清華微積分輔導(dǎo)文檔

1、 Contents Trial version ys2002090701.htm Trial version ys2002090702.htm Trial version ys2002090703.htm Trial version ys2002090704.htm Trial version ys2002090801.htm Trial version ys2002090802.htm Trial version ys2002090803.htm Trial version ys2002090905.htm Trial version ys2002090906.htm Trial versi

2、on ys2002090907.htm Trial version ys2002091001.htm Trial version ys2002091002.htm Trial version ys2002091003.htm Trial version ys2002091009.htm Trial version ys2002091010.htm Trial version ys2002091011.htm Trial version ys2002091101.htm Trial version ys2002091102.htm Trial version ys2002091103.htm T

3、rial version ys2002091304.htm Trial version ys2002091305.htm Trial version ys2002091306.htm Trial version ys2002091307.htm Trial version ys2002091401.htm Trial version ys2002091501.htm Trial version ys2002091502.htm Trial version ys2002091503.htm Trial version ys2002091504.htm Trial version ys200209

4、1701.htm Trial version ys2002091702.htm Trial version ys2002091703.htm Trial version ys2002091704.htm Trial version ys2002091901.htm Trial version ys2002091902.htm Trial version ys2002091903.htm Trial version ys2002091904.htm Trial version ys2002092101.htm Trial version ys2002092102.htm Trial versio

5、n ys2002092103.htm Trial version ys2002092405.htm Trial version ys2002092406.htm Trial version ys2002092407.htm Trial version ys2002092408.htm Trial version ys2002092601.htm Trial version ys2002092602.htm Trial version ys2002092603.htm Trial version ys2002092604.htm Trial version ys2002092801.htm Tr

6、ial version ys2002092802.htm Trial version ys2002092803.htm Trial version ys2002092804.htm Trial version ys2002092909.htm Trial version ys2002093001.htm Trial version ys2002093002.htm Trial version ys2002093003.htm Trial version ys2002093004.htm Trial version ys2002093005.htm Trial version ys2002093

7、006.htm Trial version ys2002100101.htm Trial version ys2002100102.htm Trial version ys2002100103.htm Trial version ys2002100104.htm Trial version ys2002100105.htmAmber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講本節(jié)課程內(nèi)容：1.1 函數(shù)與基本不等式函數(shù)關(guān)系，定義域與值域，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四類初等性質(zhì)（廣義奇偶性）1.2 極限定義與性質(zhì)序列與函數(shù)極限定義與等價(jià)描述極限性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性及推論，比

8、較性質(zhì)1.3 三個(gè)極限存在準(zhǔn)則1.4 兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)極限1.5 無(wú)窮小量比階等價(jià)無(wú)窮小量，同階無(wú)窮小量與高階無(wú)窮小量。1.6 極限相關(guān)知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，變限積分，級(jí)數(shù)，微分方程，廣義積分等。1.7 連續(xù)函數(shù)基本概念，定義，連續(xù)性與極限的關(guān)系，連續(xù)性等價(jià)描述，連續(xù)性的判別閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)定理，最大最小值定理。Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講 并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：1.1 函數(shù)與基本不等式函數(shù)關(guān)系，定義域與值域，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四類初等性質(zhì)（廣義奇偶性）1.2 極限定義與性質(zhì)序列與函數(shù)極限定義與等價(jià)描述極限性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性及推論

9、，比較性質(zhì)1.3 三個(gè)極限存在準(zhǔn)則1.4 兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)極限1.5 無(wú)窮小量比階等價(jià)無(wú)窮小量，同階無(wú)窮小量與高階無(wú)窮小量。1.6 極限相關(guān)知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，變限積分，級(jí)數(shù)，微分方程，廣義積分等。1.7 連續(xù)函數(shù)基本概念，定義，連續(xù)性與極限的關(guān)系，連續(xù)性等價(jià)描述，連續(xù)性的判別閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)定理，最大最小值定理。Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：例15. 設(shè)與在有定義，在有間斷點(diǎn)，在上連續(xù)，且，則（A）在上必有間斷點(diǎn);（B）在上必有間斷點(diǎn);（C）在上必有間斷點(diǎn);（D）在上必有間斷點(diǎn).例16.設(shè)，且至少存在一點(diǎn)，使，證明

10、在上有正的最大值。例17.設(shè)，證明（1）存在； （2）收斂。例18.若，則（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；例19.若存在, 則 B(A) 。(B) 之去心鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(C) 之鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(D) 。例20.設(shè)定義在, 且都在處連續(xù),若 , 則 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 例21.設(shè)當(dāng)是比高階的無(wú)窮小量, 則 A(A) , (B) (C) , (D) Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：例15. 設(shè)與在有定義，在有間斷點(diǎn)，在上連續(xù)，且，則（A）在上必有間斷點(diǎn);（B）在上必

11、有間斷點(diǎn);（C）在上必有間斷點(diǎn);（D）在上必有間斷點(diǎn).例16.設(shè)，且至少存在一點(diǎn)，使，證明在上有正的最大值。例17.設(shè)，證明（1）存在； （2）收斂。例18.若，則（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；例19.若存在, 則 B(A) 。(B) 之去心鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(C) 之鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(D) 。例20.設(shè)定義在, 且都在處連續(xù),若 , 則 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 例21.設(shè)當(dāng)是比高階的無(wú)窮小量, 則 A(A) , (B) (C) , (D) Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)

12、容：第2講 導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì) 要點(diǎn)與習(xí)題清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 劉坤林 主講2.1 導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義作為第3標(biāo)準(zhǔn)極限 應(yīng)用技巧2.2 導(dǎo)數(shù)性質(zhì)函數(shù)可導(dǎo)的充要條件，可微性概念，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系2.3 微分與導(dǎo)數(shù)計(jì)算，高階導(dǎo)數(shù)2.4 導(dǎo)數(shù)的定號(hào)性與函數(shù)增減性，局部極值，凹凸性與拐點(diǎn)Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：例1. 設(shè)，則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為 B(A) 存在，(B) 存在(C) 存在，(D) 存在例2. 若存在，則k ， -k ，-2k ， -k .例3. 設(shè)可導(dǎo),且滿足條件,則曲線在處的切線斜率為 D(A) 2, (B)

13、-1, (C) , (D) 2例4. 設(shè)在區(qū)間內(nèi)有定義, 若當(dāng)時(shí),有,則必是的 C(A) 間斷點(diǎn)； (B) 連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)(C) 可導(dǎo)的點(diǎn), 且；(D) 可導(dǎo)的點(diǎn), 且例5. 設(shè)曲線 在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)為，則 例6. 若二次曲線將兩條曲線,連接成處處有切線的曲線，則該二次曲線為 例7.設(shè)在點(diǎn)某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo), 且當(dāng),已知, , 則例8. 設(shè)可導(dǎo), ,若使處可導(dǎo), 則必有 A(A) 。 (B) 。(C) 。 (D) 。例9. 設(shè), 其中是有界函數(shù),則在處有 D(A) 極限不存在; (B) 極限存在, 但不連續(xù)(C) 連續(xù), 但不可導(dǎo); (D) 可導(dǎo)例10. 設(shè) 在點(diǎn)處可導(dǎo), 則 D(A); (

14、B);(C); (D).例11.設(shè)在某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且，求極限 ；例12.設(shè)是內(nèi)的連續(xù)奇函數(shù)，且，則在處的導(dǎo)數(shù)為 A(A); (B); (C); (D)不存在.例13.設(shè)在某內(nèi) 存在，已知，求.Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：例14.函數(shù)的上凸區(qū)間為 (0,1)例15. 設(shè)函數(shù) 由 確定，則 ，例16.設(shè)，求.Key: +例17.求函數(shù) 的漸近線。Key:垂直；斜漸進(jìn)線例18.設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù), 是的同階無(wú)窮小量（），且為其極大值,則存在,當(dāng) 時(shí), 必有 C(A) . (B) .(C) .(D) .例19. 設(shè)當(dāng)時(shí)，曲

15、線與在內(nèi)相切。又當(dāng)取值范圍為 時(shí)，上述二曲線在內(nèi)恰有二個(gè)交點(diǎn)。例20. 設(shè) 滿足, 討論是否為的極值點(diǎn).。例21.已知函數(shù)滿足等式，且，則在處的二次Taylor多項(xiàng)式為.例22.設(shè)在某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù), 且, , 則 A(A) 是的極大值.(B) 是的極小值,(C) 是的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn).也不是的拐點(diǎn).例23.設(shè)對(duì)一切滿足 ，若,其中，則 B(A) 是的極大值. (B) 是的極小值.(C) 是的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn), 也不是的拐點(diǎn).例24. 設(shè)對(duì)一切滿足 ，且,其中，則 C(A) 是的極大值.(B) 是的極小值.(C) 是的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn), 也不是的拐點(diǎn).例25若內(nèi)的奇函

16、數(shù), 在內(nèi), 且,則在內(nèi)有 B .(A)； (B);(C) ； (D).Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：第3講 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài) 要點(diǎn)與習(xí)題 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 劉坤林 主講 3.1 導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理及應(yīng)用技巧3.2 Fermat定理, Rolle定理, Lagrange中值定理, Cauchy中值定理。3.3 Taylor公式及應(yīng)用3.4開(kāi)區(qū)間與閉區(qū)間上的最大最小值問(wèn)題 不等式證明技巧Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：1. 設(shè)方程 ，2. 討論取

17、何值時(shí),使得（1）方程有一個(gè)實(shí)根；（2）方程有二個(gè)不同實(shí)根；（3）方程有三個(gè)不同實(shí)根。2.設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且又， 證明存在使 .3.設(shè)在某內(nèi) ，且, 則在 內(nèi)(A)連續(xù)；(B)為增函數(shù); (C)為正定函數(shù)；(D)能取到正值；4.設(shè)，證明不等式 5.設(shè)滿足 ，且，證明當(dāng)時(shí)存在常數(shù)，使得 ，并指明的取值范圍。6.設(shè)在二階可導(dǎo)，對(duì)一切有，證明在內(nèi)曲線 上一點(diǎn)處的切線與該曲線除切點(diǎn)外無(wú)交點(diǎn)。7.設(shè)二階可導(dǎo)，,試問(wèn)與在內(nèi)有幾個(gè)無(wú)交點(diǎn)？ 證明你的結(jié)論。Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：8設(shè)在（-1,1）內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,試證:（

18、1）對(duì)(-1,1)內(nèi)的任一存在唯一的，使. （2） .9(1)設(shè) ,證明不等式 .(2)設(shè) ,證明不等式.(求最大最小值)10 設(shè)可導(dǎo)函數(shù) , 滿足條件：.證明函數(shù)在中有不動(dòng)點(diǎn),即存在, 使得;證明對(duì)任意給定的初值，由迭代公式：，所確定的點(diǎn)列收斂于的不動(dòng)點(diǎn)。11. 設(shè)，則 A(A) . (B) . (C) . (D) 12(1) 設(shè)，證明不等式 。(2)設(shè)，證明不等式。Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：13設(shè)在上二階可導(dǎo)，且證明存在，使得 .14. 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且其中為非負(fù)常數(shù),，證明 .15. 設(shè)在上連續(xù)，且 若，

19、證明 . 16. 設(shè)是周期為1 的周期函數(shù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 令，證明存在，使得。 17. 設(shè)證明 （1） （2） 18. 證明：當(dāng) 時(shí)成立不等式 19. 證明：當(dāng) 時(shí)成立不等式 20. 設(shè)函數(shù)由確定,求在處的切線方程與法線方程. Key: 切線, 法線 21. 設(shè) ，則. 22. 設(shè)在任意點(diǎn)滿足，若， 則.23設(shè)函數(shù) 由 確定，則， 24. 已知函數(shù)在上二階可導(dǎo)。 若線段與曲線交于點(diǎn)， 證明：存在，使得。 Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：第4講 原函數(shù)與不定積分 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 劉坤林 主講4.1 原函數(shù)關(guān)于原函數(shù)與

20、可積性的特別說(shuō)明4.2 不定積分計(jì)算技巧湊微分法，變數(shù)替換法，分部積分法，回歸法與遞推法，有理分式與三角有理分式的積分1. 求下列不定積分(1); (2)；(3)； (4)； (5)；(6)； Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(7)； (8);2. 求下列不定積分(1）； (2) ；(3); (4）；(5）；(6）；(7)； (8）； 或 (9) ; (10) ; (11) ; (12), 或3.（1）設(shè)，計(jì)算（2）設(shè)一個(gè)的原函數(shù)為，求4. 設(shè)在上可導(dǎo)，其反函數(shù)為，若，求。Key: 5. 設(shè), 求的表達(dá)式，并說(shuō)明是否的

21、原函數(shù)。Key: ,不是的原函數(shù)。事實(shí)上沒(méi)有原函數(shù)。6. 設(shè)，則的一個(gè)原函數(shù)為 B （A） （B）（C） （D）7. 設(shè)在上可積，則下列命題中不正確的是 D （A）函數(shù)在上連續(xù)；（B）的任意兩個(gè)原函數(shù)之差必為常數(shù)；（C）的任意兩個(gè)原函數(shù)之和必為的原函數(shù)；（D）若為的一個(gè)原函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，則必為的原函數(shù)。8. 已知,則 9. 設(shè)為的一個(gè)原函數(shù)，常數(shù)，則= A （A）。（B）。（C）。（D） 10. 設(shè)為已知單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，為的反函數(shù)， 則 C （A）。 （B）。 （C）。 （D）。 11設(shè)在上連續(xù)，記,試證（1）若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；（2）若單調(diào)不增，則單調(diào)不減。Amber demo清華大學(xué)

22、考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：1. B （A）;（B） ;（C） ;（D） 設(shè)， 則 B （A）;（B）;（C）1; （D）1 3. 設(shè)，且，則 A （A）2;（B）3;（C）4;（D）1 . 4. 設(shè)， 當(dāng)時(shí)，是的 C （A）高階無(wú)窮小。（B）低階無(wú)窮小。（C）同階但不等價(jià)的無(wú)窮小。（D）等價(jià)無(wú)窮小. 5. 已知連續(xù)曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則= D ; (B) ; (C) ;(D) 6. 求 （=） 7. 設(shè)連續(xù)，已知，且,求. Key:. 8. 已知上的連續(xù)曲線關(guān)于直線對(duì)稱, 證明 . 9. 設(shè)，則與的關(guān)系為 A （A）。（B）。（C）。（D）不確

23、定 . 10. D （A）;（B）0; （C）;（D） 11. 設(shè)，則極限 D （A） ;（B）;（C）0;（D）. Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：12. 設(shè)正定函數(shù)， 則在內(nèi)根的個(gè)數(shù)為 B （A）0;（B）1; （C）2;（D）3. 13.設(shè)，且單調(diào)減少，對(duì)任意記 ， ，則與的關(guān)系為 A （A）。（B）。（C）。（D）不確定. 14. 設(shè) ，且非負(fù)單調(diào)減少， 證明：. 15. 設(shè)，且對(duì)滿足的一切有， 則在上必有 B (2001-ex2) （A）恒為零 ; （B）恒為常數(shù); （C）恒為線性函數(shù); （D）恒為平均值為零

24、的周期函數(shù). 16. 設(shè)，且, ， 則由已知函數(shù)表出的 C （A）。（B）。（C）。 （D） Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：17. 設(shè)在上可導(dǎo)，其反函數(shù)為， 若，求. 18. 設(shè)， 求.( =3 ) 19. 設(shè)在區(qū)間內(nèi)恒有 , 記，則必有 B (A)； (B)； (C)；(D) 不確定； 20. 設(shè) ， 則 A (A)必為正的常數(shù).(B）必為負(fù)的常數(shù).(C)恒為零.（D）不為常數(shù)。 21.設(shè)為連續(xù)奇函數(shù)，且，則 0 . 22.設(shè)為連續(xù)奇函數(shù)，且 ,則 . 23. 設(shè)，求.（答案：） 24. (A) 。(B) 。(C)

25、 。(D) 。 25確定常數(shù)的值，使（）。 Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：第6講 定積分綜合問(wèn)題及應(yīng)用 要點(diǎn)與習(xí)題 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 劉坤林 主講 6.1定積分區(qū)間變換及其應(yīng)用 綜合問(wèn)題與技巧 6.2 定積分應(yīng)用問(wèn)題 幾何應(yīng)用 物理應(yīng)用 6.3 由定積分決定的函數(shù)性態(tài)研究， 變限積分與含參數(shù)積分綜合問(wèn)題 6.4 積分不等式與處理技巧 Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：第6講 定積分綜合問(wèn)題及應(yīng)用 要點(diǎn)與習(xí)題 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 劉坤林 主講

26、6.1定積分區(qū)間變換及其應(yīng)用 綜合問(wèn)題與技巧 6.2 定積分應(yīng)用問(wèn)題 幾何應(yīng)用 物理應(yīng)用 6.3 由定積分決定的函數(shù)性態(tài)研究， 變限積分與含參數(shù)積分綜合問(wèn)題 6.4 積分不等式與處理技巧 Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：1. 證明 =. 2. 設(shè)上連續(xù)，3. 且滿足 , 證明存在,使得. 4. 證明連續(xù)周期函數(shù)的原函數(shù)必為線性函數(shù)與周期函數(shù)之和. 5. (1) 設(shè)為正整數(shù)，6. 計(jì)算. (2) 計(jì)算. (3) 設(shè)為正整數(shù)，計(jì)算廣義積分. (4) 設(shè)為正整數(shù)，求積分. (5) 計(jì)算 . (6) 計(jì)算. Amber dem

27、o清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：7. 證明 . 8. , 且, 求,并討論的連續(xù)性. 7設(shè)在上可導(dǎo),記 為界定的面積， 為界定的面積， 證明對(duì)任意常數(shù)存在唯一的使得 。 Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：8設(shè)為上的連續(xù)非負(fù)單調(diào)增函數(shù),為 的形心.證明. 9. 設(shè)在上非負(fù),為 圍成區(qū)域之形心, 試證 . 10. 設(shè)為上的非負(fù)可積函數(shù),且滿足, 又設(shè)當(dāng)時(shí), .,記 (1) 求 ; (2) 若 , 求 ; (3) 若在上可積,在處連續(xù), 求 . Amber demo清華

28、大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：11. 設(shè)上連續(xù)，, 且 , ， 試證明: (1)在內(nèi)有零點(diǎn)； (2)若內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)亦有零點(diǎn)。 12. 設(shè)上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足 ,證明至少存在一點(diǎn)， 使得.(例10.1.8) 13. 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo), , 且滿足 (1) 求導(dǎo)數(shù) (2) 證明時(shí)成立不等式: . 14. 設(shè)滿足,求的極值及漸近線, 并作的圖形.(2000基礎(chǔ)摸) 15. 已知是上的連續(xù)偶函數(shù)，證明： 。 16. 設(shè)是上非負(fù)連續(xù)且單調(diào)減的函數(shù)。 ， 證明有極限。 Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講

29、并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：17. 設(shè)在上連續(xù)非負(fù)，且為單調(diào)增函數(shù),，區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的體積記為，試證二階可導(dǎo)，并求。18. 上給定，對(duì)任意的，記是由所圍成的面積，記是由所圍成的面積，問(wèn)取何值時(shí)，總面積取得最大最小值，說(shuō)明理由。19. 在曲線上點(diǎn) 處引該曲線的法線.由該法線,軸及該曲線的部分圍成區(qū)域?yàn)镈,求D繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的體積.20設(shè)曲線由及確定.則該曲線當(dāng) 時(shí) 的法線方程為。 21. 設(shè)在區(qū)間上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),記, 試證 。 22. 設(shè)連續(xù)，, （1）當(dāng)為正整數(shù)時(shí), 且時(shí),證明. （2）求. Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文

30、檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：九 一階與高階可降階常微分方程(一) 一個(gè)概念：微分方程的 “解”方程及其分類解：方程的階、線性非線性解：一般解、特解、定解條件、初值問(wèn)題(二) 三類方程: 按類求解；現(xiàn)察侍定函數(shù)或常數(shù)方法。一階方程:高階可降階方程:高階線性方程:線性方程解的結(jié)構(gòu)理論常系數(shù)線性方程的規(guī)察侍定法歐拉方程: 差分方程簡(jiǎn)介(三)幾類應(yīng)用問(wèn)題幾何問(wèn)題: 切線、法線，曲率，弧長(zhǎng)和面積物理力學(xué)問(wèn)題: 根據(jù)力學(xué)和物理定律,其他方面簡(jiǎn)單問(wèn)題。微分方程及解的概念判斷函數(shù) , , , 為任意常數(shù)，是否是方程: (a) ; (b) 之解？是否通解？求積分. ()方程, 是周期為的周期函數(shù),討論：此解是否一定是周

31、期函數(shù)？若是請(qǐng)證明,;若不一定是請(qǐng)舉反例, 并找出一定為周期解的條件；試討論這種方程解的特點(diǎn)。若函數(shù)滿足條件: , 欲使，其中是常數(shù)，試.*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：23. 設(shè)在區(qū)間()上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù), (1)寫出帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式; (1) 證明至少存在一點(diǎn) 使得. 24. 設(shè)均為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), ,并且滿足, 試證明在上成立不等式. 25. 設(shè)在某鄰域內(nèi)的連續(xù)函數(shù), 且當(dāng)時(shí)是的高階無(wú)窮小量, 則當(dāng)時(shí)是的 D （A）底階無(wú)窮小量；（B）高階無(wú)窮小量； （C）同階但不等價(jià)的無(wú)窮小量； （

32、D）等價(jià)無(wú)窮小量。(綜例10.2.16) 26設(shè)在上可導(dǎo)，且滿足， 證明存在一點(diǎn)使得。 Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：例題1（1）討論取何值時(shí), 廣義積分 收斂,key: 收斂（2）又取何值時(shí), 廣義積分 收斂. 收斂,key: 收斂提示：用極限比較法，時(shí)與比較。時(shí)用定義，（1）；（2）發(fā)散。2. 計(jì)算廣義積分3.4. 就參數(shù)的取值討論下列廣義積分的收斂性(1) . (2) .5. 計(jì)算廣義積分(1) (2) (3) (4) Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資

33、料本節(jié)課程內(nèi)容：例題1（1）討論取何值時(shí), 廣義積分 收斂,key: 收斂（2）又取何值時(shí), 廣義積分 收斂. 收斂,key: 收斂提示：用極限比較法，時(shí)與比較。時(shí)用定義，（1）；（2）發(fā)散。2. 計(jì)算廣義積分3.4. 就參數(shù)的取值討論下列廣義積分的收斂性(1) . (2) .5. 計(jì)算廣義積分(1) (2) (3) (4) Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：11設(shè)，收斂，則收斂性結(jié)論是（A）絕對(duì)收斂;（B）條件收斂;（C）發(fā)散;（D）不定12. (91) 己知級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)等于( C )(A）3; （B）7; （C）8;

34、 （D）9。13. 設(shè)，（1） 求； （2）證明，（2） ，（3） 級(jí)數(shù)收斂。14. 設(shè)且單調(diào)減，若級(jí)數(shù)發(fā)散，試問(wèn)是否收斂？證明結(jié)論。15. 設(shè)，,求.16. 設(shè)為上的連續(xù)周期函數(shù)，周期為1，且，在上連續(xù)可導(dǎo)，令，證明級(jí)數(shù)收斂。17. 設(shè)，其中，若，則使級(jí)數(shù)收斂的取值范圍是（A）;（B）;（C）;（D）Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：11設(shè)，收斂，則收斂性結(jié)論是（A）絕對(duì)收斂;（B）條件收斂;（C）發(fā)散;（D）不定12. (91) 己知級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)等于( C )(A）3; （B）7; （C）8; （D）9。13. 設(shè)，

35、（1） 求； （2）證明，（2） ，（3） 級(jí)數(shù)收斂。14. 設(shè)且單調(diào)減，若級(jí)數(shù)發(fā)散，試問(wèn)是否收斂？證明結(jié)論。15. 設(shè)，,求.16. 設(shè)為上的連續(xù)周期函數(shù)，周期為1，且，在上連續(xù)可導(dǎo)，令，證明級(jí)數(shù)收斂。17. 設(shè)，其中，若，則使級(jí)數(shù)收斂的取值范圍是（A）;（B）;（C）;（D）Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：第8講 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)綜合問(wèn)題與技巧8.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)基本問(wèn)題8.2 冪級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)8.3 級(jí)數(shù)的展開(kāi)與求和函數(shù)展開(kāi)與求和函數(shù)(A) 冪級(jí)數(shù)收斂及解析性的特點(diǎn)；(B) 冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)方法與依據(jù):八個(gè)基本初等

36、函數(shù)在原點(diǎn)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)：, ;, ;, 。, ;, ,特別是有常用公式(5-1) , , (5-2) , , (5-3) , , 8. 4傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)及發(fā)斂定理。函數(shù)富氏展開(kāi)的幾種提法：若是周期為的周期函數(shù)，則有系數(shù)公式, , 若先給出在區(qū)間上的表達(dá)式，要求: “將在區(qū)間上展成富氏級(jí)數(shù)”. 其意思是有一周期為的周期函數(shù)，它在區(qū)間上是，其他地方按周期延拓。因此，其富氏系數(shù)可用公式計(jì)算：, , 。給出在區(qū)間上的表達(dá)式，要求: “將展成正(余)弦級(jí)數(shù)”或“作奇(偶)延拓”； 其意思是有一周期為的奇(偶)函數(shù)，它在區(qū)間上是，其富氏系數(shù)公式計(jì)算：正弦級(jí)數(shù): , ； , 。余弦級(jí)數(shù): , ； , 。三角

37、級(jí)數(shù)逐點(diǎn)收斂定理：若周期為的可積期函數(shù)，其條件滿足以下之一者:在周期區(qū)間上逐段可微；在周期區(qū)間上逐段單調(diào)；則有: = 1. 若在處發(fā)散，而在點(diǎn)收斂，則的取值范圍是（A）;（B）;（C）;（D）2(88) 若級(jí)數(shù)，在處收斂，則此級(jí)數(shù)在處 ( B )(A)條件收斂； （B）絕對(duì)收斂； (C）發(fā)散； （D）斂散性不能確定。Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：3若 收斂半徑為，級(jí)數(shù) 的收斂半徑為，則必有(A) ；(B) ；(C) ；(D) 不能確定.4. (1) 級(jí)數(shù) 的和為 （ 3 ）(2) 的和為 （ 0 ）5求在處的冪級(jí)數(shù)展

38、開(kāi)式,指明收斂域.6設(shè),試將展成的冪級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)的和.(綜例13.7.5)7. 求的收斂域。8. 求的和。Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：9. 設(shè)函數(shù)，(1) 求 及的值；(2) 試證當(dāng) 取正整數(shù)時(shí)亦為正整數(shù).10 (93) 設(shè),的付里葉級(jí)數(shù)為, 則其中的系數(shù) 的值為 ().11(89) 設(shè),而, ,其中, 則等于等于( B ).(A）; （B）; （C）; （D）。12(99) 設(shè), ,其中, 則等于等于( C ).(A）; （B）; （C）; （D）。13. 設(shè)滿足，n為正整數(shù)，且，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。14將展為的

39、，指明收斂域。Key: .15將在處展開(kāi)。Key: ，.Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))九 一階與高階可降階常微分方程一階微分方程及其解法判斷下列一階方程的類型:, ( 可分離型 ), ( 可分離型, 明顯積分因子 ), (零齊方程)(可分離型, 一階線性, 明顯積分因子)(零齊方程, 一階線性, 明顯積分因子)(對(duì)x是一階線性, 明顯積分因子)( 零齊方程, 明顯積分因子)(零齊方程, 伯努利方程, 全微分方程), (型)*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤

40、光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))九 一階與高階可降階常微分方程解方程：. ()(93) 函數(shù)過(guò) ，且其切線斜率 為，則( =)(91) 連續(xù)函數(shù)滿足則是(B)(A) ; (B) ; (C) ; (D) .(92)的通解是 ( ).(93)求滿足之特解. ( )(88)求 的通解. ( 零齊; 伯努利; 全微分 )若，求一般解. ()若, 求一般解. ( 伯努利)若 求一般解 . ( 對(duì)線性,)若, 求一般解. (簡(jiǎn)單積分因子 )若, 求一般解. (積分因子、零齊、對(duì)x線性 )若, 求一般解. (佰努利、積分因子、置換: )綜合題：(99)今有 其中，試求上的連續(xù)函數(shù)解。( )(96)

41、設(shè)為連續(xù)函數(shù)求初值問(wèn)題 的解. 其中，；若(常數(shù))，證明當(dāng), 有 .(01)函數(shù)列, 滿足初值問(wèn)題：求： ()初值問(wèn)題 且, 其中為連續(xù)函數(shù), 證明：上述初值問(wèn)題之解, 有 。若方程中, 為常數(shù)，是周期為連續(xù)周期函數(shù),試證：存在唯一的周期為的特解。( )二階可降階方程 及其解法; ( 令, 其解為：( ); ( )(021,2) ,求( 或 ). ( 令 ), (), 求一般解。.*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))九 一階與高階可降階常微分方程解方程：. ()(93) 函數(shù)過(guò) ，且其切線斜率 為，則(

42、 =)(91) 連續(xù)函數(shù)滿足則是(B)(A) ; (B) ; (C) ; (D) .(92)的通解是 ( ).(93)求滿足之特解. ( )(88)求 的通解. ( 零齊; 伯努利; 全微分 )若，求一般解. ()若, 求一般解. ( 伯努利)若 求一般解 . ( 對(duì)線性,)若, 求一般解. (簡(jiǎn)單積分因子 )若, 求一般解. (積分因子、零齊、對(duì)x線性 )若, 求一般解. (佰努利、積分因子、置換: )綜合題：(99)今有 其中，試求上的連續(xù)函數(shù)解。( )(96)設(shè)為連續(xù)函數(shù)求初值問(wèn)題 的解. 其中，；若(常數(shù))，證明當(dāng), 有 .(01)函數(shù)列, 滿足初值問(wèn)題：求： ()初值問(wèn)題 且, 其中

43、為連續(xù)函數(shù), 證明：上述初值問(wèn)題之解, 有 。若方程中, 為常數(shù)，是周期為連續(xù)周期函數(shù),試證：存在唯一的周期為的特解。( )二階可降階方程 及其解法; ( 令, 其解為：( ); ( )(021,2) ,求( 或 ). ( 令 ), (), 求一般解。.*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十 高階線性方程一般理論及常系數(shù)線性方程(三) 高階線性微分方程及其解法階線性齊次方程方程：階線性非齊次方程方程：階線性常系數(shù)齊次方程方程：階線性常系數(shù)非齊次方程方程：線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論常系數(shù)線性齊次、非齊次方程

44、求解1. (89)和是連續(xù)函數(shù), 且線性無(wú)關(guān)的三個(gè)函數(shù)都是二階線性非齊次方程之解，和是任意常數(shù)，則其通解是: (D)(A) ; (B) ;(C) ; (D) 2. (01)設(shè), (為任意常數(shù)) ,為某二階常系數(shù)齊次微分方程的通解，則該方程為 ( )補(bǔ)充：求方程的一般解。()*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十 高階線性方程一般理論及常系數(shù)線性方程(三) 高階線性微分方程及其解法階線性齊次方程方程：階線性非齊次方程方程：階線性常系數(shù)齊次方程方程：階線性常系數(shù)非齊次方程方程：線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論常系數(shù)

45、線性齊次、非齊次方程求解1. (89)和是連續(xù)函數(shù), 且線性無(wú)關(guān)的三個(gè)函數(shù)都是二階線性非齊次方程之解，和是任意常數(shù)，則其通解是: (D)(A) ; (B) ;(C) ; (D) 2. (01)設(shè), (為任意常數(shù)) ,為某二階常系數(shù)齊次微分方程的通解，則該方程為 ( )補(bǔ)充：求方程的一般解。()*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十 高階線性方程一般理論及常系數(shù)線性方程3. (00)具有特解的三階線性常系數(shù)齊次方程是：( B ); (B)(C) ; (D)4. (93) 有一特解,求及通解。(, , )5

46、. (89)方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式( 為常數(shù))是 (B)(A); (B); (C); (D).7. (00)求的特解。 ()(96)求之通解. ()(90)求之通解. ( )(92)求之通解, ()(87)求之通解 ()(87)求之通解, ()(92)求之通解, ( )(88)求之通解 ()(88)函數(shù)滿足方程，, 在點(diǎn)處之切線與曲線 在該點(diǎn)切線重合，求 . ( )(91)求之通解 ()(90)求之通解 ()(99)求之通解 ()(87)求之通解. ()*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十 高階線性

47、方程一般理論及常系數(shù)線性方程綜合題6. (89)利用代換 將方程 化簡(jiǎn)，再求一般解。 ().21 (89)設(shè), 求。 ()23 (00)在可導(dǎo), 滿足：,求函數(shù) (2) 證明：.26 (01)若, ; 求 , ()25 (97)設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)，且滿足方程： 求. ()27. (022) 設(shè)滿足：，則當(dāng)時(shí)，求= (C).(A)不存在； (B)等于1; (C)等于2; (D)等于322. (84)設(shè)級(jí)數(shù). 求收斂域; 證明滿足方程; 求和函數(shù).(1), ; (2); (3).23. (021) (1) 驗(yàn)證級(jí)數(shù)滿足方程;(2) 利用上述結(jié)果求級(jí)數(shù)的和函數(shù).( )24.(00)在半空間, 對(duì)任何光滑

48、有向曲面, 有其中在一階連續(xù)可導(dǎo), 且求。 ()20. (94) ,且知 是全微分方程，求，并求方程通解。 ()*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十一、歐拉方程、線性差分方程及微分方程的應(yīng)用(四) 歐拉方程: 對(duì)一般齊次方程：令 得;單根：,重根：;復(fù)根：,1. Eurler 方程：求解 ()(五)線性微分方程組一般的二階方程為：, 利用消元法：化成二階方程:2, 求方程組之通解。 ()*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程

49、內(nèi)容：(續(xù))十一、歐拉方程、線性差分方程及微分方程的應(yīng)用(六). 線性差分方程求解問(wèn)題。一階線性差分方程: 。二階線性差分方程: 。解法1：一階線性差分方程的遞推求解：.解法2：二階線性齊次差分方程的特征根法求解：令形式解 ,代入方程得特征方程: , 根:(1) 為實(shí)根, 對(duì)應(yīng)有解： 和 ;(2) 為重根, 對(duì)應(yīng)有解： 和 ，或者(3) , ,對(duì)應(yīng)有解： 和.(4) 關(guān)于解的結(jié)構(gòu)理論與線性微分方程類似，由此得一般解: 例 題3. (98) 求差分方程的一般解。 ()4. 斐波拉契數(shù)( )5. 銀行實(shí)行貸款購(gòu)房業(yè)務(wù)，貸元，月利，個(gè)月本利還清，在這個(gè)月內(nèi)按復(fù)利計(jì)息，每月連本帶息還元。(1) 求的關(guān)系；(2) 記個(gè)月的平均利息，求.( )*end*Amber demo清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程微積分清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十一、歐拉方程、線性差分方程及微分方程的應(yīng)用(七) 微分方程應(yīng)用問(wèn)題兩類問(wèn)題：幾何方面的應(yīng)用, 物理、力學(xué)方面的應(yīng)用;兩種方法：一是規(guī)律“翻譯”; 二是微量平衡分析;做題的三步曲： 列方程 解方程 解的分析.在幾何方面的應(yīng)幾何量的分析表示：切線MT：方程;次切距,切線長(zhǎng),法線MN：方程;次法距, 法線長(zhǎng);孤微分與弧長(zhǎng): ; 曲率: (99) 函數(shù)二階可導(dǎo)，且, 過(guò)曲線上任一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線, 上述兩直線與軸所圍成