解三角形的知識(shí)點(diǎn)和題型匯總及練習(xí)

1、解三角形的知識(shí)點(diǎn)和題型匯總及練習(xí)一、知識(shí)必備：1直角三角形中各元素間的關(guān)系：在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：AB90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積

2、的兩倍a2b2c22bccosA； b2c2a22cacosB； c2a2b22abcosC。 3三角形的面積公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；4解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問(wèn)題叫做解三角形廣義地，這里所說(shuō)的元素還可以包括三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類(lèi)型：（1）兩類(lèi)正弦定理解三角形的問(wèn)題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角. 第2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（2）兩類(lèi)余弦定理解三

3、角形的問(wèn)題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.6求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：分析題意，弄清已知和所求；（2）建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出已知與所求，并畫(huà)出示意圖；（3）求解：正確運(yùn)用正、余弦定理求解；（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符

4、合實(shí)際意義。二、典例解析題型1：正、余弦定理例1（1）在中，已知，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形。題型2：三角形面積例2在中，求的值和的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值。 , +得。 得。從而。題型3：三角形中的三角恒等變換問(wèn)題例3在中，A、B、C所對(duì)的邊分別是、，已知，則( )A. B. C. D.題型4：正、余弦定理判斷三角形形狀例4在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosBsinC =sin（AB）

5、=sinAcosB+cosAsinBsin（AB）0，AB題型5：三角形中求值問(wèn)題例5的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當(dāng)sin = ，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。題型6：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例6如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰

6、角分別為，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30°, ADC=60°DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=180°60°60°=60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線(xiàn)，所以BD=BA，        在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。 三、思維總結(jié)1解斜三角形的常規(guī)

7、思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角學(xué)中的射影定理：在ABC 中，3兩內(nèi)角與其正弦值：在ABC 中，4解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作

8、圖來(lái)幫助理解”。三、課后訓(xùn)練1.若的三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足，則 （ ）（A）一定是銳角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形. (D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C為鈍角2.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，則A=( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，所以cosA=，所以A=3003.在中，a=15,b=10,A=60°，則=A B C D 【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理可得解得，又因?yàn)?，則，故B為銳角，所以，故D正確.4. 在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別

9、為，b，c，若，b=2，sinB+cosB=，則角A的大小為（ ）A B C D5. 在中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，若角2B=A+C，且=（ ）A BC D26. 在中，若，則是 （ ）A等邊三角形 B等腰三角形 C銳角三角形D直角三角形7. 在中, 已知?jiǎng)t ( ) A 2 B 3 C 4 D 58.若(a+b+c)(b+ca)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ABC是（ ） A直角三角形 B等邊三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形9、設(shè)A、B、C為三角形的三內(nèi)角,且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x +(sinCsinB)=0有等根，那么角B

10、（ ） AB>60° BB60° CB<60° DB 60°10、D,C,B三點(diǎn)在地面同一直線(xiàn)上,DC=a,從C,D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別是, (<),則A點(diǎn)離地面的高度AB等于（ ）ABA B D CC D 11.在中,分別是角的對(duì)邊,且,則角的大小為 12.A為ABC的一個(gè)內(nèi)角,且sinA+cosA=, 則ABC是_ _三角形.13、在ABC中，若SABC= (a2+b2c2),那么角C=_.14、在ABC中，a =5,b = 4,cos(AB)=,則cosC=_.15.在銳角中，則的值等于 ， 的取值范圍為 . 解析 設(shè)由正弦定理得

11、由銳角得，又，故，16、在ABC中,求分別滿(mǎn)足下列條件的三角形形狀： B=60°,b2=ac； b2tanA=a2tanB； sinC= (a2b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).分析：化簡(jiǎn)已知條件，找到邊角之間的關(guān)系，就可判斷三角形的形狀. 由余弦定理 ，. 由a=c及B=60°可知ABC為等邊三角形. 由A=B或A+B=90oABC為等腰或Rt. ，由正弦定理：再由余弦定理：.由條件變形為.ABC是等腰或Rt. 17.在中，角所對(duì)的邊分別為且滿(mǎn)足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角的大小解析：（I）由正弦定理得因?yàn)樗?（II）= 又，所以即時(shí) 取最大值2 綜上所述，的最大值為2，此時(shí)18.在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且 （）求的大小；（）求的最大值.解：（）由已知，根據(jù)正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120