武漢理工大學(xué)有限元理論基礎(chǔ)精品課件

1、有限元法基礎(chǔ)及有限元法基礎(chǔ)及ANSYS應(yīng)應(yīng)用用 Finite Element Analysis and ANSYS Application武漢理工汽車工程學(xué)院武漢理工汽車工程學(xué)院劉志恩劉志恩第二章第二章 彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識2-1 2-1 材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)與彈性力學(xué)2-2 2-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念2-3 2-3 位移及應(yīng)變，幾何方程，剛體位移位移及應(yīng)變，幾何方程，剛體位移2-4 2-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程2-5 2-5 虛功原理及虛功方程虛功原理及虛功方程2-6 2-6 兩種平面問題兩種平面問題2-1 2-1 材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)與彈性

2、力學(xué) 有限單元法有限單元法 本課程中所指的是有限單元法在彈性本課程中所指的是有限單元法在彈性力學(xué)問題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力學(xué)的力學(xué)問題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。本章將某些基本概念和基本方程。本章將簡單介紹簡單介紹這些概念和方程這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有限單元法，作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識。的預(yù)備知識。2-1 2-1 材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)與彈性力學(xué)彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 1、研究的內(nèi)容：研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別?；旧蠜]有什么區(qū)別。彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動，彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作

3、用下的平衡和運(yùn)動，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2、研究的對象：研究的對象：有相同也有區(qū)別。有相同也有區(qū)別。材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即，即長度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿長度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實(shí)狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個尺寸遠(yuǎn)大于第三個尺寸，或三個尺寸相體結(jié)構(gòu)，即兩個尺寸遠(yuǎn)大于第三個尺寸，或三個尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。當(dāng)?shù)臉?gòu)件。彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 3、研究的

4、方法：研究的方法：有較大的區(qū)別。有較大的區(qū)別。雖然都從雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但三方面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時，采用了不同的分析方法。是在建立這三方面條件時，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對構(gòu)件的整個截面來建立材料力學(xué)是對構(gòu)件的整個截面來建立這些條件的，因而這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近樣雖然大大簡化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對構(gòu)件的無限小單元體來建立

5、而彈性力學(xué)是對構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計(jì)材料力學(xué)解答所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。的精確程度，并確定它們的適用范圍。材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)x xq qy yxs圖 2-1ax xq qy yxs0 0圖 2-1b材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)x xq qy yxs圖 2-2aysx xq qy yys

6、圖 2-2bqy=sxsxsq圖 2-2c材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)圖 2-3a圖 2-3b彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)研究的對象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對象但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對象的

7、變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學(xué)運(yùn)算。為了簡化計(jì)算問題時，往往需要冗長的數(shù)學(xué)運(yùn)算。為了簡化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料算，便于數(shù)學(xué)處理，它保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定。性質(zhì)的假定。彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定(1) 物體是連續(xù)的，物體是連續(xù)的，即物體整個體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。(2) 物體是完全彈性的，物體是完全彈性的，即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能

8、夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。(3) 物體是均勻的，物體是均勻的，也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和泊松系數(shù))才不隨位置坐標(biāo)而變。(4) 物體是各向同性的，物體是各向同性的，也就是說物體內(nèi)每一點(diǎn)各個不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。 (5) 物體的變形是微小的，物體的變形是微小的，亦即當(dāng)物體受力以后，整個物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小當(dāng)物體受力以后，整個物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸于物體的原有尺寸，

9、因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。2-2 2-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念 作用于彈性體的外力作用于彈性體的外力(或稱荷載或稱荷載)可能有兩種：可能有兩種： 表面力表面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個成分，用記號qx,qy,qz 來表示,沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，?fù)向?yàn)樨?fù)。體力體力，是分布

10、于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個成分，用記號Px、Py、Pz表示，沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，?fù)向?yàn)樨?fù)。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。2-2 2-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念為了研究物體內(nèi)某點(diǎn)P的應(yīng)力，考慮一個彈性體內(nèi)微小的平行六面體PABC的受力情況，該微元體稱為體素。PA=dx,PB=dy,PC=dz正應(yīng)力正應(yīng)力s剪應(yīng)力剪應(yīng)力 Z Y X 圖 2-4每一個面上的應(yīng)力分每一個面上的應(yīng)力分解為一個正應(yīng)力和兩解為一個正應(yīng)力和兩個剪應(yīng)力，分別與三個剪應(yīng)力，分別與三個坐標(biāo)軸平行個坐標(biāo)軸平行2-2 2-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念為了表

11、明這個正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個角碼，例如，正應(yīng)力 是作用在垂直于x軸的面上同時也沿著X軸方向作用的。xs正應(yīng)力正應(yīng)力s加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標(biāo)軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力 是作用在垂直于X軸的面上而沿著y軸方向作用的。剪應(yīng)力剪應(yīng)力xy2-2 2-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念應(yīng)力的正負(fù)應(yīng)力的正負(fù)如果某一個面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，如果某一個面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。2-2 2-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概

12、念剪應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負(fù)號也相同大小相等，正負(fù)號也相同)。因此剪應(yīng)力記號的兩個角碼可以對調(diào)。因此剪應(yīng)力記號的兩個角碼可以對調(diào)。由力矩平衡得出22022yzzydydzdxdzdxdy=簡化得yzzy=(2-1) xyyxyzzyzxxz=，剪應(yīng)力互等平衡微分方程平衡微分方程當(dāng)物體在外力作用下保持靜止時，稱物體處于平衡狀態(tài)。彈性體中的應(yīng)力不是任意的，必須滿足靜力平衡條件。在單元體處于三維應(yīng)力作用下，根據(jù)微元體所受合力為零的條件，可以導(dǎo)出直角坐標(biāo)系中的

13、三維平衡方程式：000 xyxxzxyyxyzyzyzxzzxyyxxzzxyzzyPxyzPyxzPzyxsss=應(yīng)力分量應(yīng)力分量 可以證明：如果 這六個量在P點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，六個量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)力分量。 一般說來，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。六個應(yīng)力分量的總體，可以用一個列矩陣 來表示：zxyzxyzyxsss、 s (2-2) xyTzxyzxyyzzxxyyz

14、zxsssssss=2-3 2-3 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移位移 彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述：1、給出各點(diǎn)的位移各點(diǎn)的位移；2、給出各體素的變形各體素的變形。 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移位移，用此位移在x、y、z三個坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個投影稱為位移分量位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點(diǎn)的位移并不是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。應(yīng)應(yīng) 變變體素的變形可分為兩類：一是長度的變化，二是角度的變化。一是長度的變化，二是角度的變化。 任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為

15、任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應(yīng)變線應(yīng)變(或或稱正應(yīng)變稱正應(yīng)變)，用符號 來表示。沿坐標(biāo)軸的線應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用 來表示。當(dāng)線素伸長時，其線應(yīng)變?yōu)檎?。反之，線素縮短時，其線應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相對應(yīng)。 任意兩個原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化任意兩個原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱為值稱為角應(yīng)變或剪應(yīng)變角應(yīng)變或剪應(yīng)變，用符號 來表示。兩坐標(biāo)軸之間的角應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用 來表示。規(guī)定當(dāng)夾角變小時為正，變大時為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相對應(yīng)(正的 引起正的 ，等等)。xyz、 、xyyzzx、xyxyvudxdyA AB BC C

16、D Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系A(chǔ)點(diǎn)在點(diǎn)在X方向的位移分方向的位移分量為量為u；B點(diǎn)在點(diǎn)在X方向的位移：方向的位移：ABCD-ABCD求線素求線素ABAB、ADAD的正應(yīng)變的正應(yīng)變 ，用位移分量來表示：，用位移分量來表示：xy、uuuudxx=線素線素AB的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋?)xuudxuuxdxx=同理，同理，AD的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋?)yvvdyvvydyy=X向線素AB的轉(zhuǎn)角 ， Y向線素AD的轉(zhuǎn)角求剪應(yīng)變 ，也就是線素AB與AD之間的直角的改變線素AB的轉(zhuǎn)角為：xyA點(diǎn)在Y

17、方向的位移分量為v；B點(diǎn)在Y方向的位移分量：vvdxxB BtgA B = ()1vvvdxvxxuudxdxxx=vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 2-5X向線素AB的轉(zhuǎn)角 Y向線素AD的轉(zhuǎn)角求剪應(yīng)變 ，也就是線素AB與AD之間的直角的改變同理，Y向線素AD的轉(zhuǎn)角xy由于變形是微小的，所以上式可將比單位值小得多的 略去，得uxvx=uy=因此，剪應(yīng)變?yōu)椋簒yvuxy=vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 2-5以上是考察了體素在XOY一個平面

18、內(nèi)的變形情況，xyvuxy=xux=yvy=同樣方法來考察體素在XOZ和YOZ平面內(nèi)的變形情況，可得：zyzzxwvwwuzzyxz=，聯(lián)立得到幾何方程，表明應(yīng)變分量與位移分量應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系。 (2-3-1)xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz=，應(yīng)變分量矩陣應(yīng)變分量矩陣可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個垂直方彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個剪應(yīng)變，則該點(diǎn)任意方向向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個剪應(yīng)變，則該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出，當(dāng)然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六

19、個量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)變分量，它們就稱為該點(diǎn)的應(yīng)變分量應(yīng)變分量。六個應(yīng)變分量的總體，可以用一個列矩陣 來表示： 000000= B (2-3-2)000 xyzxyyzzxxyuzvyxwzyzx = 剛體位移剛體位移由幾何方程(2-3)可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時，應(yīng)變分量是完全確定的應(yīng)變分量是完全確定的。反過來，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時，位移分量卻不完全確定時，位移分量卻不完全確定；這是因?yàn)?，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點(diǎn)，試在(1-3)中命：有：積分后，得式中的 是積分常數(shù)0 xyzxyyzzx=000000

20、uvwuvvwwuxyzyzzxxy=，000 (2-4)yzzxxyuuzyvvxzwwyx=000 xyzuvw、 、積分常數(shù)的幾何意義積分常數(shù)的幾何意義000 (2-4)yzzxxyuuzyvvxzwwyx= 代表彈性體沿x方向的剛體移動。 及 分別代表彈性體沿y方向及Z方向的剛體移動。0u0v0w 代表彈性體繞Z軸的剛體轉(zhuǎn)動。同樣， 及 分別代表彈性體繞x軸及y軸的剛體位移。zxy為了完全確定彈性體的位移，必須有六個適當(dāng)?shù)募s束為了完全確定彈性體的位移，必須有六個適當(dāng)?shù)募s束條件來確定條件來確定 這個剛體位移。這個剛體位移。000 xyzuvw、 、r rx xy yozozx xy yP

21、 Pxzyzq圖 2-62-4 2-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程當(dāng)沿當(dāng)沿X軸方向的兩個對面受有均勻分布的軸方向的兩個對面受有均勻分布的正應(yīng)力時，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條正應(yīng)力時，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會引起角度的任何改變，件下，正應(yīng)力不會引起角度的任何改變，而其在而其在X方向的單位伸長則可表以方程方向的單位伸長則可表以方程式中式中E為彈性模量。為彈性模量。彈性體在彈性體在X方向的伸長還伴隨有側(cè)向收縮，方向的伸長還伴隨有側(cè)向收縮，即在即在y和和Z方向的單位縮短可表示為：方向的單位縮短可表示為：式中式中 為泊松系數(shù)。方程為泊松系數(shù)。方程(2-5)和和(2-6

22、)既可既可用于簡單拉伸，也可用于簡單壓縮，且在用于簡單拉伸，也可用于簡單壓縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情況下的彈性模量和彈性極限之內(nèi)，兩種情況下的彈性模量和泊松系數(shù)相同。泊松系數(shù)相同。 z zy yx x0 0 xsxsysyszszs圖 1-7應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系-虎克定律虎克定律 (2-5) xxEs=(2-6) xxyzEEss= = ，2-4 2-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量可用可用(2-5)和和(2-6)式求

23、得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引式求得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加，就得到合成應(yīng)變的分量。起的應(yīng)變分量疊加，就得到合成應(yīng)變的分量。單位伸長與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個物理常數(shù)單位伸長與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個物理常數(shù)E及及 所確定。兩個常所確定。兩個常數(shù)也可用來確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。數(shù)也可用來確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。z zy yx x0 0 xsxsysyszszs圖 1-7(2-7)1()1() 1()xxyzyyxzzzxyEEEs sss sss ss=2-4 2-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程如果彈性體的各面有剪應(yīng)

24、力作用，任何任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)，即：軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)，即：式中G稱為剪切模量，它與彈性模量E，泊松系數(shù) 存在右邊的關(guān)系：由三個正應(yīng)力分量與三個剪應(yīng)力分量引由三個正應(yīng)力分量與三個剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變，可用疊加法求得起的一般情形的應(yīng)變，可用疊加法求得式式(2-10)，稱為，稱為彈性方程或物理方程彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律?；⒖硕伞?(2-8)111 xyxyyzyzzxzxGGG=，(2-9) 2(1)EG=1()1()1()111xxyzyy

25、xzzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGGs sss sss ss=圖 2-42-4 2-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種形式。若將式形式。若將式(2-10)改寫成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的改寫成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的形式，并將式形式，并將式(2-9)代入，可得物理方程的第二種形式：代入，可得物理方程的第二種形式：(1)()(1)(12 )11(1)()(1)(12 ) 11(1)()(1)(12 ) 11 2(1)2(1)2(1)xxyzyxyzzxyzxyx

26、yyzyzzxzxEEEEEEsss= (2-11)式式(2-11)可用矩陣的形式表示如下：可用矩陣的形式表示如下：100011100011100011(1)1 2(1)(1 2 )000002(1)1 2000002(1)1 2000002(1)xxyyzzxyxyyzyzzxzxEsss=(2-12) 式式(1-12)可簡寫為：可簡寫為： (2-13) Ds=D稱為彈性矩陣，它完全決定于彈性常數(shù)稱為彈性矩陣，它完全決定于彈性常數(shù)E和和 111111(1) (2-14)1 2000(1)(1 2 )2(1)1 200002(1)1 2000002(1)ED=對稱2-5 2-5 虛功原理及虛功

27、方程虛功原理及虛功方程圖圖2-8a示一平衡的杠桿，對示一平衡的杠桿，對C點(diǎn)寫力點(diǎn)寫力矩平衡方程：矩平衡方程：圖圖2-8b表示杠桿繞支點(diǎn)表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動時的剛轉(zhuǎn)動時的剛體位移圖：體位移圖：綜合可得：綜合可得：即：即：式式(2-15)是以功的形式表述的。表明：是以功的形式表述的。表明：圖圖a的平衡力系在圖的平衡力系在圖b的位移上作功的位移上作功時，功的總和必須等于零。這就叫時，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。做虛功原理。BAba=ABBAPbPa=(2-15)0 AABBPP =ABPbPa=abACB(a)(b)BPAPcRBACBA B A圖 2-8虛功原理虛功原理 進(jìn)一步分析。當(dāng)杠

28、桿處于平衡狀態(tài)時， 和 這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足(2-15)式的關(guān)系。 將這個客觀存在的關(guān)系抽象成一個普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假由于是假想，故稱為虛位移想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。上的總功必定等于零。這就叫做這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。虛位移原理，也稱虛功原理。在圖

29、1-8a中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位?，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功。可見，這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。ABAPBP虛功原理虛功原理虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，力和位移并不是隨意的。力和位移并不是隨意的。對于力來講，對于力來講，必須是在位移過程中處于平衡的力系；必須是在位移過程中處于平衡的力系；對于位移來講對于位移來講，雖然是虛位移，也必須是和約束條件相符合的微小，雖然是虛位移，也必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移，并不是可以任意發(fā)生的。的剛體位移，并不是可以

30、任意發(fā)生的。 還要注意，還要注意，當(dāng)位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該當(dāng)位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。零。這時該約束力叫做這時該約束力叫做被動力被動力。(如圖中的反力如圖中的反力 ，由于支點(diǎn)，由于支點(diǎn)C沒有位移，故沒有位移，故 所作的虛功對于零所作的虛功對于零)。反之，如圖中的反之，如圖中的 和和 是在位移過程中作功的力，稱為是在位移過程中作功的力，稱為主主動力動力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動力，哪些是被動因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫

31、虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。作虛功的。cRcRAPBP虛功原理與虛功方程虛功原理與虛功方程虛功原理虛功原理表述如下：表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所有的主動力在位移上所作的總功有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代各力所作的功的代數(shù)和數(shù)和)恒對于零。恒對于零。虛功原理用公式表示為：虛功原理用公式表示為：這就是這就是虛功方程虛功方程，其中其中P和和 相應(yīng)的代表力和

32、虛位相應(yīng)的代表力和虛位移。移。(2-16)0 WP= =虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 虛功方程虛功方程(2-16)是按剛體的情況得出的，即假設(shè)杠桿是絕是按剛體的情況得出的，即假設(shè)杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，對剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時，總功將虛功原理用于彈性變形時，總功W要要包括外力功包括外力功(T)和和內(nèi)力功內(nèi)力功(U)兩部分，即：兩部分，即： W = T - - U ；內(nèi)力功；內(nèi)力功(- -U)前面有一前面有一負(fù)號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)

33、生負(fù)號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。負(fù)值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得：根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - - U = 0 外力虛功外力虛功 T = 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功移上的虛功(外力功外力功)等于整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛等于整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛

34、應(yīng)變上的虛功功(內(nèi)力功內(nèi)力功)。虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況i點(diǎn)外力分量點(diǎn)外力分量j點(diǎn)外力分量點(diǎn)外力分量外力分量用外力分量用 表示；引表示；引起的應(yīng)力分量用起的應(yīng)力分量用 表示表示iiiUVW、 、jjjUVW、 、 F s ixiyizjxyjyzjzxUVWFUVWssss=，y yz zx x0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj圖2-9虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況假設(shè)發(fā)生了虛位移假設(shè)發(fā)生了虛位移，虛位移分量為虛位移分量為用用 表示表示外力引起的虛位移分量外力引起的虛位移分量；內(nèi)力內(nèi)力引起的虛應(yīng)變分量用引起的虛應(yīng)變分量用 表

35、示表示*iiijjjuvwuvw、 、 、 、 * * *ixiyizjxyjyzjzxuvwuvw=，y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj圖2-9虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功是：在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功是：式中式中 是是 的轉(zhuǎn)置矩陣。的轉(zhuǎn)置矩陣。 同樣，在虛位移發(fā)生時，在彈性體單位體積內(nèi)，應(yīng)力在同樣，在虛位移發(fā)生時，在彈性體單位體積內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：虛應(yīng)變上的虛功是：因此，在整個彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：因此，在整個彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：根據(jù)虛功原理得

36、到：根據(jù)虛功原理得到： 這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應(yīng)變這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應(yīng)變表明外力與應(yīng)力之間的關(guān)系。表明外力與應(yīng)力之間的關(guān)系。 *Tiii iiijjjjjjU uVvWwU uV vW wF= *T * *Txxyyzzxyxyyzyzzxzxs s s s= *Tdxdydzs *(2-17) TTFdxdydzs=虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 應(yīng)該指出，在虛位移發(fā)生時，約束力應(yīng)該指出，在虛位移發(fā)生時，約束力(支支座反力座反力)是不做功的，因?yàn)榧s束力在其所約束是不做功的，因?yàn)榧s束力在其所約束的方向是沒有位移的。但是如果解除

37、了某一的方向是沒有位移的。但是如果解除了某一個約束，而代之以約束力，那么，在虛位移個約束，而代之以約束力，那么，在虛位移發(fā)生時，這個約束力就要在相應(yīng)的虛位移上發(fā)生時，這個約束力就要在相應(yīng)的虛位移上做虛功，而這個約束力的分量及其相應(yīng)的虛做虛功，而這個約束力的分量及其相應(yīng)的虛位移分量就應(yīng)當(dāng)作為列矩陣位移分量就應(yīng)當(dāng)作為列矩陣 及及 中的元中的元素進(jìn)入虛功方程素進(jìn)入虛功方程(2-17)。 * F2-6 2-6 兩種平面問題兩種平面問題彈性力學(xué)可分為彈性力學(xué)可分為空間問題空間問題和和平面問題平面問題，嚴(yán)格地說，嚴(yán)格地說，任何一個彈性體都是空間物體，一般的外力都是空任何一個彈性體都是空間物體，一般的外力都

38、是空間力系，因而任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須間力系，因而任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。和應(yīng)力分量即可。平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題厚度為厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不

39、沿厚度變化的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面且不沿厚度變化。的面力，同時，體力也平行于板面且不沿厚度變化。以薄板的中面為以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為面，以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個薄板內(nèi)各點(diǎn)均另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：有：于是，在六個應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于于是，在六個應(yīng)力分量中，只需要研究剩下

40、的平行于XOY平面的三個應(yīng)平面的三個應(yīng)力分量，即力分量，即 ，所以稱為平面應(yīng)力問題。，所以稱為平面應(yīng)力問題。xyxyyxss=、000zzxxzzyyzs=，222()0()0()0ztzxtzytzzzs=，x xy y0 0t/2t/2z zy y圖 2-10平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣(2-2)可以簡化為：可以簡化為： xyTzxyzxyyzzxxyyzzxsssssss= (2-18) xyxysss=平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題物理方程物理方程(2-10)中后兩式可見，這時的剪應(yīng)變：中后兩式可見，這時的剪應(yīng)變：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可見：中的第三式可見：一

41、般一般 ， 并不一定等于零，但可由并不一定等于零，但可由 及及 求得，在分析問題求得，在分析問題時不必考慮。于是只需要考慮時不必考慮。于是只需要考慮 三個應(yīng)變分量即可，于是應(yīng)變矩陣三個應(yīng)變分量即可，于是應(yīng)變矩陣(2-3-2)簡化為：簡化為：1()1()1()111xxyzyyxzzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGGs sss sss ss=00yzzx=，()zxyEss= 0zs=zxsysxyxy、 、 (2-19) xyxy=平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題物理方程物理方程(2-10)簡化為：簡化為：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：(2-20)11

42、 12(1)xxyyyxxyxyxyEEGEssss=222(2-21)1 112(1)12xxyyxyxyxyxyEEEEss=平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題將將(2-21)式用矩陣方程表示：式用矩陣方程表示：它仍然可以簡寫為：它仍然可以簡寫為：彈性矩陣彈性矩陣D則簡化為：則簡化為：2(2-22)1010 11002xxyyxyxyEss= Ds= 2)(2-231010 11002ED=平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題只有只有 三個應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程三個應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程(2-3)簡化為：簡化為： (2-3-1)xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz=， (2-2

43、4) xyxyuxvyuvyx=xyxy、 、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題彈性體的虛功方程彈性體的虛功方程(2-17)簡化為簡化為 *(2-17) TTFdxdydzs= *(2-25) TTFdxdyts=平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題一縱向一縱向(即即Z向向)很長，且沿橫截面不很長，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力，如圖沿長度變化的面力和體力，如圖1-11所示。所示。由于物體的縱向很長由于物體的縱向很長(在力學(xué)上可近在力學(xué)上可近似地作為無限長考慮似地作為無限長考慮)，截面尺寸與，截面尺寸與外力又不沿長度變化；當(dāng)以任一橫截外力又不沿長度

44、變化；當(dāng)以任一橫截面為面為xy面，任一縱線為面，任一縱線為Z軸時，則所軸時，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿量都不沿Z方向變化，它們都只是方向變化，它們都只是x和和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對稱由于對稱(任一橫截面都可以看作對任一橫截面都可以看作對稱面稱面)，所有各點(diǎn)都只會有，所有各點(diǎn)都只會有x和和y方向方向的位移而不會有的位移而不會有Z方向的位移，即方向的位移，即 w = 0因此，這種問題稱為平面位移問題，因此，這種問題稱為平面位移問題，但習(xí)慣上常稱為但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題。0 0y yx x圖

45、1-11平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題既然既然w = 0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函數(shù)，由幾何方程的函數(shù)，由幾何方程(2-3-1)可見可見 。于是只剩下三個應(yīng)變分量。于是只剩下三個應(yīng)變分量 ，幾何方程仍然簡化為方程幾何方程仍然簡化為方程(2-24)。 (2-3-1)xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz=， (2-24) xyxyuxvyuvyx=xyxy、 、0zyzzx=平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題因?yàn)橐驗(yàn)橛晌锢矸匠逃晌锢矸匠?1-11)中后兩式可見中后兩式可見又由物理方程又由物理方程(1-11)中的第三式可中的第三式可見：見：在平面應(yīng)變問題中，雖然在平面應(yīng)變問題中，

46、雖然 ，但但 一般并不等于零，不過它可以一般并不等于零，不過它可以由由 及及 求得，在分析問題時求得，在分析問題時不必考慮，于是也就只有三個應(yīng)力不必考慮，于是也就只有三個應(yīng)力分量分量 需要考慮。需要考慮。xsys00yzzx=，00yzzx=，()zxys ss=0z=zsxyxyss、(1)()(1)(1 2 )11(1)()(1)(1 2 ) 11(1)()(1)(1 2 ) 112(1)2(1)2(1)xxyzyxyzzxyzxyxyyzyzzxzxEEEEEEsss=平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題物理方程物理方程(2-11)簡化為：簡化為：(2-26)(1)()(1)(12 )1(1)() (1)(12 ) 1(1)122(1)(1)(12 )2(1)xxyyxyxyxyxyEEEEss=平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題將將(2-25)式用矩陣方程表