A種股票這天的收

11、盤價(jià)為（ ）元. A03 B.16.2 C.16.8 D.18 7、一個(gè)水利勘察隊(duì)沿一條河向上游走了 5.5 千米，又繼續(xù)向上游走了 4.8千米，然后又向下游走了 5.2 千米，接著又向下游走了 3.8 千米，這時(shí)勘察隊(duì)在出發(fā)點(diǎn)的（ ） 處. A上游 1.3 千米 B.下游 9千米 C.上游 10.3千米 D.下游 1.3千米 8、計(jì)算（ ） A.1 B.25 C.5 D.35二、填空題： 1、計(jì)算：（- 2）+5=_；- 8 6=_。2、計(jì)算：25×（- 2/5）=_；0÷（- 2.7）=_。3、- 5的倒數(shù)是_；- 5的平方是_。4、按照神舟號(hào)飛船環(huán)境控制與生命保障系統(tǒng)

12、的設(shè)計(jì)指標(biāo)，“神舟”五號(hào)飛船返回艙的溫度為21°C±4°C，該返回艙的最高溫度為_°C6、計(jì)算：（1-2+3-4+5-6+7-8+9-10）÷（-5）=_。7、觀察下面一列數(shù)的規(guī)律，然后在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：-5，-2，1，4，7，_，_。三、解答題：1、計(jì)算：(1) (2) -9-40+25 (3) (4)(-16)(5) (6)(7) (8)2、某冷凍廠的一個(gè)冷庫(kù)，現(xiàn)在的室溫是 -2°C,現(xiàn)有一批食品，需要在 -28°C下冷藏，如果每小時(shí)能降溫4°C，要降到所需溫度，需要幾個(gè)小時(shí)？3. 10袋小麥, 如果以40

13、千克為準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記做負(fù)數(shù).稱重的記錄如下：2，1，0.5，1，2，3，0.5，1，1，0 這10袋小麥的總重量是多少千克？4.下表列出了國(guó)外幾大個(gè)城市與北京的時(shí)差（帶正號(hào)的數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的小時(shí)數(shù)）城市紐約巴黎東京與北京的時(shí)差137+1（1） 如果現(xiàn)在是北京時(shí)間上午8：00，那么東京時(shí)間是多少？（2） 如果小強(qiáng)在北京時(shí)間下午15：00打電話給遠(yuǎn)在紐約的姑姑，你認(rèn)為合適嗎？5. 下表是某中學(xué)七年級(jí)5名學(xué)生的體重情況，試完成下表姓名小穎小明小剛小京小寧體重（千克）3445體重與平均體重的差7340（1） 誰(shuí)最重？誰(shuí)最輕？（2）最重的與最輕的相差多少？6. 某摩

14、托車廠本周內(nèi)計(jì)劃每日生產(chǎn)300輛摩托車，由于工人實(shí)行輪休，每日上班人數(shù)不一定相等，實(shí)際每日生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比情況如下表（增加的車輛數(shù)為正數(shù)，減少的車輛數(shù)為負(fù)數(shù)）星期一二三四五六日增減5+73+4+10925（1） 本周三生產(chǎn)了多少輛摩托車？（2） 本周總生產(chǎn)量與計(jì)劃生產(chǎn)量相比，是增加還是減少？（3） 產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)了多少輛？課后作業(yè)一、基本練習(xí)1、一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值是指數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與 距離，記作 .一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是 ； 即：如果a>0，則|a|= ；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是 ； 如果a<0，則|a|= ；0的絕對(duì)值是 如果a=0，則|a|= 反之：若一個(gè)數(shù)的絕

15、對(duì)值是它本身，則這個(gè)數(shù)是 ；若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它相反數(shù)，則這個(gè)數(shù)是 ；即若|a|=a，則a 0；若|a|=a，則a 02、有理數(shù)的加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取 的符號(hào)，并把 ；絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，取 的加數(shù)的符號(hào)，并用 ；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得 ；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得 即：若a0，b0，則a+b 0；已知|a|=3，|b|=2，則a+b的值為 若a0，b0，則a+b 0；若a0，b0，且 則a+b 03、絕對(duì)值最小的有理數(shù)是 ，最大的負(fù)整數(shù)是 ，最小的正整數(shù)是 ；4、在數(shù)軸上距離原點(diǎn)4個(gè)單位的數(shù)是 ，距離表示1的點(diǎn)有3個(gè)單位的數(shù)是 ；5、數(shù)軸上的點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是4，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，則A

16、、B兩點(diǎn)之間的距離是 6、寫出所有比5大的非正整數(shù)為 ， 比5小的非負(fù)整數(shù) ，到原點(diǎn)的距離不大于3的所有整數(shù)有 7、絕對(duì)值等于3的數(shù)有_ _；絕對(duì)值小于3的整數(shù)有_ _；絕對(duì)值不大于2的整數(shù)有_；相反數(shù)大于1但不大于3的整數(shù)有_ _.8、一種零件的內(nèi)徑尺寸在圖紙上是10±0.05(mm),表示零件標(biāo)準(zhǔn)尺寸為kmm,加工要求最大不超過_,最小不超過_.9、把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合的大括號(hào)內(nèi):-11 4.8 73 -2.7 -8.12 - - 0正數(shù)集合 負(fù)數(shù)集合 正分?jǐn)?shù)集合 整數(shù)集合 非負(fù)數(shù)集合 負(fù)分?jǐn)?shù)集合 10、有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得 ，異號(hào)得 ，并把 相乘。 任何數(shù)同0相乘， 。11、有理數(shù)相乘，要先確定積的 ，再確定積的 。12、有理數(shù)除法法則：兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得_， 異號(hào)得_，并把絕對(duì)值_。0除以任何非0的數(shù)都得_。歸納得出除法是乘法的逆運(yùn)算。即：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的_。13、無(wú)論做有理數(shù)的乘法或除法時(shí)，都要先 ，再 ，特別的，一個(gè)數(shù)乘上0或者0除以任何非0的數(shù)， 。二、基本計(jì)算1、(1)8×()×(0.125) (2) （3） （4） （5）()×(3