數(shù)學(xué)謬論與詭辯賞析

1、數(shù)學(xué)謬論與詭辯賞析幾何篇 一、梯形的上底等于下底如圖，任意梯形的上底為 a，下底為 b，中位線為c下面來證明ab證明方法如下：因?yàn)閏 是梯形的中位線所以ab2c等式兩邊都乘以(ab)，得(a+b)·(ab)2c·(ab) 展開得 a2b22ac2bc移項(xiàng) 得 a22acb22bc等式兩邊都加c2，得a22acc2b22bcc2即 (ac)2(bc)2 兩邊都開方，得acbc等式兩邊都加c，得ab這就是說，任何梯形的上底都等于下底。 結(jié)論當(dāng)然是荒謬的，要是這樣的話，梯形和平形四邊形豈不是沒有區(qū)別了么？ 但是，證明過程中什么地方錯(cuò)了呢？解析：錯(cuò)在等式(ac)2(bc)2兩邊都開

2、方得 acbc 這個(gè)環(huán)節(jié)上。因?yàn)橛?ac)2(bc)2，只能得到|ac|bc|。在這里 ac0，bc0，所以，ac不可能等于bc，即ab。二、大圓半徑等于小圓半徑如左圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓半徑為R，小圓半徑為r，下面來證明Rr。證明：如右圖，使大圓沿著直線滾動(dòng)一周，這時(shí)，大圓的周長AA2R。由于兩圓是固定在一起的，所以小圓也轉(zhuǎn)動(dòng)一周，移動(dòng)的距離是BB，即BB小圓的周長2r。因?yàn)樗倪呅蜛ABB是矩形，所以AABB由AA2R，BB2r，得，2R2r 在等式兩邊都除以2，得Rr即 大圓半徑小圓半徑。解析：從圖上看，似乎是合情合理的，實(shí)際上其中忽略了一個(gè)隱含的因素，即因?yàn)閮蓤A固定在一起，小圓除了滾動(dòng)

3、之外，還隨著大圓的滾動(dòng)向前滑行。因此，AA是大圓的周長，BB雖與AA相等，實(shí)際卻并不與小圓周長相等，它要比小圓周長大出許多。由于大前提錯(cuò)了，由此而推導(dǎo)出的結(jié)論也不可能正確。大圓的直徑、半徑不可能與小圓的直徑、半徑相等！三、三角形內(nèi)切圓面積大于該三角形面積設(shè)三角形的周長為30，面積為75，根據(jù)S(a+b+c)rpr，得內(nèi)切圓半徑r5。于是，三角形內(nèi)切圓的面積r22575，即三角形內(nèi)切圓面積大于三角形面積。解析：部分居然大于整體！這究竟是怎么一回事呢？原來三角形的面積與周長之間有著內(nèi)在的相關(guān)性：由秦九韶海倫公式和平均值不等式，得S= = s2= p2 （這里s= (a+b+c) = p，s為三角形

4、的半周長，p為三角形的周長）即三角形面積S和周長p之間必須滿足不等式：Sp2 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）.而上述三角形面積（75）和周長（30）之間并不滿足這個(gè)不等式，換句話說，這個(gè)三角形根本不存在！四、任何三角形都是等腰三角形我們知道，三角形按邊分類，可分為等腰三角形和不等邊三角形?，F(xiàn)在，有人卻要證明：任意三角形都是等腰三角形。如圖，ABC是任意三角形，當(dāng)ABAC時(shí)，顯然ABC是等腰三角形。 下面證明當(dāng)ABAC時(shí)，ABC也是等腰三角形！不妨設(shè)ABAC，作邊BC的垂直平分線DE與BAC的平分線，交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PFAB、PGAC，垂足分別為F、G，連接PB、PC。容易證明APFAPG（角

5、角邊），所以有AFAG，PFPG；BPFCPG（由得PFPG，又DE垂直平分BC，所以PBPC，再根據(jù)“斜邊直角邊”得證），所以有BFCG. 因?yàn)?ABAFFB，ACAGGC，所以ABAC.綜上所述，任意三角形都是等腰三角形。假如這個(gè)結(jié)論是對(duì)的，那么就不存在按邊分類了！但是，這個(gè)證明究竟錯(cuò)在什么地方呢？解析：這道題的錯(cuò)誤在于把圖畫錯(cuò)了！如果嚴(yán)格的按要求畫圖，PG與邊AC的垂足不會(huì)在邊AC上，而在邊AC的延長線上，這時(shí)，我們可以證明ABBC2BF（或2CG），只有當(dāng)BFCG0時(shí)，才有ABBC。所以“任意三角形都是等腰三角形”這個(gè)結(jié)論不能成立。至于有人在證明時(shí)，故意把邊BC的垂直平分線DE與BAC

6、的平分線的交點(diǎn)P畫在ABC內(nèi)部（見下圖），那就更加大錯(cuò)特錯(cuò)了。事實(shí)上，設(shè)BAC的平分線與邊BC相交于點(diǎn)K，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理得：AB/ACBK/KC。如果ABAC，那么BKKC，也就是說K點(diǎn)在邊BC中點(diǎn)的右邊，所以邊BC的垂直平分線DE和BAC的角平分線的交點(diǎn)P不可能在ABC的內(nèi)部！而這一點(diǎn)在“證明”中起著關(guān)鍵的作用?？戳松厦娴摹白C明”，我們不免會(huì)有這樣的疑問：如果一個(gè)幾何題的證明的正確性取決于畫圖的準(zhǔn)確性，那么我們又如何能保證畫圖的準(zhǔn)確性呢？尤其嚴(yán)重的是，任何一個(gè)圖形，即便你把它畫得足夠“一般”，它事實(shí)上都只能代表這個(gè)圖形所表示的具體情況。當(dāng)一個(gè)幾何證明依賴于這個(gè)具體的圖形時(shí)，如何使人

7、相信這個(gè)證明其實(shí)是對(duì)所有的情況作出的呢？尤其是當(dāng)幾何圖形相當(dāng)復(fù)雜時(shí)，這種疑問會(huì)變得很強(qiáng)烈：這個(gè)具體圖形是否能代表一般的情況？對(duì)更一般的數(shù)學(xué)證明來說，我們也會(huì)有這樣的擔(dān)心：我們?cè)谧C明一個(gè)命題的時(shí)候，是否會(huì)在證明里運(yùn)用了太多的直覺，以至于不小心引入了事實(shí)上不存在的前提？五、鈍角等于直角我們知道，一個(gè)小于平角的角可以分為三類：銳角，直角和鈍角。直角小于鈍角，但是下面卻有一個(gè)關(guān)于鈍角等于直角的證明，有興趣的讀者請(qǐng)往下看。如圖，在矩形ABCD外作BEBC，且使0°EBC90°，連接DE。作AB、DE的垂直平分線，因?yàn)樗鼈兏髯源怪庇趦蓷l不平行的直線，所以必定相交于一點(diǎn)P，連接PA、PB

8、、PD、PE，于是PAPB，PDPE(垂直平分線性質(zhì)定理)由作圖，BEBCAD。所以PBEPAD (邊邊邊)。所以，PBEPAD，但PBAPAB(等邊對(duì)等角)，于是PBEPBAPADPAB(等量減等量差相等)，所以鈍角ABE直角BAD。解析：眾所周知，鈍角大于直角，但證明錯(cuò)在什么地方呢？實(shí)際上，如果我們畫圖準(zhǔn)確一些的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)PE根本不會(huì)通過矩形ABCD內(nèi)部，問題就出在這里。真是差之毫厘，謬之千里！ 下面就來證明：PE與直線AB的交點(diǎn)不在邊AB上，而在邊AB的延長線上。建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)矩形矩形ABCD的邊AB2a，BCb，EBX，0°90°則有 B(0，0)，D(2a，b)，E(bcos，bsin)因PG是AB的垂