新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教A版優(yōu)秀教案必修4：2.示范教案（1.1.2弧度制）

1、1.1.2 弧度制整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 在物理學(xué)和日常生活中,一個(gè)量常常需要用不同的方法進(jìn)行度量,不同的度量方法可以滿足我們不同的需要.現(xiàn)實(shí)生活中有許多計(jì)量單位,如度量長(zhǎng)度可以用米、厘米、尺、碼等不同的單位制,度量重量可以用千克、斤、噸、磅等不同的單位制,度量角的大小可以用度為單位進(jìn)行度量,并且一度的角等于周角的,記作1°. 通過類比引出弧度制,給出1弧度的定義,然后通過探究得到弧度數(shù)的絕對(duì)值公式,并得出角度和弧度的換算方法.在此基礎(chǔ)上,通過具體的例子,鞏固所學(xué)概念和公式,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)引入弧度制的必要性.這樣可以盡量自然地引入弧度制,并讓學(xué)生在探究過程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合

2、與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng),為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ). 通過探究討論,關(guān)鍵弄清1弧度角的定義,使學(xué)生建立弧度的概念,理解弧度制的定義,達(dá)到突破難點(diǎn)之目的.通過電教手段的直觀性,使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性.通過周角的兩種單位制的度量,得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者雖單位不同,但卻是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解,滲透數(shù)學(xué)中普遍存在、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn).三維目標(biāo) 1.通過類比長(zhǎng)度、重量的不同度量制,使學(xué)生體會(huì)一個(gè)量可以用不同的單位制來度量,從而引出弧度制. 2.通過探究使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制和弧度制都是度量

3、角的制度,通過總結(jié)引入弧度制的好處,學(xué)會(huì)歸納整理并認(rèn)識(shí)到任何新知識(shí)的學(xué)習(xí),都會(huì)為解決實(shí)際問題帶來方便,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):理解弧度制的意義,并能進(jìn)行角度和弧度的換算. 教學(xué)難點(diǎn):弧度的概念及其與角度的關(guān)系.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課 思路1.(類比導(dǎo)入)測(cè)量人的身高常用米、厘米為單位進(jìn)行度量,這兩種度量單位是怎樣換算的?家庭購買水果常用千克、斤為單位進(jìn)行度量,這兩種度量單位是怎樣換算的?度量角的大小除了以度為單位度量外,還可采用哪種度量角的單位制?它們是怎樣換算的? 思路2.(情境導(dǎo)入)利用古代度量時(shí)間的一種儀器日晷,或者利用普遍使用的鐘表.實(shí)際上我們使用的鐘表是用

4、時(shí)針、分針和秒針角度的變化來確定時(shí)間的.無論采用哪一種方法,度量一個(gè)確定的量所得到的量數(shù)必須是唯一確定的.在初中,已學(xué)過利用角度來度量角的大小,現(xiàn)在來學(xué)習(xí)角的另一種度量方法弧度制.要使學(xué)生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含義,并能進(jìn)行弧度與角度換算的關(guān)鍵. 在引入弧度制后,可以引導(dǎo)學(xué)生建立弧與圓心角的聯(lián)系弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù).隨著角的概念的推廣,圓心角和弧的概念也隨之推廣:從“形”上說,圓心角有正角、零角、負(fù)角,相應(yīng)的,弧也就有正弧、零弧、負(fù)弧;從“數(shù)”上講,圓心角與弧的度數(shù)有正數(shù)、負(fù)數(shù).圓心角和弧的正負(fù)實(shí)際上表示了“角的不同方向”,就像三角函數(shù)值的正負(fù)可以用三角函數(shù)線(有向線段)的方向

5、來表示一樣.每一個(gè)圓心角都有一條弧與它對(duì)應(yīng),并且不同的圓心角對(duì)應(yīng)著不同的弧,反之亦然.推進(jìn)新課新知探究提出問題 問題:在初中幾何里,我們學(xué)習(xí)過角的度量,1°的角是怎樣定義的呢? 問題:我們從度量長(zhǎng)度和重量上知道,不同的單位制能給我們解決問題帶來方便.那么角的度量是否也能用不同單位制呢?圖1 活動(dòng):教師先讓學(xué)生思考或討論問題,并讓學(xué)生回憶初中有關(guān)角度的知識(shí),提出這是認(rèn)識(shí)弧度制的關(guān)鍵,為更好地理解角度弧度的關(guān)系奠定基礎(chǔ).討論后教師提問學(xué)生,并對(duì)回答好的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的關(guān)鍵.教師板書弧度制的定義:規(guī)定長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.以弧度為

6、單位來度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度記作1 rad.如圖1中,的長(zhǎng)等于半徑r,AB所對(duì)的圓心角AOB就是1弧度的角,即=1.討論結(jié)果:1°的角可以理解為將圓周角分成360等份,每一等份的弧所對(duì)的圓心角就是1°.它是一個(gè)定值,與所取圓的半徑大小無關(guān).能,用弧度制.提出問題 問題:作半徑不等的甲、乙兩圓,在每個(gè)圓上作出等于其半徑的弧長(zhǎng),連結(jié)圓心與弧的兩個(gè)端點(diǎn),得到兩個(gè)角,將乙圖移到甲圖上,兩個(gè)角有什么樣的關(guān)系? 問題:如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是l,那么的弧度數(shù)是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們之間如何換算? 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和

7、歸納角度制和弧度制的關(guān)系,提問學(xué)生歸納的情況,讓學(xué)生找出區(qū)別和聯(lián)系.教師給予補(bǔ)充和提示,對(duì)表現(xiàn)好的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示和鼓勵(lì).引入弧度之后,應(yīng)與角度進(jìn)行對(duì)比,使學(xué)生明確:第一,弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制,角度制是以“度”為單位來度量角的單位制;第二,1弧度是等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角(或這條弧)的大小,而1°的角是周角的;第三,無論是以“弧度”還是以“度”為單位,角的大小都是一個(gè)與半徑大小無關(guān)的定值.教師要強(qiáng)調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣使用弧度制,本教科書在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制.討論結(jié)果:完全重合,因?yàn)槎际?弧度的角.=;將角度化為弧度:360°=2

8、 rad,1°=rad0.017 45 rad,將弧度化為角度:2 rad=360°,1 rad=()°57.30°=57°18.弧度制與角度制的換算公式:設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為 rad=()°,n°=n(rad).提出問題 問題:引入弧度之后,在平面直角坐標(biāo)系中,終邊相同的角應(yīng)該怎么用弧度來表示?扇形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示? 問題:填寫下列的表格,找出某種規(guī)律.的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向AOB的弧度數(shù)AOB的度數(shù)r逆時(shí)針方向2r逆時(shí)針方向R12r-2-0180°360° 活動(dòng):教師先給學(xué)生說明教科書上為什么

9、設(shè)置這個(gè)“探究”?其意圖是先根據(jù)所給圖象對(duì)一些特殊角填表,然后概括出一般情況.教師讓學(xué)生互動(dòng)起來,討論并總結(jié)出規(guī)律,提問學(xué)生的總結(jié)情況,讓學(xué)生板書,教師對(duì)做正確的學(xué)生給予表揚(yáng),對(duì)沒有總結(jié)完全的學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的提示.檢查完畢后,教師做個(gè)總結(jié). 由上表可知,如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是l,那么的弧度數(shù)的絕對(duì)值是這里,應(yīng)當(dāng)注意從數(shù)學(xué)思想的高度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“換算”問題,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們一定可以換算.推而廣之,同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí),它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系,認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系性也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一. 教師給學(xué)生指出,角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R

10、之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng);反過來,每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).值得注意的是:今后在表示與角終邊相同的角時(shí),有弧度制與角度制兩種單位制,要根據(jù)角的單位來決定另一項(xiàng)的單位,即兩項(xiàng)所用的單位制必須一致,絕對(duì)不能出現(xiàn)k·360°+或者2k+60°一類的寫法.在弧度制中,與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以寫成=+2k(kZ)的形式.如圖2為角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖2討論結(jié)果:與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以寫成=+2k(kZ)的形式.弧度制下關(guān)于扇形的公式為l=R,

11、S=R2,S=lR.的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向AOB的弧度數(shù)AOB的度數(shù)r逆時(shí)針方向180°2r逆時(shí)針方向2360°R逆時(shí)針方向157.3°2r順時(shí)針方向-2-114.6°r順時(shí)針方向-180°0未旋轉(zhuǎn)00°r逆時(shí)針方向180°2r逆時(shí)針方向2360°應(yīng)用示例例1 下列諸命題中,真命題是( )A.一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧B.一弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,它是角的一種度量單位 活動(dòng):本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下理解弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別,以達(dá)到熟

12、練掌握定義.從實(shí)際教學(xué)上看,弧度制不難理解,學(xué)生結(jié)合角度制很容易記住.根據(jù)弧度制的定義:我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧和所對(duì)的圓心角叫做一弧度的角.對(duì)照各項(xiàng),可知D為真命題.答案:D點(diǎn)評(píng):本題考查弧度制下角的度量單位:1弧度的概念.變式訓(xùn)練 下列四個(gè)命題中,不正確的一個(gè)是( ) A.半圓所對(duì)的圓心角是 rad B.周角的大小是2 C.1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑 D.長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度答案:D例2 將下列用弧度制表示的角化為2k+(kZ,0,2)的形式,并指出它們所在的象限:-;-20;-. 活動(dòng):本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角,教師給予指導(dǎo)并討論歸納出一

13、般規(guī)律.即終邊在x軸、y軸上的角的集合分別是:=k,kZ,=k,kZ.第一、二、三、四象限角的集合分別為:2k<<2k+,kZ,2k+<<2k+,kZ,2k+<<2k+,kZ,2k+<<2k+2,kZ.解:=-4+,是第一象限角.=10+,是第二象限角.-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.-23-3.464,是第二象限角. 點(diǎn)評(píng):在這類題中對(duì)于含有的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為2k+(kZ,0,2)的形式,再根據(jù)角終邊所在的位置進(jìn)行判斷,對(duì)于不含有的弧度數(shù)表示的角,取=3.14,化為k×6.28+,kZ,0,6.

14、28)的形式,通過與,比較大小,估計(jì)出角所在的象限.變式訓(xùn)練 (1)把-1 480°寫成2k+(kZ,0,2)的形式; (2)若-4,0),且與(1)中終邊相同,求.解:(1)-1 480°=-=-10+,0 <2,-1 480°=2(-5)+. (2)與終邊相同,=2k+,kZ. 又-4,0),1=,2=.例3 已知0<<2,且與7相同,求. 活動(dòng):本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下會(huì)用弧度制求終邊相同的角,并通過獨(dú)立完成課后練習(xí)真正領(lǐng)悟弧度制的要領(lǐng),最終達(dá)到熟練掌握.從實(shí)際教學(xué)來看,用弧度制解決角的問題要很容易卻難掌握,很有可能記錯(cuò)或者混淆或者化

15、簡(jiǎn)錯(cuò)誤,學(xué)生需多做些這方面的題來練基本功.可先讓學(xué)生多做相應(yīng)的隨堂練習(xí),在黑板上當(dāng)場(chǎng)演練,教師給予批改指導(dǎo),對(duì)易出錯(cuò)的地方特別強(qiáng)調(diào).對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的種種失誤,教師不要著急,在學(xué)生的練習(xí)操作中一一糾正,這對(duì)以后學(xué)習(xí)大有好處.解:由已知,得7=2k+,kZ,即6=2k.=.又0<<2,0<<2.kZ,當(dāng)k=1、2、3、4、5時(shí),=、. 點(diǎn)評(píng):本題是在一定的約束條件下,求與角終邊相同的角,一般地,首先將這樣的角表示為2k+(kZ,0,2)的形式,然后在約束條件下確定k的值,進(jìn)而求適合條件的角.例4 已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為a,求當(dāng)扇形的圓心角多大時(shí),扇形的面積最大,并求這個(gè)最大值.

16、活動(dòng):這是一道應(yīng)用題,并且考查了函數(shù)思想,教師提示學(xué)生回顧一下用函數(shù)法求最值的思路與步驟,教師提問學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握和鞏固,并對(duì)回答好的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),對(duì)回答不全面的學(xué)生給予一定的提示和鼓勵(lì).教師補(bǔ)充,函數(shù)法求最值所包括的五個(gè)基本環(huán)節(jié):(1)選取自變量;(2)建立目標(biāo)函數(shù);(3)指出函數(shù)的定義域;(4)求函數(shù)的最值;(5)作出相應(yīng)結(jié)論.其中自變量的選取不唯一,建立目標(biāo)函數(shù)結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行,函數(shù)定義域要根據(jù)題意確定,有些函數(shù)是結(jié)構(gòu)確定求最值的方法,并確保在定義域內(nèi)能取到最值.解:設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,半徑為r,圓心角為,面積為S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.S=l·r=(a-2r

17、)·r=-r2+r=-(r-)2+.r>0,l=a-2r>0,0<r<.當(dāng)r=時(shí),Smax=.此時(shí),l=a-2·=,=2.故當(dāng)扇形的圓心角為2 rad時(shí),扇形的面積取最大值. 點(diǎn)評(píng):這是一個(gè)最大值問題,可用函數(shù)法求解,即將扇形的面積S表示成某個(gè)變量的函數(shù),然后求這個(gè)函數(shù)的最大值及相應(yīng)的圓心角.變式訓(xùn)練 已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為+4,圓心角為80°,求這個(gè)扇形的面積.解:設(shè)扇形的半徑為r,面積為S,由已知知道,扇形的圓心角為80×=,扇形的弧長(zhǎng)為r,由已知,r+2r=+4,r=2.S=·r2=.故扇形的面積為. 點(diǎn)評(píng):求扇形的

18、關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.相反,也可由扇形的面積結(jié)合其他條件,求扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng).解題時(shí)要注意公式的靈活變形及方程思想的運(yùn)用.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.(1);(2);(3). 點(diǎn)評(píng):能進(jìn)行角度與弧度的換算.2.(1)15°(2)-240°(3)54°. 點(diǎn)評(píng):能進(jìn)行弧度與角度的換算.3.(1)|=k,kZ;(2)|=+k,kZ. 點(diǎn)評(píng):用弧度制表示終邊分別在x軸和y軸上的角的集合.4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2. 點(diǎn)評(píng):體會(huì)同數(shù)值不同單位的

19、角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值可能不同,并進(jìn)一步認(rèn)識(shí)兩種單位制.注意在用計(jì)算器求三角函數(shù)值之前,要先對(duì)計(jì)算器中角的模式進(jìn)行設(shè)置.如求cos0.75°之前,要將角模式設(shè)置為DEG(角度制);求cos0.75之前,要將角模式設(shè)置為RAD(弧度制).5.m. 點(diǎn)評(píng):通過分別運(yùn)用角度制和弧度制下的弧長(zhǎng)公式,體會(huì)引入弧度制的必要性.6.弧度數(shù)為1.2.點(diǎn)評(píng):進(jìn)一步認(rèn)識(shí)弧度數(shù)的絕對(duì)值公式.課堂小結(jié) 由學(xué)生總結(jié)弧度制的定義,角度與弧度的換算公式與方法.教師強(qiáng)調(diào)角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制,它們是互相聯(lián)系的,辯證統(tǒng)一的;角度與弧度的換算,關(guān)鍵要理解并牢記180°= rad這一關(guān)系式,由此可以很方便地進(jìn)行角度與弧度的換算;三個(gè)注意的問題,同學(xué)們要切記;特殊角的弧度數(shù),同學(xué)們要熟記. 重要的一點(diǎn)是,同學(xué)們自己找到了角的集合與實(shí)數(shù)集R的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式有了深刻的