空間向量與立體幾何

1、一、知識(shí)點(diǎn)<一>常用結(jié)論1證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5證明直線與平面垂直的思考途

2、徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.6證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.7.夾角公式 ：設(shè)a，b，則cosa，b=.8異面直線所成角：=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）9.直線與平面所成角：(為平面的法向量).10.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.11.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，則=.12.異面直線間的距離： (是兩異面直線，其公垂

3、向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).13.點(diǎn)到平面的距離：（為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，）.14.三個(gè)向量和的平方公式：15. 長(zhǎng)度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.116. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的).117. 球的組合體(1)球與長(zhǎng)方體的組合體: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng) 二溫馨提示：1

4、.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你是否注意到它們各自的取值范圍及義？ 異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次. 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是 反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是三解題思路：1、平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 線面平行的判定： 線面平行的性質(zhì)： 三垂線定理（及逆定理）： 線面垂直： 面面垂直： 2、三類角的定義及求法 （1）異面直線所成的角，0°90° （2）直線與平面所成的角，0°90° （三垂線定理法：A作或證AB于B，作BO棱于O，連AO，則AO棱l，A

5、OB為所求。） 三類角的求法： 找出或作出有關(guān)的角。 證明其符合定義，并指出所求作的角。 計(jì)算大?。ń庵苯侨切?，或用余弦定理）。二、題型與方法【考點(diǎn)透視】 不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來(lái)完成。 求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量?！纠}解析】考點(diǎn)1 點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.例1如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大

6、小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力 解答過(guò)程：解法一：（）取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，正三棱柱中，平面平面，平面連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)， ， 在正方形中， 平面（）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（）得平面， 為二面角的平面角在中，由等面積法可求得，又， 所以二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設(shè)點(diǎn)到平面的距離為由，得，點(diǎn)到平面的距離為解法二：（）取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面（）設(shè)平面的法向量為， ，令得為平面的一個(gè)法向量由（）知平面，為平面的法向量，二

7、面角的大小為（）由（），為平面法向量，點(diǎn)到平面的距離小結(jié)：本例中（）采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離.解法二采用了平面向量的計(jì)算方法，把不易直接求的B點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)K到平面的距離的計(jì)算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.考點(diǎn)2 異面直線所成的角此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形來(lái)求角.異面直線所成的角是高考考查的重點(diǎn).例2、如圖，在中，斜邊可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角是的中點(diǎn)（I）求證：平面平面；（II）求異面直線與所成角的大小思路啟迪：（II）

8、的關(guān)鍵是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi). 解答過(guò)程：解法1：（I）由題意，是二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為解法2：（I）同解法1（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為小結(jié)： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來(lái)說(shuō)，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線

9、所成的角的首選方法.同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點(diǎn)3 直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計(jì)算.線面角在空間角中占有重要地位，是高考的常考內(nèi)容.例3. 四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小考查目的：本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力 解答過(guò)程：解法一：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面因?yàn)椋?，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，

10、得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為解法二：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面因?yàn)椋杂?，為等腰直角三角形，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，所以（）取中點(diǎn)，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，所以，直線與平面所成的角為小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：構(gòu)造作出斜線與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角，計(jì)算常用解三角形的方法求角，結(jié)論點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)4 二面角此類題主要是如何確定二面角的平

11、面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)行求解.二面角是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)重視.例4如圖，已知直二面角，直線和平面所成的角為（I）證明； （II）求二面角的大小命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.過(guò)程指引：（I）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以而，所以，從而，又，所以平面因?yàn)槠矫?，故（II）解法一：由（I）知，又，所以過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，故是二面角的平面角由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，在中，所以，于是在中，故二面角的大小為解法二：由（I）知，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為

12、軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因?yàn)?，所以是和平面所成的角，則不妨設(shè)，則，在中，所以則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得取，得易知是平面的一個(gè)法向量設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，所以故二面角的大小為小結(jié)：本題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問(wèn)題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無(wú)棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.考點(diǎn)5 利用空間向

13、量求空間距離和角眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定.當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問(wèn)題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)，不僅會(huì)降低題目的難度，而且使得作題具有很強(qiáng)的操作性.例5如圖，已知是棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且（1）求證：四點(diǎn)共面； （2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，垂足為，求證：平面； （3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力 過(guò)程指引：解法一：（1）如圖，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)，則，因?yàn)?，所以四邊形，都為平行四邊形從而，又因?yàn)椋?，故四邊形是平行四邊形，由此推知，從而因此，四點(diǎn)共面（2）如圖，又，所以，因?yàn)?，所以為平行四邊形，從而又平面，所以平面?）如圖，連結(jié)因?yàn)?，所?/p>