空間向量練習(xí)題

1、1若A（0，2，），B（1，1，），C（2，1，）是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量=（x，y，z），則x：y：z=（）A2：3：（4）B1：1：1C：1：1D3：2：42若=（1，2，2）是平面的一個(gè)法向量，則下列向量能作為平面法向量的是（）A（1，2，0）B（0，2，2）C（2，4，4）D（2，4，4）3已知平面的法向量為=（2，2，4），=（3，1，2），點(diǎn)A不在內(nèi)，則直線AB與平面的位置關(guān)系為（）AABBAB CAB與相交不垂直DAB4若平面、的法向量分別為=（2，3，5），=（3，1，4），則（）ABC、相交但不垂直D以上均不正確5平面的法向量為（1，0，1），平面的法向量為（0，1，1

2、），則平面與平面所成二面角的大小為6如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，AB=2AA1，M是AB的中點(diǎn)，A1MC1是等腰三角形，D為CC1的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)（1）若DE平面A1MC1，求；（2）求直線BC和平面A1MC1所成角的余弦值7在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且COABB1A1平面（1）證明：BCAB1；（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值8如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，ABC=90，AB=4，AA1=6，點(diǎn)M時(shí)BB1中點(diǎn)（1）求證；

3、平面A1MC平面AA1C1C；（2）求點(diǎn)A到平面A1MC的距離9如圖，四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M為PC上一點(diǎn)，MC=2PM（）證明：BM平面PAD；（）若AD=2，PD=3，求點(diǎn)D到平面PBC的距離10如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于RtABC所在平面，且PA=AB=AC（）求證：PA平面QBC；（）PQ平面QBC，求二面角QPBA的余弦值11如圖所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于F（）證明：EFB1C；（）求二面角EA1DB1

4、的余弦值12如圖，正方體ABCDA1B1C1D1，邊長為1，E為CC1上一點(diǎn)，且EC=（1）證明：B1D1平面BDE；（2）求二面角EBDC大小；（3）證明：平面ACC1A1平面BDE13如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，ABC=45（1）求直三棱柱ABCA1B1C1的體積；（2）若D是AC的中點(diǎn)，求異面直線BD與A1C所成的角14如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，（1）證明：BC1面A1B1CD；（2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角15如圖，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=

5、EF=1（）求證：四點(diǎn)B、C、G、F共面；（）求二面角DBCF的大小16如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，ABC=（1）證明：ABA1C；（2）求二面角AA1CB的正弦值17如圖，在四棱錐OABCD中，OA底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA=2，M、N、Q分別為OA、BC、CD的中點(diǎn)（）證明：DN平面OAQ；（）求點(diǎn)B到平面DMN的距離18如圖，在棱長AB=AD=2，AA1=3的長方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是平面BCC1B1內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)（）試確定E的位置，使D1E平面AB1F；（）求平面AB1F與平面ABB1A1所成的銳二面

6、角的大小19如圖，邊長為1的正三角形SAB所在平面與直角梯形ABCD所在平面垂直，且ABCD，BCAB，BC=1，CD=2，E、F分別是線段SD、CD的中點(diǎn)（I）求證：平面AEF平面SBC；（）求二面角SACF的大小20如圖，在三棱錐DABC中，ADC，ACB均為等腰直角三角形AD=CD=，ADC=ACB=90，M為線段AB的中點(diǎn)，側(cè)面ADC底面ABC（）求證：BC平面ACD；（）求異面直線BD與CM所成角的余弦值；（）求二面角ACDM的余弦值21如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分別是PB、CB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)（）

7、求證：ACDE；（）求EF與平面PAB所成角的正弦值22如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是A1D1和A1B1的中點(diǎn)（1）求異面直線AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1與平面BFC1所成二面角的正弦值23已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=1，AA1=2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)（1）證明EF為BD1與CC1的公垂線；（2）求點(diǎn)D1到面BDE的距離24如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E為A1B1的中點(diǎn)在（）求證：AE平面BCE；（II）求二面角DBEC的余弦值1若A（0，2，），B（1，1，），C（2，1，）是平

8、面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量=（x，y，z），則x：y：z=（）A2：3：（4）B1：1：1C：1：1D3：2：4選A2若=（1，2，2）是平面的一個(gè)法向量，則下列向量能作為平面法向量的是（）A（1，2，0）B（0，2，2）C（2，4，4）D（2，4，4）選C3已知平面的法向量為=（2，2，4），=（3，1，2），點(diǎn)A不在內(nèi)，則直線AB與平面的位置關(guān)系為（）AABBABCAB與相交不垂直DAB選：D4若平面、的法向量分別為=（2，3，5），=（3，1，4），則（）ABC、相交但不垂直D以上均不正確選；C5平面的法向量為（1，0，1），平面的法向量為（0，1，1），則平面與平面所成二面角的大小為或

9、解：設(shè)平面的法向量為=（1，0，1），平面的法向量為=（0，1，1），則cos，=，=平面與平面所成的角與，相等或互補(bǔ)，與所成的角為或6如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，AB=2AA1，M是AB的中點(diǎn)，A1MC1是等腰三角形，D為CC1的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)（1）若DE平面A1MC1，求；（2）求直線BC和平面A1MC1所成角的余弦值解：（1）取BC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，C1N，（1分）M，N分別為AB，CB中點(diǎn)MNACA1C1，A1，M，N，C1四點(diǎn)共面，且平面BCC1B1平面A1MNC1=C1N，又DE平面BCC1B1，且DE平面A1MC1，DEC1N，D為CC1的中點(diǎn)，E是CN的

10、中點(diǎn)，（2）連結(jié)B1M，因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1為直三棱柱，AA1平面ABC，AA1AB，即四邊形ABB1A1為矩形，且AB=2AA1，M是AB的中點(diǎn)，B1MA1M，又A1C1平面ABB1A1，A1C1B1M，從而B1M平面A1MC1，MC1是B1C1在平面A1MC1內(nèi)的射影，B1C1與平面A1MC1所成的角為B1C1M，又B1C1BC，直線BC和平面A1MC1所成的角即B1C1與平面A1MC1所成的角（10分）設(shè)AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形，則MC1=2，cos=，直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值為（12分）7在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為

11、矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且COABB1A1平面（1）證明：BCAB1；（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值【解答】（I）證明：由題意，因?yàn)锳BB1A1是矩形，D為AA1中點(diǎn)，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tanAB1B=，在直角三角形ABD中，tanABD=，所以AB1B=ABD，又BAB1+AB1B=90，BAB1+ABD=90，所以在直角三角形ABO中，故BOA=90，即BDAB1，又因?yàn)镃O側(cè)面ABB1A1，AB1側(cè)面ABB1A1，所以COAB1所以，AB1面BCD，因?yàn)锽C面BCD，所以BCAB

12、1（）解：如圖，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x，y，z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（，0，0），C（0，0，），B1（0，0），D（，0，0），又因?yàn)?2，所以所以=（，0），=（0，），=（，），=（，0，），設(shè)平面ABC的法向量為=（x，y，z），則根據(jù)可得=（1，）是平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)直線CD與平面ABC所成角為，則sin=，所以直線CD與平面ABC所成角的正弦值為（12分）8如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，ABC=90，AB=4，AA1=6，點(diǎn)M時(shí)BB1中點(diǎn)（1）求證；平面A1MC平面AA1C1C；（2）求點(diǎn)A

13、到平面A1MC的距離【解答】證明：（1）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意A1（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），=（0，4，3），=（4，0，3），=（0，0，6），=（4，4，0），設(shè)平面A1MC的法向量為=（x，y，z），則，取x=3，得=（3，3，4），設(shè)平面AA1C1C的法向量=（a，b，c），則，取a=1，得=（1，1，0），=0，平面A1MC平面AA1C1C解：（2）=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，3，4），點(diǎn)A到平面A1MC的距離：d=9如圖，四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，ABCD

14、，BAD=，AB=1，CD=3，M為PC上一點(diǎn)，MC=2PM（）證明：BM平面PAD；（）若AD=2，PD=3，求點(diǎn)D到平面PBC的距離【解答】證明：（1）過M作MOCD，交CD于O，連結(jié)BO，四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M為PC上一點(diǎn)，MC=2PM，MOPD，OD=，ODAB，ADBO，ADPD=D，BOMO=O，AD、PD平面ADP，BO、MO平面BOM，平面ADP平面BOM，BM平面BOM，BM平面PAD解：（2）AD=2，PD=3，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，BD=，BD2+AB2=AD2，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸

15、，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0），=（），=（），=（0，3，3），設(shè)平面PBC的法向量=（x，y，z），則，取x=2，得=（2，3，3），點(diǎn)D到平面PBC的距離d=10圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于RtABC所在平面，且PA=AB=AC（）求證：PA平面QBC；（）PQ平面QBC，求二面角QPBA的余弦值解：（I）證明：過點(diǎn)Q作QDBC于點(diǎn)D，平面QBC平面ABC，QD平面ABC，又PA平面ABC，QDPA，又QD平面QBC，PA平面QBC，PA平面QBC（）方法一：PQ平面QBC，PQB=PQC=90，又PB=PC

16、，PQ=PQ，PQBPQC，BQ=CQ點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，則ADBC，AD平面QBC，PQAD，ADQD，四邊形PADQ是矩形設(shè)PA=2a，PB=2a，過Q作QRPB于點(diǎn)R，QR=，=，取PB中點(diǎn)M，連接AM，取PA的中點(diǎn)N，連接RN，PR=，MARNPA=AB，AMPB，RNPBQRN為二面角QPBA的平面角連接QN，則QN=又，cosQRN=即二面角QPBA的余弦值為（）方法二：PQ平面QBC，PQB=PQC=90，又PB=PC，PQ=PQ，PQBPQC，BQ=CQ點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連AD，則ADBCAD平面QBC，PQAD，ADQD，四邊形PADQ是矩形分別以AC、AB、AP為x

17、、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz不妨設(shè)PA=2，則Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），設(shè)平面QPB的法向量為=（1，1，0），=（0，2，2）令x=1，則y=z=1又平面PAB的法向量為設(shè)二面角QPBA為，則|cos|=又二面角QPBA是鈍角11如圖所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于F（）證明：EFB1C；（）求二面角EA1DB1的余弦值【解答】（）證明：B1C=A1D且A1B1=CD，四邊形A1B1CD為平行四邊形，B1CA1D，又B1C平面A1EFD，B1C平面

18、A1EFD，又平面A1EFD平面B1CD1=EF，EFB1C；（）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz如圖，設(shè)邊長為2，AD1平面A1B1CD，=（0，2，2）為平面A1B1CD的一個(gè)法向量，設(shè)平面A1EFD的一個(gè)法向量為=（x，y，z），又=（0，2，2），=（1，1，0），取y=1，得=（1，1，1），cos，=，二面角EA1DB1的余弦值為12如圖，正方體ABCDA1B1C1D1，邊長為1，E為CC1上一點(diǎn)，且EC=（1）證明：B1D1平面BDE；（2）求二面角EBDC大??；（3）證明：平面ACC1A1平面BDE【解答】（1）證明：

19、在正方體ABCDA1B1C1D1，DD1BB1且DD1=BB1則：四邊形DD1B1B是平行四邊形BDB1D1B1D1平面BDE，BD平面BDE，所以：B1D1平面BDE（2）連接AC和BD交于點(diǎn)O，連接OE，所以：ACDB，又EC平面ABCD，DB平面ABCD所以：BD平面COE則：OEBD則：EOC是二面角EBDC的平面角由于正方體的邊長為1，EC=，解得：則：tanEOC=1則：EOC=45即二面角EBDC大小為45（3）在正方體中，A1A平面ABCD，ACBD，則：BD平面A1ACC1BD平面BDE所以：平面ACC1A1平面BDE13如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1

20、=2，ABC=45（1）求直三棱柱ABCA1B1C1的體積；（2）若D是AC的中點(diǎn)，求異面直線BD與A1C所成的角解：（1）AB=AC=2，ABC=45，BAC=90，又AA1=2，直三棱柱ABCA1B1C1的體積V=SABCAA1=22=4直三棱柱ABCA1B1C1的體積為4（2）取AA1的中點(diǎn)M，連接DM，BM，D是AC的中點(diǎn)，DMA1C，BDM是異面直線BD與A1C所成的角在BDM中，即異面直線BD與A1C所成的角為14（2014秋西寧期中）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，（1）證明：BC1面A1B1CD；（2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角解：（1）連接B1C交BC1

21、于點(diǎn)O，連接A1O在正方體ABCDA1B1C1D1中因?yàn)锳1B1平面BCC1B1所以A1B1BC1又BC1B1C，又BC1B1C=OBC1平面A1B1CD （2）因?yàn)锽C1平面A1B1CD，所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，所以BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角設(shè)正方體的棱長為a在RTA1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，BA1O=30，即直線A1B和平面A1B1CD所成的角為3015如圖，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1（）求證：四點(diǎn)B、C、G、F共面；（）求二面角DB

22、CF的大小【解答】（）證明：取DG的中點(diǎn)M，連接AM，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1BFAM，AMCG，BFCG，四點(diǎn)B、C、G、F共面（）以DE為x軸，以DG為y軸，以DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1D（0，0，0），B（2，0，2），C（0，1，2）F（2，1，0），設(shè)平面DBC的法向量，則，解得=（1，2，1），設(shè)平面FBC的法向量，則，解得=（1，2，1），設(shè)二面角DBCF的平面角為

23、，則cos=|cos，|=|=二面角DBCF的大小為arccos16如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，ABC=（1）證明：ABA1C；（2）求二面角AA1CB的正弦值解：（1）證明：在ABC中，由正弦定理可求得ABAC以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AA1為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則A（0，0，0）B（2，0，0）即ABA1C（2）由（1）知設(shè)二面角AA1CB的平面角為，=17如圖，在四棱錐OABCD中，OA底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA=2，M、N、Q分別為OA、BC、CD的中點(diǎn)（）證明：DN平面OAQ；（）求點(diǎn)B到平面DMN的

24、距離解：（）由題意，可知AO，AB，AD兩兩垂直，于是可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，從而可得以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0），即AQDN又知OADN，DN平面OAQ（）設(shè)平面DMN的法向量為，由得即，令x=1，得平面DMN的法向量，點(diǎn)B到平面DMN的距離18如圖，在棱長AB=AD=2，AA1=3的長方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是平面BCC1B1內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)（）試確定E的位置，使D1E平面AB1F；（）求平面AB1F與平面ABB1A1所成的銳二面角的大小解：（）以A為原點(diǎn)，

25、AB、AD、AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A（0，0，0），F(xiàn)（1，2，0），B1（2，0，3），D1（0，2，3），設(shè)E（2，y，z），則，（4分）由D1E平面AB1FE（2，1，） 為所求 （6分）（）方法一：當(dāng)D1E平面AB1F時(shí)，=，又是平面A1AB1的法向量，且（8分）面AB1F與平面ABB1A1所成的銳二面角的大?。?2分）方法二：取AB的中點(diǎn)G，可證：FG平面ABB1A1，過點(diǎn)G作GHAB1于H點(diǎn)，連接FH，則FHAB1，所以GHF為所求二面角的平面角（9分）在GHF中，F(xiàn)G=2，F(xiàn)H面AB1F與平面ABB1A1所成的銳二面角的大?。?2分）19如圖，邊

26、長為1的正三角形SAB所在平面與直角梯形ABCD所在平面垂直，且ABCD，BCAB，BC=1，CD=2，E、F分別是線段SD、CD的中點(diǎn)（I）求證：平面AEF平面SBC；（）求二面角SACF的大小【解答】證明：（）fF別是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)C=CD=1又AB=1，所以FC=ABFCAB，四邊形ABCF四邊形AFBCE是SD的中點(diǎn)EFSC又AFEF=F，BCSC=C平面AEF平面SBC解：（II）取AB的中點(diǎn)O，連接SO，SOSAB，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系Oxyz則有A（0，0），C（1，0），S（0，0，），F(xiàn)（1，0），=（1，1，0），=（0，），（7分）設(shè)平面SAC的法向量為=

27、（x，y，z），由，即取x=1，得=（1，1，），平面FAC的法向量為=（0，0，1）（10分）cosm，n=而二面角二面角SACF的大小為鈍角，二面角二面角SACF的大小為arccos20如圖，在三棱錐DABC中，ADC，ACB均為等腰直角三角形AD=CD=，ADC=ACB=90，M為線段AB的中點(diǎn)，側(cè)面ADC底面ABC（）求證：BC平面ACD；（）求異面直線BD與CM所成角的余弦值；（）求二面角ACDM的余弦值解：（）證明：因?yàn)锳CBC，平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BC平面ABC，所以BC平面ACD（）取AC的中點(diǎn)為O，連接DO，OM建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz如圖所示

28、則A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（1，2，0），M（0，1，0），所以異面直線BD與CM所成角的余弦值為（）平面ACD的法向量為，設(shè)平面MCD的法向量為，由，得，取x=1，得y=z=1，所以所以，二面角ACDM的余弦值為21如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分別是PB、CB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)（）求證：ACDE；（）求EF與平面PAB所成角的正弦值【解答】證明：（）PD面ABCD，AC面ABCDPDAC四邊形ABCD是菱形，BDAC又PDBD=D，PD，BD面PBDAC面PBD又DE面PBDACDE （）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在的直線為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則AC=6，BD=6，PD=3，E、F分別是PB、CB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)P（3，0，3），A（0，3，0），B（3，0，0），C（0，3，0），=（2，0，），=（1，0），=+=（1，），設(shè)平面PAB的法向量=（x，y，z），由=（3，3，3），=（6，0，3）得，即令z=2，則=（，2）則EF與平面PAB所成角滿足sin=，即為EF與平面PAB所成角的正弦值（