對于給定的一個函數(shù)

1、 對于給定的一個函數(shù)，我們?nèi)绾伪容^精確的對于給定的一個函數(shù)，我們?nèi)绾伪容^精確的作出它的圖形呢？具體來說，我們怎樣作出函數(shù)作出它的圖形呢？具體來說，我們怎樣作出函數(shù) 的圖形？的圖形？二、二、函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪第七節(jié)第七節(jié) 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪 32( )1f xxxx一、曲線的漸近線一、曲線的漸近線那么那么y = = C 就是就是 y = f( (x) )的一條水平漸近線的一條水平漸近線. . 定義定義 當(dāng)曲線當(dāng)曲線 y = f (x)上的一動點(diǎn)上的一動點(diǎn)M 沿著曲線移沿著曲線移向無窮遠(yuǎn)時向無窮遠(yuǎn)時, 點(diǎn)點(diǎn)M 到一定直線到一定直線L的距離趨向于零，那的距離趨向于零，那么直線么直

2、線 L 就稱為曲線就稱為曲線 y = f( (x) )的一條漸近線的一條漸近線.一、一、曲線的漸近線曲線的漸近線 2. 垂直漸近線垂直漸近線0lim( ),xxf x 如果 如果 那么那么x = x0 0 就是就是 y = f( (x) )的一條垂直漸近線的一條垂直漸近線. .1. .水平漸近線水平漸近線lim( ),xf xC 如果 如果 3. .斜漸近線斜漸近線 設(shè)設(shè) M (x, f(x)是曲線是曲線 y = f(x) 上的任一點(diǎn)，它到直上的任一點(diǎn)，它到直線線 y = ax+ +b (a 0)的距離為的距離為 2|( )|( ),1axbf xd xa lim ( )0,xd x 令令得得

3、lim( )0.xaxbf x因此，斜漸近線定義如下：因此，斜漸近線定義如下： 則直線則直線y = = ax+ +b 是曲線是曲線y = f(x) 的一條斜漸近線，此時的一條斜漸近線，此時lim ( )()0(0),xf xaxba若若( )limlim ( ).xxf xabf xaxx，( )lim 0,xf xbxaxx所以有所以有( )lim,xf xax 再將此結(jié)果代回再將此結(jié)果代回lim( )0 xaxbf x 之中，得之中，得lim ( ).xbf xax得得lim( )0,xaxbf x由由例例1 求下列函數(shù)曲線的漸近線：求下列函數(shù)曲線的漸近線：1(2) ;1yx解解 (1)1

4、1lim,1xx 直線直線 x =1是曲線的垂直漸近線是曲線的垂直漸近線.1lim0,1xx直線直線 y =0是曲線的水平漸近線是曲線的水平漸近線.22(1) ;xyx e2(3) .1xyxx22lim0,xxx e直線直線 y =0是曲線的水平漸近線是曲線的水平漸近線.(2)(3)21limlim(1)1,1xxyxx2lim()lim0,1xxxyxx y =x 是斜漸近線是斜漸近線.二、二、 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪 利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形的一般步驟：利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形的一般步驟： 第一步：確定函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性第一步：確定函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性以及間斷點(diǎn)和

5、不可導(dǎo)點(diǎn)；以及間斷點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)； 第二步：通過考察一階導(dǎo)數(shù)的符號確定升降區(qū)第二步：通過考察一階導(dǎo)數(shù)的符號確定升降區(qū)間以及極值；間以及極值； 第三步：通過考察二階導(dǎo)數(shù)的符號確定凹凸區(qū)第三步：通過考察二階導(dǎo)數(shù)的符號確定凹凸區(qū)間以及拐點(diǎn)；間以及拐點(diǎn)； 第四步：求曲線的漸近線；第四步：求曲線的漸近線； 第五步：求出重要點(diǎn)的坐標(biāo)第五步：求出重要點(diǎn)的坐標(biāo), 描點(diǎn)作圖形描點(diǎn)作圖形.例例2 2.1)(23的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxxf解解),(:D無奇偶性及周期性無奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn), 0)( xf令令

6、.31 x得特殊點(diǎn)得特殊點(diǎn):補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn)),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐點(diǎn)拐點(diǎn)極大值極大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 極小值極小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 0 例例3 描繪曲線描繪曲線 y = =xe-x.解解 函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無對稱性，且無對稱性，D: (- ，+ ),)1 (xexy , 1 x得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)

7、, 0lim xxxe,)2(xexy , 0 y令令. 2 x得得 y =0水平漸近線水平漸近線.x) 1 ,()2 , 1 (1), 2( y y 0y 2 拐點(diǎn)拐點(diǎn)極大極大列表確定函數(shù)的性態(tài)列表確定函數(shù)的性態(tài):0 ,11ey ）（極大極大),2, 2(2e拐點(diǎn)拐點(diǎn)取點(diǎn)取點(diǎn) (-1，-e)3,3(3e1 2e1xyo.) 1()(23的圖形的圖形 xxxf例例4 描繪描繪解解 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為D: (- ，-1) (-1，+ ),) 1()3()(32 xxxxf, 30 xx，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn), 0) 1(4)(4 xxxf令令，得得0 xx =-1=-1是垂直漸近線，是垂直漸近線，, 1) 1(lim)(lim23 xxxxxfxx, 2) 1() 1(lim)(lim223 xxxxxxxfxx故直線故直線y = =x -2 -2 為斜漸近