線性代數(shù)模擬題第111套

1、線性代數(shù)模擬試題（一）一填空題（每空3分，共30分）1、設(shè) 則 2、設(shè)A是3階矩陣，且則 3、已知，則4、設(shè)是矩陣，.則線性方程組的基礎(chǔ)解系含有 個解向量5、設(shè)是非齊次線性方程組的解，若也是的解，則 6、設(shè)，若與正交，則、所滿足的關(guān)系為 7、二次型的矩陣 8、設(shè)4階方陣的特征值分別為則的特征值為 9、設(shè) , 則 10、設(shè) 則 二 、計算行列式（10分）三 、設(shè). 求矩陣.（12分）四、設(shè)向量組 ， ， ， ，求此向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.（14分）五、求下列非齊次線性方程組的一般解（12分）六、已知實對稱矩陣，1.求的特征值與特征向量. 2.求一正交矩陣，

2、使得為對角陣.（16分）七、設(shè)，且為的特征值，為它們對應的特征向量，證明線性無關(guān)（6分） 線性代數(shù)模擬試題（二）一. 填空題（每題3分，共30分）1. 設(shè)A是3階矩陣，且則 2. 設(shè)是非齊次線性方程組的解，若也是的解，則 3. 中的系數(shù)為 4. 設(shè)四元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，已知有解則的一般解為 5. 設(shè)與正交，則 6. 設(shè)二元方陣的逆分別是則 7. 設(shè)3階方陣的特征值為2，-1，3，則 8. 設(shè)為45矩陣，若的每個行向量都不能用其余的行向量來線性表示，則的秩為 9. 設(shè)為中第I行第j列的元素的代數(shù)余子式，則 10. 二次型所對應的矩陣為 二. 計算行列式 （10分） 三.已知，且，求（

3、10分）四.求解方程組（12分）五.設(shè)向量組中（1）求向量組的秩. （2）求向量組的一個極大無關(guān)組. （3）將其余向量用極大無關(guān)組線性表示 （14分）六.設(shè)=. （1）求的特征值. （2）求的特征向量（3）求正交矩陣，使得為對角陣.（16分）七.證明：若非零向量可由向量組線性表示，且表達唯一，則線性無關(guān). （8分）線性代數(shù)模擬試題（三）一、 判斷題：（10分） 1、兩個n維向量組等價當且僅當兩個向量組的秩相等；（ ） 2、兩兩正交的非零向量組一定是線性無關(guān)的向量組；（ ） 3、矩陣A、B分別為線性方程組相應的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，則線性 方程組有唯一解當且僅當R（A）=R（B）；（ ）4、n階方

4、陣A的n個特征值互不相等，則A與對角陣相似；（ ） 5、n階方陣A與B的特征值相同的充分必要條件是A與B相似。（ ）二、 填空題：（20分）1、 向量的第一個分量非負，是的標準正交基（正交規(guī)范基），則 = ； 2、n階方陣A的特征值為1，2，n，則 |A| = ； 3、若A是可逆矩陣，且是A的特征值，則特征值為 ； 4、設(shè)是非齊次線性方程組AX=B（B0）的解,若 也是AX=B 的解, 當且僅當 ; 5、實二次型 為正定的，則k= 。三、（10分）設(shè)向量1、 驗證：的一組基；2、 用初等變換方法求。四、（15分）設(shè)線性方程組：，1、 求出線性方程組有解的充要條件；2、 在有解的情況下，求出通解

5、。五、（15分）用正交變換將二次型化為標準型。六、（14分）設(shè)是非齊次線性方程組AX=B（B0）的一個解，是對應的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，證明： 1、也是對應齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系；2、，線性無關(guān)。七、（16分）設(shè)三階方陣A的特征值為1，-1，2，1、 求矩陣B的特征值及其相似對角形矩陣；2、 求行列式 |B| 與 |A-5E| 。線性代數(shù)模擬試題（四）三、 填空題：（30分）1、若是5階行列式中帶“+”的項，則i= ； k= 。2、若行列式D中存在兩行元素相同或成比例，則D= 。3、設(shè)矩陣A為n階方陣，且方程組AX=B（B0）有唯一解，則 R（A）= 4、正交矩陣A的五個等價定義

6、為： （1） ； （2） ； （3） ； （4）A的列向量組是一組 基； （5）A的行向量組是一組 基；5、設(shè)是n階矩陣A的伴隨矩陣，若|A|=2，則 | = ； 6、設(shè)= ； 7、若n階方陣A的列向量組是的標準正交基，則 A = ； 8、若方陣A滿足，則A的特征值是 或 ； 9、設(shè)是某齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則與是線性 的；10、n階矩陣A的n 個特征根互不相等是A與對角矩陣相似的 。二、（10分）計算行列式： 。三、（15分）設(shè)有非齊次線性方程組：，問當為何值時有解？并求出全部解。四、（15分）用初等變換求逆矩陣及矩陣的秩： 1、，求； 2、B=，求R（B）。五、（15分）設(shè)證明：A及A

7、+3E都可逆， 并求 ，。六、（15分）寫出二次型的矩陣，并判斷二次型的正定性。線性代數(shù)模擬試題（五）一、填空題（每小題3分，共15分） 1、設(shè)為維單位坐標向量組，則 = ； 2、任何個維向量都是線性 關(guān)的； 3、向量空間中的任何一個基所含的向量個數(shù)都等于向量空間的 ； 4、矩陣A=的逆矩陣為= 5、設(shè)為矩陣的一個特征根，則是矩陣 的特征根。 二、用初等變換求矩陣的逆矩陣（12分） 三、判斷向量組 線性相關(guān)性（10分） 四、寫出二次型的矩陣， 并判斷二次型的正定性。（正定，負定或不定）（12分） 五、求與向量組 等價的正交單位向量組（12分） 六、求方程組的通解（15分） 七、設(shè)求向量組 ，的

8、一個最大無關(guān)組，并把余下的向量用它的極 大無關(guān)組來線性表示（12分） 八、證明：若為實對稱矩陣，為正交矩陣，則也是 實對稱矩陣（12分）線性代數(shù)模擬試題（六）一、 填空題（每小題3分，共15分） 1、在階行列式中，項的符號是 ； 2、設(shè)，則 ， ； 3、設(shè)向量組線性無關(guān)，則它的秩= ； 4、設(shè)是某個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系, ，則與是線性 的；因而知道 與 （一定，不一定）是線性方程組的基礎(chǔ)解系； 5、階矩陣的個特征根互不相等是與對角矩陣相似的 條件。 二、計算行列式的值（10分） （1） （2） 三、設(shè)，求（10分）;四、求向量組 的秩，并判斷它們是否線性相關(guān)（10分）五、（1）判斷矩陣是否

9、為正交矩陣（7分）； （2）求二次型的矩陣，并判斷二次型的正定 性。（正定，負定或不定）（10分）六、已知三階矩陣的三個特征根為，且 為它們所對應的特征向量，求一個正交矩陣，使為對角陣。（12分）七、求方程組的通解（15分）八、已知向量組與有相同的秩，證明：向量組與是等價向量組（11分）線性代數(shù)模擬試題（七）一、填空題：（18分） 1、設(shè)是某個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系, ，則與是線性 的；因而知道 與 （一定，不一定）是線性方程組的基礎(chǔ)解系； 2、階矩陣的個特征根互不相等是與對角矩陣相似的 條件。 3、 4、矩陣A=的逆矩陣為= 4、設(shè)是n階矩陣A的伴隨矩陣，若|A|=2，則 | = ； 5、

10、向量的第一個分量非負，是的標準正交基（正交規(guī)范基），則= ；二、（16） 設(shè)線性方程組：， 1、求出線性方程組有解的充要條件； 2、在有解的情況下，求出通解。三、（10分） 設(shè)三階方陣A的特征值為1，-1，2， 1、求矩陣B的特征值及其相似對角形矩陣； 2、求行列式 |B| 與 |A-5E| 。四、（15分）判斷向量組 線性相關(guān)性五、（15分）寫出二次型的矩陣， 并判斷二次型的正定性。（正定，負定或不定）六、（18分）設(shè)矩陣A，求：（1）A的行最簡型；（2）A的列向量組的一個極大無關(guān)組，并指出列向量組的秩；（3）用上述極大無關(guān)組線性表示其余的列向量。七、（8分）證明題：已知向量組與有相同的秩，

11、證明：向量組與是等價向量組。線性代數(shù)模擬試題（八）一、填空題（每小題3分，共16分）1、如果，則 ；（3分）2、已知，則= ；（2分）3、設(shè)A為階方陣，為任一常數(shù)，則矩陣行列式=_；（2分）4、如果A、B均為階方陣，且，則矩陣A、B均為_矩陣，且A的_為B，而B的_為A；（3分）5、含有零向量的向量組必是線性_向量組；（2分）6、如果向量組A可以由向量組B線性表示，則R（A）_R（B）；（2分）7、設(shè)A為一個n階方陣，則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是_.。（2分）二、判斷題（每小題2分，共12分）1、（ ）2、設(shè)均為階矩陣，則（ ）3、若，則（ ）4、設(shè)均為可逆矩陣，則也可逆且（ ）5

12、、向量組是線性無關(guān)的（ ）6、設(shè)向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)（ ）三、計算題（60分）1、（10分）計算行列式2、（10分）已知，求3、（15分）求線性方程組的通解4、（15分）設(shè)向量組 是矩陣A的列向量組，求矩陣A的列向量組的秩及其一個最大無關(guān)組。5、（10分）設(shè) ，用矩陣的初等行變換求矩陣A的逆矩陣。五、證明題（12分）：設(shè)向量組線性無關(guān)，試證明向量組也線性無關(guān)。 參考答案一、填空題 1、 2、 3、 4、5、 6、二、選擇題 1、D 2、A 3、D 4、D 5、C 6、C三、判斷題 1、×2、×3、4、×5、6、×7、8、×9、10

13、、×四、計算題 1、解、 2、解：由于，故 3、解：由于 故，方程有無窮多解并有 取得方程組的一個特解 在對應的齊次線性方程組中分別取得 對應的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，于是所求的通解為 （） 4、解： 故向量組的秩為，（或）是它的一個極大無關(guān)組。 5、解：取， 將它們單位化得 ， 則，為所求。五、證明：設(shè)，則 由于向量組線性無關(guān)，故 于是，故向量組也線性無關(guān)。線性代數(shù)模擬試題（九）一、 填空題（每小題3分，共24分）1、設(shè)四階行列式D的第二行的4個元素分別為。它們的代數(shù)余子式分別為，則行列式D=_；2、設(shè)，且，則_;3、設(shè)A是矩陣，若A的行向量組線性無關(guān)，則A的列向量組的秩R=_；

14、4、設(shè)A是矩陣，若A的列向量組的秩為2，則線性方程組的基礎(chǔ)解系含有_個解向量。5、二次型的矩陣A=；6、設(shè)，則A的伴隨矩陣=；7、設(shè)D=3，則=_8、設(shè)階行列式A的值為2，則=_；二、（18分）設(shè)且，求矩陣B；三、（18分）設(shè)向量組， 。求：（1）該向量組的秩；（2）求該向量組的一個極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表示。四、（15分）求解方程組。五、（18分）設(shè)。1、求A的特征值；2、求A的特征向量；3、求一正交矩陣P，使為一對角陣。六、（7分）證明向量組線性相關(guān)的充要條件是其中某個向量可由其余向量線性表示。線 性 代 數(shù) 模 擬 試 題（十）一、填空題（每小題3分，共24分）1、

15、如果行列式=0,則=_；2、n階方陣A的特征值為1，2，n，則 |A| = ；3、設(shè)是n階矩陣A的伴隨矩陣，若|A|=2，則 | = _；4、任何個維向量都是線性 關(guān)的；5、設(shè)是非齊次線性方程組AX=B（B0）的解,若 也是AX=B 的解, 當且僅當 ；6、若行列式D中存在兩行元素相同或成比例，則D= ；7、若A是可逆矩陣，且是A的特征值，則特征值為 8、設(shè)是某齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則與是線性 的；二、（16分）設(shè)向量3、 驗證：的一組基；4、 用初等變換方法求。三、（17分）設(shè)，求矩陣B。四、（18分）設(shè)有非齊次線性方程組：，問當為何值時有解？并求出全部解。五、（18分）設(shè)向量組， 。求：（1）該向量組的秩；（2）求該向量組的一個極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表示。六、（7分）設(shè)，且向量組線性無關(guān)，證明向量組也線性無關(guān)線 性 代 數(shù) 模 擬 題（十一）一、填空題（每小題3分，共24分）1、四階行列式中含有的項是：_；2、5階方陣A的行列式的值=3，則 |-3A| = ；3、設(shè) 是非齊次線性方程組AX=b的解，若也是該方程組的解，則 _；4、已知5元齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系包含3個解向量，則R（A）=_