點(diǎn)和直線的有關(guān)對稱問題(共3頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 點(diǎn)和直線的有關(guān)對稱問題摘要：對稱問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要知識點(diǎn),也是近幾年高考中的熱點(diǎn),主要有點(diǎn)、直線、曲線關(guān)于點(diǎn)和直線對稱兩種。中點(diǎn)坐標(biāo)公式或兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具。解析幾何中的中心對稱和軸對稱問題最終都可以歸結(jié)為關(guān)于點(diǎn)的對稱問題加以解決。 關(guān)鍵詞:點(diǎn)；直線；中心對稱；軸對稱 對稱思想是近幾年高考中的熱點(diǎn),它主要分為中心對稱和軸對稱兩種,解對稱問題要把握對稱的實(shí)質(zhì),掌握其解題方法,提高解題的準(zhǔn)確性和解題的速度,它主要有以下幾種情況: (一)中心對稱 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱 直線關(guān)于點(diǎn)對稱 例1:求直線 x+y-2=0 關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對稱的直線方程.

2、分析一:在已知直線上z任取兩點(diǎn)A、B,再分別求出A、B關(guān)于P點(diǎn)的對稱點(diǎn)A、B,然后由兩點(diǎn)式可得所求直線方程. 解:在直線x+y-2=0上取兩點(diǎn)A(0,2)、B(1,1),則它們關(guān)于P(a,b)對稱的點(diǎn)分別為 A(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由兩點(diǎn)式得所求直線為: 分析二:中心對稱的兩條直線是互相平行的,并且這兩條直線與對稱中心的距離相等. 解:設(shè)所求直線方程為x+y+=0,則 點(diǎn)評:方法三為相關(guān)點(diǎn)法,是求曲線方程的一種常用方法,可進(jìn)一步推廣:曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對稱的曲線C的方程為f(2a-x,2b-y)=0.特別的, 曲線f(x,y)=0關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲

3、線方程為: f(-x,-y)=0. (二)軸對稱 點(diǎn)關(guān)于直線對稱 例2:M(-1,3)關(guān)于直線:x+y-1=0的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo). 解二:過點(diǎn)M(-1,3)與直線l 垂直的直線的斜率k=1,則直線方程為x-y+4=0. 設(shè)M關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)為M,則E為線段MM的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知:M的坐標(biāo)為(-2,2) 解三:設(shè)M(a,b), 線段MM的垂直平分線上的任意一點(diǎn)為A(x,y). MA=MA , (x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 這就是已知直線 l的方程 故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,2) 直線關(guān)于直線對稱 例3:求直線a:2x+y-4=0關(guān)于直線l :3x+4y-1=0對稱的

4、直線b的方程. 求直線 l1:2x-y+3=0關(guān)于直線l :2x-y+4=0對稱的直線l2 的方程. 分析:由平面幾何知識知,若a、b關(guān)于直線 l對稱,則應(yīng)具有以下性質(zhì):當(dāng)a、b相交時,則對稱軸是a、b交角的平分線(且通過交點(diǎn)); 當(dāng)a、b平行時,則a、b與對稱軸的距離相等. 若點(diǎn)A在直線a上,則點(diǎn)A關(guān)于直線 l的對稱點(diǎn)B一定在直線b上,并且ABl ;AB的中點(diǎn)在l 上. 解一:由 2x+y-4=03x+4y-1=0得a與l的交點(diǎn)為（,） 則E(3,-2)一定在b上,設(shè)b的斜率為k,于是 (三)特殊的對稱關(guān)系 點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(a,-b)； 點(diǎn)(a,b)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(-a,b)；點(diǎn)(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(-a,-b)；點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為(b,a)；點(diǎn)(a,