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1、等差數(shù)列一、知識(shí)歸納:1等差數(shù)列的定義用遞推公式表示為:或 ,其中為常數(shù),叫這個(gè)數(shù)列的公差。2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:, 3等差數(shù)列的分類:當(dāng)時(shí),是遞增數(shù)列;當(dāng)時(shí),是遞減數(shù)列;當(dāng)時(shí),是常數(shù)列。4等差中項(xiàng):如果在中間插入一個(gè)數(shù),使成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng),且5等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式:,或,此式還可變形為6等差數(shù)列的主要性質(zhì):(1)(2)若(),則(3)若,則(反之也成立)(其中)如:二、學(xué)習(xí)要點(diǎn):1學(xué)習(xí)等差數(shù)列要正確理解與運(yùn)用基本公式,要抓住首項(xiàng)與公差兩個(gè)基本量解決問題。注意:(1)證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法:(定義法)證明:常數(shù); (等差中項(xiàng)法)證明:(2)公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)是的一次
2、函數(shù),其中即為公差。(3)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)2解決等差數(shù)列問題應(yīng)注意性質(zhì)的靈活運(yùn)用。3巧設(shè)公差是解決問題的一種重要方法。 三數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為:或;三、例題分析:例1設(shè)是等差數(shù)列(1)若,則_.(2)若,且,則_.(3)若,則_.解:設(shè)是等差數(shù)列(1)_15_.(2)_27_.(3)_108_.(3)由及,得,則例2已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為,前項(xiàng)和為,且,(1)求及的值;(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng),證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求其前項(xiàng)和解:(1)設(shè)該等差數(shù)列為,則, 由已知有,得,公差則由,得,解得或(舍去)故,(2)由(1),則,故,即數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列例3
3、已知數(shù)列中,且 (1)求的通項(xiàng);(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和解:(1),是等差數(shù)列,設(shè)為的公差,則 故(2)由,得,則是首項(xiàng),公比的等比數(shù)列。故例4已知數(shù)列中,(n2,),數(shù)列,滿足 ()(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng),并說明理由;(3)求.解析:(1),而,是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列(2)依題意有,而, 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故中的最小值為-1,最大值為(3)等差數(shù)列練習(xí)題1等差數(shù)列中,已知,則( C ) A B C D2已知等差數(shù)列公差為2,若成等比數(shù)列,則( B )A B C D3等差數(shù)列中,則此數(shù)列前20項(xiàng)和為( B )A160 B180 C200 D2204設(shè)是等差
4、數(shù)列,且,是數(shù)列的前項(xiàng)和,則( B )A B C D解:,由,得,又則是遞增數(shù)列,故 選B5設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則的值為( A )A B C D解:6在等差數(shù)列中,前項(xiàng)和是 ,若,則( A )A40 B55C35D707等差數(shù)列的公差為1,且,則( D )A16 B33 C48 D66解:由可得8在等差數(shù)列中,則的值為( D )A6 B12 C24 D48解析由已知有,則9在等差數(shù)列中,則_10已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則_72_11已知等差數(shù)列中,求前n項(xiàng)和. 解:設(shè)的公差為,則 即 解得因此12設(shè)是公差()的等差數(shù)列,它的前10項(xiàng)和且成等比數(shù)列(1)證明:;(2)求公差的值和數(shù)列
5、的通項(xiàng)公式。解:(1)因成等比數(shù)列,故,又是等差數(shù)列,則 化簡(jiǎn)得,因,所以(2),又,且,則 故13已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)是正整數(shù),且,證明:.(1)解:設(shè)等差數(shù)列的公差是d,依題意得,解得數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)證明:, 14已知差數(shù)列中,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若從數(shù)列中依次取出第2,4,8,項(xiàng),按原來的順序排成一個(gè)新數(shù)列,試求的前n項(xiàng)和.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則,解得,所以(2)依題設(shè),則 15已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,公差,且 (1)求公差的值;(2)令,若數(shù)列也是等差數(shù)列,求非零常數(shù)的值;解:(1)等差數(shù)列中,又, 則或
6、因,所以,故,(2)由(1)知,則有,由于數(shù)列是等差數(shù)列所以,即解得或(舍去)則,易知是等差數(shù)列,故等差數(shù)列練習(xí)題1等差數(shù)列中,已知,則( ) A B C D2已知等差數(shù)列公差為2,若成等比數(shù)列,則( )A B C D3等差數(shù)列中,則此數(shù)列前20項(xiàng)和為( )A160 B180 C200 D2204設(shè)是等差數(shù)列,且,是數(shù)列的前項(xiàng)和,則( )A B C D5設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則的值為( )A B C D6在等差數(shù)列中,前項(xiàng)和是 ,若,則( )A40 B55C35D707等差數(shù)列的公差為1,且,則( )A16 B33 C48 D668在等差數(shù)列中,則的值為( )A6 B12 C24 D489在等差數(shù)列中,則_10已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則_11已知等差數(shù)列中,求前n項(xiàng)和. 12設(shè)是公差()的等差數(shù)列,它的前10項(xiàng)和且成等比數(shù)列(1)證明:;(2)求公差的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式。13已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)是正整數(shù),且,證明:.14已知差數(shù)列中,(1)求數(shù)
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