復系數和實系數多項式的因式分解(共3頁)_第1頁
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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上§8 復系數和實系數多項式的因式分解一、 復系數多項式因式分解定理1代數基本定理 每個次數的復系數多項式在復數域中有一個根.利用根與一次因式的關系，代數基本定理可以等價地敘述為：每個次數的復系數多項式在復數域上一定有一個一次因式.由此可知，在復數域上所有次數大于1的多項式都是可約的，不可約多項式只有一次多項式. 于是，因式分解定理在復數域上可以敘述成：2復系數多項式因式分解定理 每個次數的復系數多項式在復數域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.因此，復系數多項式具有標準分解式其中是不同的復數，是正整數.標準分解式說明：每個次復系數多項式恰有個復根（重根按重數

2、計算）. 3結論 ：設 是復數域上的兩個多項式，如果 的根都是 的根，則 例：若，則 4、次多項式的根與系數的關系.令 (1)是一個(>0)次多項式,那么在復數域中有個根因而在中完全分解為一次因式的乘積:展開這一等式右端的括號,合并同次項,然后比較所得出的系數與(1)式右端的系數,得到根與系數的關系.其中第個等式的右端是一切可能的個根的乘積之和,乘以.若多項式的首項系數那么應用根與系數的關系時須先用除所有的系數,這樣做多項式的根并無改變.這時根與系數的關系取以下形式:利用根與系數的關系容易求出有已知根的多項式.例1 求出有單根5與-2,有二重根3的四次多項式.二、實系數多項式因式分解定理對于實系數多項式有：如果是實系數多項式的復根，那么的共軛數也是的根,即實系數多項式的非實的復數根兩兩成對出現。實系數多項式因式分解定理 每個次數的實系數多項式在實數域上都可以唯一地分解成一次因式與含一對非實共軛復數根的二次因式的乘積.實數域上不可約多項式,除一次多項式外,只有含非實共軛復數根的二次多項式.因此，實系數多項式具有標準分解式其中全是實數，,是正整數，并且是不可約的，適合條件.代數基本定理雖然肯定了次方程有個復根，但是并沒有給出根的一個具體的求法.高次方程求根的問題還遠遠沒有解決.特別是應用方面，方程求根是一個重要的問題，這個問題是相當復

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