復(fù)系數(shù)和實系數(shù)多項式的因式分解(共3頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§8 復(fù)系數(shù)和實系數(shù)多項式的因式分解一、 復(fù)系數(shù)多項式因式分解定理1代數(shù)基本定理 每個次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中有一個根.利用根與一次因式的關(guān)系，代數(shù)基本定理可以等價地敘述為：每個次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上一定有一個一次因式.由此可知，在復(fù)數(shù)域上所有次數(shù)大于1的多項式都是可約的，不可約多項式只有一次多項式. 于是，因式分解定理在復(fù)數(shù)域上可以敘述成：2復(fù)系數(shù)多項式因式分解定理 每個次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.因此，復(fù)系數(shù)多項式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式其中是不同的復(fù)數(shù)，是正整數(shù).標(biāo)準(zhǔn)分解式說明：每個次復(fù)系數(shù)多項式恰有個復(fù)根（重根按重數(shù)

2、計算）. 3結(jié)論 ：設(shè) 是復(fù)數(shù)域上的兩個多項式，如果 的根都是 的根，則 例：若，則 4、次多項式的根與系數(shù)的關(guān)系.令 (1)是一個(>0)次多項式,那么在復(fù)數(shù)域中有個根因而在中完全分解為一次因式的乘積:展開這一等式右端的括號,合并同次項,然后比較所得出的系數(shù)與(1)式右端的系數(shù),得到根與系數(shù)的關(guān)系.其中第個等式的右端是一切可能的個根的乘積之和,乘以.若多項式的首項系數(shù)那么應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系時須先用除所有的系數(shù),這樣做多項式的根并無改變.這時根與系數(shù)的關(guān)系取以下形式:利用根與系數(shù)的關(guān)系容易求出有已知根的多項式.例1 求出有單根5與-2,有二重根3的四次多項式.二、實系數(shù)多項式因式分解定理對于實系數(shù)多項式有：如果是實系數(shù)多項式的復(fù)根，那么的共軛數(shù)也是的根,即實系數(shù)多項式的非實的復(fù)數(shù)根兩兩成對出現(xiàn)。實系數(shù)多項式因式分解定理 每個次數(shù)的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與含一對非實共軛復(fù)數(shù)根的二次因式的乘積.實數(shù)域上不可約多項式,除一次多項式外,只有含非實共軛復(fù)數(shù)根的二次多項式.因此，實系數(shù)多項式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式其中全是實數(shù)，,是正整數(shù)，并且是不可約的，適合條件.代數(shù)基本定理雖然肯定了次方程有個復(fù)根，但是并沒有給出根的一個具體的求法.高次方程求根的問題還遠遠沒有解決.特別是應(yīng)用方面，方程求根是一個重要的問題，這個問題是相當(dāng)復(fù)