立體幾何平行證明題

1、立體證明題（2）1.如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE（1）求證：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的余弦值2.等腰ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，將EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱錐PABFE，且AP=BP=（1）求證：平面EFP平面ABFE；（2）求二面角BAPE的大小3.如圖，在四棱錐PABCD中，底面是正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)（） 求證：EF平面PAD；（） 求證：EF平面PDC4.如圖：正ABC與RtBCD所在平面互相垂直，且

2、BCD=90°，CBD=30°（1）求證：ABCD；（2）求二面角DABC的正切值5.如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是等邊三角形，四邊形ABCD是平行四邊形，ADC=120°，AB=2AD（1）求證：平面PAD平面PBD；（2）求二面角APBC的余弦值6.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中點(diǎn)（）求證：AB1平面A1CE；（）求直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值7.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，DAB為直角，ABCD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為

3、PC，CD的中點(diǎn)（）證明：AB平面BEF；（）若PA=，求二面角EBDC8.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PA=AB=AD=2，四邊形ABCD滿足ABAD，BCAD且BC=4，點(diǎn)M為PC中點(diǎn)（1）求證：DM平面PBC；（2）若點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得二面角PDEB的余弦值為？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由9.如圖，ABED是長(zhǎng)方形，平面ABED平面ABC，AB=AC=5，BC=BE=6，且M是BC的中點(diǎn)（） 求證：AM平面BEC；（） 求三棱錐BACE的體積；（）若點(diǎn)Q是線段AD上的一點(diǎn)，且平面QEC平面BEC，求線段AQ的長(zhǎng)10.如圖，直角梯形

4、ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB（1）求證：EA平面EBC（2）求二面角CBED的余弦值11.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ADC=90°，平面PAD底面ABCD，O為AD中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，AD=2BC（1）求證：平面POB平面PAD；12.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1平面ABC，ABC為等腰直角三角形，BAC=90°，且AB=AA1，E、F分別是CC1，BC的中點(diǎn)（1）求證：平面AB1F平面AEF；（2）求二面角B1AEF的余弦值13.如圖，在菱形AB

5、CD中，ABC=60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE平面ABCD，CFAE，AB=AE=2（ I）求證：BD平面ACFE；（ II）當(dāng)直線FO與平面BDE所成的角為45°時(shí)，求二面角BEFD的余弦角14.如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADEBCF和一個(gè)正四棱錐PABCD組合而成，ADAF，AE=AD=2（1）證明：平面PAD平面ABFE；（2）求正四棱錐PABCD的高h(yuǎn)，使得二面角CAFP的余弦值是15.如圖，已知斜三棱柱ABC一A1B1C1，BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，且BA1AC1（）求證：AC1平面A1BC；（

6、）求二面角AA1BC的平面角的余弦值試卷答案1.【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定【分析】（1）由已知中直二面角DABE中，四邊形ABCD是正方形，且BF平面ACE，我們可以證得BFAE，CBAE，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得AE平面BCE（2）連接BD與AC交于G，連接FG，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，由三垂線定理及二面角的平面角的定義，可得BGF是二面角BACE的平面角，解RtBFG即可得到答案【解答】證明：（1）BF平面ACEBFAE二面角DABE為直二面角，且CBAB，CB平面ABECBAEAE平面BCE解：（2）連接BD與AC交于G，連接FG，設(shè)正方形ABCD

7、的邊長(zhǎng)為2，BGAC，BG=，BF垂直于平面ACE，由三垂線定理逆定理得FGACBGF是二面角BACE的平面角由（1）AE平面BCE，得AEEB，AE=EB，BE=在RtBCE中，EC=，由等面積法求得，則在RtBFG中，故二面角BACE的余弦值為2.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定【分析】（1）用分析法找思路，用綜合法證明取EF中點(diǎn)O，連接OP、OC等腰三角形CEF中有COEF，即OPEF根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，平面PEF和平面ABFE的交線是EF，且POEF，分析得PO平面ABFE故只需根據(jù)題中條件證出PO平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理證得平面EFP平面ABF

8、E（2）根據(jù)第一問分析空間位置關(guān)系，可建立空間直角坐標(biāo)線求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角關(guān)系，確定二面角大小【解答】解：（1）證明：在ABC中，D為AB中點(diǎn)，O為EF中點(diǎn)由AC=BC=，AB=2E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，EF為中位線，得CO=OD=1，COEF四棱錐PABFE中，POEF，2分ODAB，AD=OD=1，AO=，又AP=，OP=1，四棱錐PABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OPAO，4分又AOEF=O，EF、AO平面ABFE，OP平面ABFE，5分又OP平面EFP，平面EFP平面ABFE 6分（2）由（1）知OD，OF，OP兩兩垂直，以O(shè)為

9、原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）：則A（1，1，0），B（1，1，0），E（0，0），P（0，0，1）7分，設(shè)，分別為平面AEP、平面ABP的一個(gè)法向量，則 取x=1，得y=2，z=1 9分同理可得，11分由于=0，所以二面角BAPE為90° 12分3.【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【專題】證明題【分析】對(duì)于（），要證EF平面PAD，只需證明EF平行于平面PAD內(nèi)的一條直線即可，而E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，所以連接AC，EF為中位線，從而得證；對(duì)于（）要證明EF平面PDC，由第一問的結(jié)論，EFPA，只需證PA平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PAPD，只需再證明P

10、ACD，而這需要再證明CD平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD底面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)可以證明，從而得證【解答】證明：（）連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，在CPA中，EFPA（3分）且PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD（6分）（）因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，又CDAD，所以CD平面PAD，CDPA（9分）又PA=PD=AD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD=，即PAPD（12分）而CDPD=D，PA平面PDC，又EFPA，所以EF平面PDC（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定及線面垂直的判定，而其中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用值得注意，將線面平行轉(zhuǎn)

11、化為線線平行；證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為線線垂直，在證明線線垂直時(shí)，往往還要通過線面垂直來進(jìn)行4.【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【分析】（1）利用平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，可得DC平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)，可得DCAB；（2）過C作CEAB于E，連接ED，可證CED是二面角DABC的平面角設(shè)CD=a，則BC=，從而EC=BCsin60°=，在RtDEC中，可求tanDEC【解答】（1）證明：DCBC，且平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，DC平面ABC，又AB平面ABC，DCAB（2）解：過C作CEAB于E，

12、連接ED，ABCD，ABEC，CDEC=C，AB平面ECD，又DE平面ECD，ABED，CED是二面角DABC的平面角，設(shè)CD=a，則BC=，ABC是正三角形，EC=BCsin60°=，在RtDEC中，tanDEC=5.【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定【分析】（1）令A(yù)D=1，求出BD=，從而ADBD，進(jìn)而BD平面PAD，由此能證明平面PAD平面PBD（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過D作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角APBC的余弦值【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，令A(yù)D=1，則BD=

13、，在ABD中，AD2+BD2=AB2，ADBD，又平面PAD平面ABCD，BD平面PAD，BD平面PBD，平面PAD平面PBD解：（2）由（1）得ADBD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過D作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)D=1，則A（1，0，0），B（0，0），C（1，0），P（，0，），=（1，0），=（），=（1，0，0），設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則，取y=1，得=（），設(shè)平面PBC的法向量=（a，b，c），取b=1，得=（0，1，2），cos=，由圖形知二面角APBC的平面角為鈍角，二面角APBC的余弦值為6.【考點(diǎn)】直線與平面垂直的

14、判定；直線與平面所成的角【分析】（）由ABCA1B1C1是直三棱柱，可知CC1AC，CC1BC，ACB=90°，ACBC建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz則A，B1，E，A1，可得，可知，根據(jù)，推斷出AB1CE，AB1CA1，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB1平面A1CE（）由（）知是平面A1CE的法向量，進(jìn)而利用向量數(shù)量積求得直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值【解答】（）證明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1AC，CC1BC，又ACB=90°，即ACBC如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系CxyzA（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），又因?yàn)椋?/p>

15、AB1CE，AB1CA1，AB1平面A1CE（）解：由（）知，是平面A1CE的法向量，|cos，|=設(shè)直線A1C1與平面A1CE所成的角為，則sin=|cos，|=所以直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值為7.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定【分析】（）只需證明ABBFABEF即可（）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CDB的法向量為，平面EDB的法向量為，設(shè)二面角EBDC的大小為，則=，【解答】解：（）證：由已知DFAB且DAB為直角，故ABFD是矩形，從而ABBF又PA底面ABCD，平面PAD平面ABCD，ABAD，故AB

16、平面PAD，ABPD，在PCD內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點(diǎn)，EFPD，ABEF由此得AB平面BEF（）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面CDB的法向量為，平面EDB的法向量為，則 可取設(shè)二面角EBDC的大小為，則=，所以，8.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定【分析】（1）取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN由三角形中位線定理可得四邊形ADMN為平行四邊形由APAD，ABAD，由線面垂直的判定可得AD平面PAB進(jìn)一步得到ANMN再由AP=AB，得ANPB，則AN平面PBC又ANDM，得DM平面PBC；（2）以A為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸的正方向

17、，方向?yàn)閥軸的正方向，方向?yàn)閦軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)E（2，t，0）（0t4），再求得P，D，B的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，求出平面PDE的法向量，再由題意得到平面DEB的一個(gè)法向量，由兩法向量夾角的余弦值得到實(shí)數(shù)的值【解答】（1）證明：如圖，取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，ANM是PC中點(diǎn)，MNBC，MN=BC=2又BCAD，AD=2，MNAD，MN=AD，四邊形ADMN為平行四邊形APAD，ABAD，APAB=A，AD平面PABAN平面PAB，ADAN，則ANMNAP=AB，ANPB，又MNPB=N，AN平面PBCANDM，DM平面PBC；（2）解：存在符合條件的以A為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸

18、的正方向，方向?yàn)閥軸的正方向，方向?yàn)閦軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)E（2，t，0）（0t4），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0），則，設(shè)平面PDE的法向量=（x，y，z），則，令y=2，則z=2，x=t2，取平面PDE的一個(gè)法向量為=（2t，2，2）又平面DEB即為xAy平面，故其一個(gè)法向量為=（0，0，1），cos=解得t=3或t=1，=3或9.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定【分析】（）推導(dǎo)出BEAM，BCAM，由此能證明AM平面BEC（）由VBACE=VEABC，能求出三棱錐BACE的體積（）在平面QEC內(nèi)作QNEC，QN交CE于點(diǎn)NQ

19、N與AM共面，設(shè)該平面為a，推導(dǎo)出四邊形AMNQ是平行四方形，由此能求出AQ【解答】證明：（）平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABC=AB，BEAB，BE平面ABED，BE平面ABC，又AM平面ABC，BEAM又AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，BCAM，又BCBE=B，BC平面BEC，BE平面BEC，AM平面BEC解：（）由（）知，BE平面ABC，h=BE=6在RtABM中，又，（）在平面QEC內(nèi)作QNEC，QN交CE于點(diǎn)N平面QEC平面BEC，平面QEC平面BECEC，QN平面BEC，又AM平面BECQNAMQN與AM共面，設(shè)該平面為a，ABED是長(zhǎng)方形，AQBE，又Q平面BEC，BE平

20、面BEC，AQ平面BEC，又AQ，平面BEC=MN，AQMN，又QNAM，四邊形AMNQ是平行四方形AQ=MNAQBE，AQMN，MNBE，又M是BC的中點(diǎn)，AQ=MN=310.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明EA平面EBC；（2）求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可【解答】（1）平面ABE平面ABCD，且ABBC，BC平面ABEEA平面ABE，EABC，EAEB，EBBC=B，EA平面EBC（2）取AB中O，連接EO，DOEB=EA，EOAB平面ABE平面ABCD，EO平面ABCDAB=2CD，ABCD，ABBC，DOAB，建

21、立如圖的空間直角坐標(biāo)系Oxyz如圖：設(shè)CD=1，則A（0，1，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），由（1）得平面EBC的法向量為=（0，1，1），設(shè)平面BED的法向量為=（x，y，z），則，即，設(shè)x=1，則y=1，z=1，則=（1，1，1），則|cos，|=，故二面角CBED的余弦值是11.【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定【分析】（1）證明四邊形BCDO是平行四邊形，得出OBAD；再證明BO平面PAD，從而證明平面POB平面PAD；（2）解法一：由，M為PC中點(diǎn)，證明N是AC的中點(diǎn)，MNPA，PA平面BMO解法二：由PA平面BMO，證

22、明N是AC的中點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，得【解答】解：（1）證明：ADBC，O為AD的中點(diǎn)，四邊形BCDO為平行四邊形，CDBO；又ADC=90°，AOB=90°，即OBAD；又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，BO平面PAD；又BO平面POB，平面POB平面PAD；（2）解法一：，即M為PC中點(diǎn)，以下證明：連結(jié)AC，交BO于N，連結(jié)MN，ADBC，O為AD中點(diǎn)，AD=2BC，N是AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，MNPA，PA平面BMO，MN平面BMO，PA平面BMO解法二：連接AC，交BO于N，連結(jié)MN，PA平面BMO，平面BMO平面PAC=MN，PAM

23、N；又ADBC，O為AD中點(diǎn)，AD=2BC，N是AC的中點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，則12.【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定【分析】（1）連結(jié)AF，由已知條件推導(dǎo)出面ABC面BB1C1C，從而AFB1F，由勾股定理得B1FEF由此能證明平面AB1F平面AEF（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B1AEF的余弦值【解答】（1）證明：連結(jié)AF，F(xiàn)是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點(diǎn)，AFBC又三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，面ABC面BB1C1C，AF面BB1C1C，AFB1F設(shè)AB=AA1=1，則，EF=，=，B1FEF又AF

24、EF=F，B1F平面AEF而B1F面AB1F，故：平面AB1F平面AEF（2）解：以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)AB=AA1=1，則F（0，0，0），A（），B1（0，1），E（0，）， =（，1）由（1）知，B1F平面AEF，取平面AEF的法向量：=（0，1）設(shè)平面B1AE的法向量為，由，取x=3，得設(shè)二面角B1AEF的大小為，則cos=|cos|=|=由圖可知為銳角，所求二面角B1AEF的余弦值為13.【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定【分析】（ I）只需證明DBAC，BDAE，即可得BD平面ACFE； （ II）取EF的中點(diǎn)為M

25、，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)M為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，D（0，0），F(xiàn)（1，0，h），E（1，0，2），則，利用向量法求解【解答】（ I）證明：在菱形ABCD中，可得DBAC，又因?yàn)锳E平面ABCD，BDAE，且AEAC=A，BD平面ACFE； （ II）解：取EF的中點(diǎn)為M，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)M為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，D（0，0），F(xiàn)（1，0，h），E（1，0，2），則，設(shè)平面BDE的法向量，由，可取，|cos|=，h=3，故F（1，0，3），設(shè)平面BFE的法向量為，由，可取，設(shè)平面DFE的法向量為，由，可取，cos=， 二面角BEFD的余弦值為14.【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定【分析】（）證明：AD平面ABFE，即可證明平面PAD平面ABFE；（）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關(guān)系即可求正四棱錐PABCD的高【解答】（）證明：直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，所以：ABAD，又ADAF，所以：AD平面ABFE，AD平面PAD，所以：