數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書第4章分離變量法

1、第4章 分離變量法物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)等方面的許多問題都可歸結(jié)為偏微分方程的定解問題，上一章我們已初步看到怎樣把具體的物理問題表達為定解問題.下面一個重要任務(wù)是怎樣去解決這些定解問題，也就是說在已經(jīng)列出的方程與定解條件之后，怎樣去求既滿足方程又滿足定解條件的解.從微積分學(xué)得知，在計算諸如多元函數(shù)的微分及重積分時總是把它們轉(zhuǎn)化為單元函數(shù)的相應(yīng)問題來解決.與此類似，求解偏微分方程的定解問題也是要設(shè)法把它們轉(zhuǎn)化為常微分方程問題，分離變量法就是常用的一種轉(zhuǎn)化手法.本章我們將通過實例來說明分離變量法的步驟和實質(zhì).在4.2我們討論了如何處理第三類齊次邊界條件（當(dāng)然也包括第二類邊界條件）.在4.3說明如何

2、在極坐標系下使用分離變量法.在4.4及4.5我們討論了如何處理非齊次方程及非齊次邊界條件的問題，本章的最后還安排了兩個較為綜合性的例子作為總結(jié).4.1 有界弦的自由振動為了使讀者了解什么是分離變量法以及使用分離變量法應(yīng)該具備什么條件，我們選取兩端固定的弦的自由振動問題為例，通過具體地求解逐步回答這些問題.根據(jù)第3章所得的結(jié)論，討論兩端固定的弦的自由振動，就歸結(jié)為求解下列定解問題這個定解問題的特點是：偏微分方程是線性齊次的，邊界條件也是齊次的，求解這樣的問題，可以運用疊加原理.我們知道.在求解常系數(shù)線性齊次常微分方程的初值問題時，是先求出足夠多個特解（它們能構(gòu)成通解），再利用疊加原理作這些特解的

3、線性組合，使?jié)M足初始條件.這就啟發(fā)我們，要解問題(4.1),(4.2),(4.3)，先尋求齊次方程（4.1)的滿足齊次邊界條件(4.2)的足夠多個具有簡單形式（變量被分離的形式）的特解，再利用它們作線性組合使?jié)M足初始條件(4.3).現(xiàn)在我們試求方程(4.1)的變量分離形式的非零解，并要求它滿足齊次邊界條件(4.2),式中分別表示僅與有關(guān)及僅與有關(guān)的待定函數(shù).由得 代入方程(4.1)得或 這個式子左端僅是的函數(shù)，右端僅是的函數(shù)，一般情況下二者不可能相等，只有當(dāng)它們均為常數(shù)時才能相等.令此常數(shù)為，則有.這樣我們得到兩個常微分方程： （4.4） （4.5）再利用邊界條件(4.2)，由于)，故有但,因

4、為如果，則，這種解顯然不是我們所要求的，所以 （4.6）因此，要求方程（4.1）滿足條件(4.2)的分離變量形式的解，就先要從方程中解出.現(xiàn)在我們就來求非零解，但要求出并不是一個簡單的問題，因為方程(4.5)中含有一個待定常數(shù)，所以我們的任務(wù)既要確定取何值時方程(4.5)才有滿足條件(4.6)的非零解，又要求出這個非零數(shù).這種常微分方程問題稱為固有值問題，稱為特征值（固有值，本征值），函數(shù)稱為特征函數(shù)（固有函數(shù)，本征函數(shù)）.下面根據(jù)第1章所介紹的方法，我們對分三種情況來討論.1°0，此時方程(4.5)的通解為由條件(4.6)得，解出得，即，不符合非零解的要求，因此不能大于零.2

5、76;設(shè)=0，此時方程(4.5)的通解為，由條件(4.6)還是得，所以也不能等于零.3°設(shè)0，并令為非零實數(shù).此時方程(4.5)的通解為由條件(4.6)得由于不能為零（否則），所以即（為負整數(shù)可以不必考慮，因為例如實際上還是的形式）從而 （4.7）這樣，我們就求出了一系列固有值及相應(yīng)的固有函數(shù)： （4.8）限定了的值后，現(xiàn)在再來求函數(shù)，以(4.7)式中的值代入方程(4.4)中得顯然，其通解為 （4.9）于是由(4.8)，（4.9）得到滿足方程(4.1)及邊界條件(4.2)的一組變量被分離的特解 (4.10)其中是任意常數(shù)，至此，我們的第一步工作已經(jīng)完成了，求出了既滿足方程(4.1)又

6、滿足邊界條件(4.2)的無窮多個特解.為了求原定解問題的解，還需要滿足條件(4.3).由(4.10)式所確定的一組函數(shù)雖然已經(jīng)滿足方程(4.1)及條件(4.2)，但不一定滿足初始條件(4.3).為了求出原問題的解，首先我們將（4.10）中所有函數(shù)疊加起來 （4.11）如果(4.11)右端的無窮級數(shù)是收斂的，而且關(guān)于都能逐項微分兩次，則它的和也滿足方程(4.1)和條件（4.2)（參考習(xí)題三第6題）.現(xiàn)在我們要適當(dāng)選擇，使函數(shù)也滿足初始條件（4.3），為此必須有因為是定義在上的函數(shù)，所在只要選取為的傅氏正弦級數(shù)展開式的系數(shù)，為的傅氏正弦級數(shù)展開式的系數(shù)，也就是 （4.12）初始條件(4.3)就能滿

7、足，以(4.12)所確定的代入(4.11)式，即得原定解解問題的解.當(dāng)然，如上所述，要使(4.11)式所確定的函數(shù)u(x,t)確定是問題(4.1)，(4.2)，(2.3)的解，除了其中的系數(shù)必須由(4.12)確定以外，還要求只要對函數(shù)及加一些條件就能滿足，可以證明（參閱復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)物理方程第二章§1），如果三次連續(xù)可微，二次連續(xù)可微，且，則問題(4.1)，(4.2)，（4.3)的解存在.并且這個解可以用(4.11)給出，其中由（4.12）式確定*) 這里所講的結(jié)論經(jīng)適當(dāng)修改即可用于下面幾節(jié)將要討論的定解問題，所以，本書中凡是用分離變量法求解的定解問題都假定它的定解條件具備一定

8、的條件，保證定解問題的解可以表示成級數(shù)的形式，或者說可以運用疊加原理.).從上面的運算過程可以看出，用分離變量法求解定解問題的關(guān)鍵步驟是確定固有函數(shù)與運用疊加原理，這些運算之所以能夠進行，就是因為偏微分方程與邊界條件都是齊次的，這一點希望讀者一定要注意.例1 設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動時的位移.解 設(shè)位移函數(shù)為，它是下列定解解問題的解，這時，并給定（這個數(shù)字與弦的材料、張力有關(guān)）.顯然，這個問題的傅氏級數(shù)形式解可由(4.11)給出，其系數(shù)按（4.12）式為因此，所求的解為為了加深理解，下面我們扼要地分析一下級數(shù)形式解(4.11)的物理意義，先分

9、析一下級數(shù)中每一項的物理意義，分析的方法是：先固定時間，看看在任一指定時刻波是什么形狀；再固定弦上一點，看看該點的振動規(guī)律.把括號內(nèi)的式子改變一下形式，可得其中當(dāng)時間取定值時，得其中是一個定值，這表示在任一時刻，波的形狀都是一些正弦曲線，只是它的振幅隨著時間的改變而改變.當(dāng)弦上點的橫坐標取定值時，得其中是一個定值.這說明弦上以為橫坐標的點作簡諧振動，其振幅為，角頻率為，初位相為.若取另外一個定值時，情況也一樣，只是振幅不同罷了，所以表示這樣一個振動波：在考察的弦上各點以同樣的角頻率作簡諧振動，各點處的初位相也相同，而各點的振幅則隨點的位置改變而改變；此振動波在任一時刻的圖形是一正弦曲線.這種振

10、動波還有一個特點，即在范圍內(nèi)還有個點（包括兩個端點）永遠保持不動，這是因為在那些點上，的緣故，這些點在物理上稱為節(jié)點.這就說明的振動是在上的分段振動，其中有個節(jié)點，人們把這種包含節(jié)點的振動波叫做駐波.另外駐波還在個點處振幅達到最大值（讀者可自己討論），這種使振幅達到最大值的點叫做波腹.圖4-1畫出了在某一時刻的駐波形狀.綜合上述，可知是一系列駐波，它們的頻率、位相與振幅圖4-1都隨不同而不同，因此我們可以說，一維波動方程用分離變量法解出的結(jié)果)是由一系列駐波疊加而成的，而每一個駐波的波形由固有函數(shù)確定，它的頻率由固有值確定.這完全符合實際情況，因為人們在考察弦的振動時，就發(fā)現(xiàn)許多駐波，它們的疊

11、加又可以構(gòu)成各種各樣的波形，因此很自然地會想到用駐波的疊加表示弦振動方程的解.這就是分離變量法的物理背景.所以分離變量法也稱為駐波法.4.2 有限長桿上的熱傳導(dǎo)設(shè)有一均勻細桿，長為，兩端點的坐標為與，桿的側(cè)面是絕熱的，且在端點處溫度是零度，而在另一端處桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度是零度的介質(zhì)中去（參考第3章1.2中第三類邊界條件），已知初始溫度分布為求桿上的溫度變化規(guī)律，也就是要考慮下列定解問題：我們?nèi)杂梅蛛x變量法來解這個問題，首先求出滿足邊界條件而且是變量被分離形式的特解.設(shè),上式左端不含有，右端不含有，所以只有當(dāng)兩端均為常數(shù)時才可能相等.令此常數(shù)為，（讀者可以從方程結(jié)合邊界條件按取值的三種不

12、同情況像4.1那樣討論后得出），則有從而得到兩個線性常數(shù)微分方程 （4.16）解后一個方程得由邊界條件(4.14)可知從得 ，從得 （4.17）為了求出，方程(4.17)可改寫成， （4.18）其中方程(4.18)的根可以看作是曲線與直線交點的橫坐標（圖4-1），顯然它們的交點有無窮多個，于是方程(4.18)有無窮多個根，由這些根可以確定出固有值.設(shè)方程(4.18)的無窮多個正根（不取負根是因為負根與正根只差一個符號（圖4-2），再根據(jù)4.1中所述的同樣理由）為于是得到無窮多個固有值圖4-2及相應(yīng)的固有函數(shù) （4.19）再由(4.16)中第一個方程解得 （4.20）由(4.19)，（4.20)

13、兩式，我們得到方程（4.13）滿足邊界條件(4.14)的一組特解 （4.21）其中 由于方程(4.13)與邊界條件(4.14)都是齊次的，所以 （4.22）仍滿足方程與邊界條件，最后考慮是否能滿足初始條件(4.15)，從(4.22)式得現(xiàn)在希望它等于已知函數(shù)，那么首先要問上定義的函數(shù)是否能展開為級數(shù)形式，其次要問系數(shù)如何確定，關(guān)于前者，只要在上滿足狄氏條件就可以了，現(xiàn)在主要談求系數(shù)的問題.回憶傅氏系數(shù)公式的得來是根據(jù)函數(shù)系的正交性，所以現(xiàn)在也要考察函數(shù)系在上的正交性，可以證明（參閱§5.3關(guān)于固有函數(shù)正交性的證明方法）令 于是把 （4.23）的兩端乘上，然后在0,l上積分得即 （4.

14、24）把(4.24)代入(4.22)式即得原定解問題的解.通過上面兩節(jié)的討論，我們對分離變量法已經(jīng)有了一個初步的了解，它的主要步驟大體為：一、首先將偏微分方程的定解問題通過分離變量轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題，這對線性齊次偏微分方程來說是可以做到的.二、確定固有值與固有函數(shù).由于固有函數(shù)是要經(jīng)過疊加的，所以用來確定固有函數(shù)的方程與條件，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過疊加之后仍舊要滿足，當(dāng)邊界條件是齊次時，求固有函數(shù)就是求一個常微分方程滿足零邊界條件的非零解.三、定出固有值、固有函數(shù)后，再解其他的常微分方程，把得到的解與固有函數(shù)乘起來成為，這時中還包含著任意常數(shù).四、最后為了使解滿足其余的定解條件，需要把所有的疊加起

15、來成為級數(shù)形式，這時級數(shù)中的一系列任意常數(shù)就由其余的條件確定，在這最后的一步工作中，需要把已知函數(shù)展開為固有函數(shù)項的級數(shù)，所以，必須考慮固有函數(shù)的正交性.由本節(jié)的例子還可以看出，用分離變量法求解第三類邊界條件（第二類邊界條件也一樣）的定解問題時，只要邊界條件都是齊次的，其過程與解第一類邊界條件的定解問題是相同的，但在確定固有值時，一般說來是比較復(fù)雜的.4.3 圓城內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問題一個半徑為的薄圓盤，上下兩面絕熱，圓周邊緣溫度分布為已知，求達到穩(wěn)恒狀態(tài)時圓盤內(nèi)的溫度分布.在第3章講過，熱傳導(dǎo)問題達到穩(wěn)恒狀態(tài)時溫度分布與時間無關(guān)，應(yīng)滿足拉普拉斯方程因為邊界形狀是個圓周，它在極坐標下的

16、方程為，所以在極坐標系下邊界條件可表為既然邊界條件使用了極坐標系，所以我們將方程也采用極坐標的形式，于是有此外，因為自變量的取值范圍分別是0,與，圓盤中心點的溫度決不可能是無窮的，并且（）與（）實際上表示同一點，溫度應(yīng)該相同，即應(yīng)該有 （4.27） （4.28）現(xiàn)在來求滿足方程(4.25 )及條件(4.26)，（4.27），（4.28）的解.先令代入方程(4.25)得即 令比值為常數(shù)即得兩個常微分方程再由條件(4.27)及(4.28)可得 （4.29）這樣一來，我們得到了兩個常微分方程的定解問題 （4.30）與 （4.31）先解哪能一個呢？要看哪一個可以定出固有值，由于條件(4.29)滿足可加

17、性（即所有滿足(4.29)的函數(shù)疊加起來仍舊滿足(4.29)，所以只能先解問題(4.30).采用與4.1中同樣的方法可以得到當(dāng)時，問題(4.30)無解；當(dāng)時，它的解為（常數(shù)）；當(dāng)時，它的解為且必須是整數(shù)，?。ㄖ蝗≌麛?shù)的理由與4.1相同），則至此，我們已經(jīng)定出了固有值與固有函數(shù)，接下去是解問題(4.31)，其中的方程是歐拉(Euler)方程，它的通解為當(dāng) 當(dāng)為了保證，只有 因此利用疊加原理，方程(4.25)滿足條件(4.27),（4.28）的解可以表示為級數(shù) (2.32)此式中的就是分別是最后為了確定系數(shù)，我們利用邊界條件(4.26)得 （4.33）因此，就是展開為傅氏級數(shù)時的系數(shù)，即有 （4

18、.34）將這些系數(shù)代入(4.32)式即得所求的解.為了以后應(yīng)用起來方便，我們還可以將解(4.32)寫成另一種形式.為此，將(4.34)式所確定的系數(shù)代入(4.32)式經(jīng)過簡化后可得 （4.35）利用下面已知的恒等式*） 這個恒等式的證明如下：（|K|1） 可將解（4.35）表達為 （4.36）公式(4.36)稱為圓域上的泊松公式，它的作用在于把解寫成了積分形式，這樣便于作理論上的研究.4.4 有界弦的強迫振動前面所討論的偏微分方程都限于齊次的，現(xiàn)在要討論非齊次方程的解法，為方便起見，以弦的強迫振動為例，所用的方法對其他類型的方程也適用.我們研究的問題是一根弦在兩端固定的情況下，受強迫力作用所產(chǎn)

19、生的振動現(xiàn)象.即要考慮下列定解問題在現(xiàn)在的情況，弦的振動是由兩部分干擾引起的，一是強迫力，一是初始狀態(tài)，所以由物理意義可知，此時振動可以分解為僅由強近力引起的振動和僅由初始狀態(tài)引起的振動的合成.由此得到啟發(fā)，我們可設(shè)解為 （4.40）其中表示僅由強迫力引起弦振動的位移，它滿足而表示僅由初始狀態(tài)引起弦振動的位移，它滿足讀者不難驗證，若是(4.41)的解，是(4.42)的解，則一定就是原定解問題的解.問題(4.42)可直接用分離變量法求解，因此現(xiàn)在的問題只要討論如何解問題（4.41）就行了.關(guān)于問題（4.41），我們可以采用類似于線性非齊次常微分方程中所常用的參數(shù)變易法，并保持如下的設(shè)想，即這個定

20、解問題的解可分解為無窮多個駐波的疊加，而每個駐波的波形仍然是由該振動體的固有函數(shù)所決定，這就是說，我們假設(shè)（4.41）的解具有如下的形式 （4.43）其中是待定的函數(shù)，為了確定，將自由項展成的傅氏正弦級數(shù)，即 （4.44）其中 將(4.43)及(4.44)代入(4.41)的第一個式了，得到 (4.45)由此可見得再將(.41)中的初始條件代入(.43)得這樣一來，確定函數(shù)只需解下列定解問題： .（.46）用拉氏變換法解出（.46），得到*) 在方程（4.46）的兩端取關(guān)于t的拉氏變換，得其中Un(p),Fn(p)分別為vn(t)與fn(t)的拉氏變換，解出由于的逆拉氏變換為，利用拉氏變換的卷積

21、性質(zhì)，即得vn(t).，所以，將這個解與問題（.42）的解加起來，就得到原定解問題（.37），(.38)，(.39)的解.這里所給的求解問題(.41)的方法，其實質(zhì)是將方程的自由項及解都按齊次方程所對應(yīng)的一族固有函數(shù)展開.隨著方程與邊界條件的不同，固有函數(shù)族也就不同，但總是把非齊次方程的解按相應(yīng)的固有函數(shù)展開.所以這種方法也叫固有函數(shù)法.5 非齊次邊界條件的處理前面所討論的定解問題的解法，不論方程是齊次的還是非齊次的，邊界條件都是齊次的.如果遇到非齊次邊界條件的情況，應(yīng)該如何處理？總的原則是設(shè)法將邊界條件化成齊次的.具體地說，就是取一個適當(dāng)?shù)奈粗瘮?shù)之間的代換，使對新的未知函數(shù)，邊界條件是齊次

22、的.現(xiàn)在以下列定解問題為例，說明選取代換的方法.設(shè)有定解問題我們設(shè)法作一代換將邊界條件化為齊次的，為此令 （.50）選取W(x,t)使V(x,t)的邊界條件為齊次的，即 （.5） （.52）也就是說，只要所選取的W滿足(.52)就能達到我們的目的.而滿足(.52)的函數(shù)是容易找到的，例如取為的一次式，即設(shè)用條件(4.52)確定得.顯然，函數(shù)就滿足(4.52)式，因而只要作代換 （4.53）就能使新的未知函數(shù)滿足齊次的邊界條件.經(jīng)過這個代換后，得到的定解問題為其中 （4.55）問題（4.54）可用上一節(jié)的方法解出，將(4.54)的解代入(4.53)即是原問題的解.上面由(4.52)式定時，取為的

23、一次式是為了使（4.55）中幾個式子簡單一些，并且也容易定，但若都與無關(guān)，則可適當(dāng)?shù)倪x擇（也與無關(guān)），使的方程與邊界條件同時都化成齊次的，這樣做就可以省掉下面對要進行解非齊次方程的繁重工作.這種究竟怎么找，將在后面的例題中說明.若邊界條件不全是第一類的，本節(jié)的方法仍然適用，不同的只是函數(shù)的形式，讀者可就下列幾種邊界條件的情況寫出相應(yīng)的來：以上各節(jié)我們說明了如何用分離變量法來解定解問題，為便于讀者掌握此方法，現(xiàn)將解定解問題的主要步驟簡略小結(jié)如下：一、根據(jù)邊界的形狀選取適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，選取的原則是使在此坐標系中邊界條件的表達式最為簡單.圓、圓環(huán)、扇形等域用極坐標系較方便，圓柱形域與球域分別用柱坐標系

24、與球坐標系較方便.二、若邊界條件是非齊次的，又沒有其他條件可以用來定固有函數(shù)，則不論方程是否為齊次，必須先作代換使化為具有齊次邊界條件的問題，然后再求解.三、非齊次方程、齊次邊界條件的定解問題（不論初始條件如何）可以分為兩個定解問題，其一是具有原來初始條件的齊次方程，其二是具有齊次定解條件的非齊次方程.第一個問題用分離變量法求解，第二個問題按固有函數(shù)法求解.在結(jié)束本章之前，我們再舉兩個綜合性的例子，目的是幫助讀者掌握分離變量法的全過程.例2 求下列定解問題的解，其中均為常數(shù).解 這個定解問題的特點是：方程及邊界條件都是非齊次的.根據(jù)上述原則，首先應(yīng)將邊界條件化成齊次的，由于方程(2.56)的自

25、由項及邊界條件都與無關(guān)，所以我們有可能通過一次代換將方程與邊界條件都變成齊次的，具體做法如下：令 代入方程（4.56）得為了使這個方程及邊界條件同時化成齊次的，選滿足 （4.59）(4.59)是一個二階常系數(shù)線性非齊次方程的邊值問題，它的解可以通過兩次積分求得求出函數(shù)之后，再由（4.58）可知函數(shù)為下列定解問題的解.采用分離變量法，令,代入(4.60)得或由此得到由(4.63)及(4.61)可以確定固有值與固有函數(shù)為再由(4.64)得利用（4.62）中第二個條件可得. 于是定解問題（4.60）,(4.61),(4.62)的解可表示為代入(4.62)中第一個條件得即由傅氏級數(shù)的系數(shù)公式可得 （4.65）因此，原定解解問題的解為其中由(4.65)確定. 例3 在環(huán)形域內(nèi)求解下列定解問題解 由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，所以我們選用平面極坐標系，利用直角坐標與極坐標系之間的關(guān)系可將上述定解問題用極坐標表示出來這是一個非齊次方程附